【知識梳理】1.正弦定理與余弦定理正弦定理余弦定理內容

a2=______________b2=______________c2=______________b2+c2-2bccosAa2+c2-2accosBa2+b2-2abcosC正弦定理余弦定理變形(1)a=2RsinA,b=________,c=________(2)a∶b∶c=_____________________(3)asinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinA

2RsinB2RsinCsinA∶sinB∶sinC2.△ABC的面積公式(1)S△ABC=(h表示a邊上的高).(2)S△ABC=(3)S△ABC=r(a+b+c)(r為內切圓半徑).【常用結論】三角形中的必備結論(1)a>b?A>B(大邊對大角).(2)A+B+C=π(三角形內角和定理).(3)sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,

(4)射影定理:bcosC+ccosB=a,bcosA+acosB=c,acosC+ccosA=b.類型一正弦定理的應用1.在銳角△ABC中,角A,B所對的邊長分別為a,b,2asinB=b,則角A等于 (

)

【解析】選C.由2asinB=b可得:2sinAsinB=sinB,故2.已知銳角△ABC的面積為BC=4,CA=3,則角C的大小為 (

)A.75° B.60° C.45° D.30°【解析】選B.由三角形的面積公式,得BC·CA·sinC=又因為三角形為銳角三角形,所以C=60°.3.(2017·全國卷Ⅲ)△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知C=60°,b=,c=3,則A=________.

(源于必修5P4例2)【解析】由題意:

結合b<c可得B=45°,則A=180°-B-C=75°.答案:75°4.(必修5P3例1改編)在△ABC中,A=60°,AC=4,BC=

則△ABC的面積等于________.

【解析】設△ABC中,角A,B,C對應的邊分別為a,b,c.由題意及余弦定理得解得c=2.所以

答案:

類型二余弦定理的應用1.在△ABC中,sin2A≤sin2B+sin2C-sinBsinC,則A的取值范圍是________.

【解析】由已知不等式結合正弦定理得a2≤b2+c2-bc,所以b2+c2-a2≥bc,所以

因為y=cosx在上為減函數.故A的取值范圍是答案:

2.(2018·全國卷Ⅱ)在△ABC中,BC=1,AC=5,則AB= (

) (源于必修5P8練習T1)

【解析】選A.在△ABC中,由余弦定理得AB2=CA2+CB2-2CA·CB·cosC,所以2.在△ABC中,AB=2,D為AB的中點,△BCD的面積為則AC等于 (

)

【解析】選B.由題意可知在△BCD中,BD=1,所以△BCD的面積解得BC=3,在△ABC中,由余弦定理可得:AC2=AB2+BC2-2AB·BCcosB=22+32-2×2×3×=7,所以AC=3.已知銳角△ABC的三個內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若B=2A,則的取值范圍是 (

)

【解析】選D.因為B=2A,所以sinB=sin2A=2sinAcosA,由正弦定理得b=2acosA,

因為△ABC是銳角三角形,所以所以即的取值范圍是4.如圖所示,在平面四邊形ABCD中,AB⊥AD,AC⊥CD,AD=3AC,則AC=________.

【解析】設AC=x,AD=3x,在Rt△ACD中,得所以在△ABC中,由余弦定理得

由于∠BAC+∠CAD=所以cos∠BAC=sin∠CAD,即解得x=3答案:3【規律方法】

1.利用正弦定理可以解決的兩類問題(1)已知兩角和任一邊,求其他兩邊和一角.(2)已知兩邊和其中一邊的對角,求另一邊的對角,從而進一步求出其他的邊和角.由于三角形的形狀不能唯一確定,會出現兩解、一解和無解三種情況.在△ABC中,已知a,b和A,解的個數見下表A為鈍角A為直角A為銳角a>b一解一解一解a=b無解無解一解a<