#廈門大學《線性代數》課程期中考試卷學院年級姓名學號主考教師： 試卷類型：（卷）-121 「〃b一（10分）設A=1 8= 若矩陣A與5可交換，求〃涉的值.1—1 32"1_1—小a+6Z7+4q—3b—2b\\a叩2-2口32」[1-1_a+b2a-b生5 4 ，解 因矩陣A與5可交換，即AB=B4,21則a+6=a+bb+^=2a-b9n故 .，/％物。一3=5b-2=4ab二(10分)設人二ca.ab解因A= =ad—be導q=8/=6.21且閶=0,求4.=0,得ad=be21caa 「q/A2二_cd][_cc將〃d=Z?c代入，得a a2+bcab+bdAi= =_ca+cdcb+d^_=Q+d)''_cc從而An—(〃+d)4T)+bca-bI1_ccd加2da2+adab+bda(〃+d)/?(a+d)ca+cdad+d?c(〃+d)d(a+d)-(a+d)A,2口l=Q+d)2An-2==(a+d>TA.31（10分）計算行列式5144 55432-11211191229.答案202.1四（10分）已知A=111121，求A-1.13[a,E]=01101002-10所以A-1=五（15分）解矩陣方程AA+B=X，其中A=矩陣方程可整理為X（E-A）=-1-1-1[E-A,E]=-2-221-1-11-103 2,B=-1-100-11-2-1-1-1100-11-2-25T01000100101-1-20100010-2-2010一2一21,2故-1可得矩陣E-A可逆，且（E-A）-1=00/,、3X=B(E-A)--1-20-1-1001201■一2-2 11112321六（1六（10分）設A=011tt,B為4階矩陣，R(B)=2,且AB=0,求t的值.t01解由AB=0知R（A）+R（B）＜4,2由R（B）=2,知R（A）＜2.3對矩陣A作行初等變換，A;一10212一101-一10021t-21t-12[t-1今一10_02101t-(1-1〉2一-(1-1匕，3顯然滿足條件的值為，t=1.2xaaaa123naxaaa123???naaxaa七（10）求方程D=123???n=0的解.aaaxa..:23???*naaaa???x1234解???1aaaa123n1xaaa23??n3D=「x+乙a)1a2xa3??an<J1aaxai=123...??n1aaa*??x234ri+urii=1)aJa1x—a1a—x20x—a2a—x3a300i=1)aJx—a1a—x20￡a|(x-ai=1i)x—a2a—x30.0)(x—ax—a3(x—a3’故方程組的n+1個根是x=a（i=1,2,ii=1八（15分）設線性方程組《(1)（2）x+2x+2x=1-x+(a-3)x-2x=b'2 3 4an00x—an1’3’問a,b為何值時，此線性方程組有唯11110-一11110-1111001221”4>01221 >012210-1a—3—2b0-1a—3—2b00a—10b+1321a-10—1—2a—3-1000a—10（A0）當a豐1,任意的常數b,線性方程組有唯一解;3x+2x+x+ax=-1, 1 2 3 4一解、無解或有無窮多解？并在有無窮多解時求通解.解對線性方程組的增廣矩陣作行初等變換，化為行階梯形矩陣當a=1且bw—1時(A0)5’3’11110111100122 101221 >0000b+1000010000 0__00000>,此時,R（A）=2,R（A,0）=3線性方程組無解;3’(3) 當a=1且b=—1時一11110一一10-1-1-1(A,p)—01221-T012210000000000_00000_00000止匕時，R（A）=R（AP）=2<4線性方程組有無窮多解，21原線性方程組的同解方程組為x—x—x--1TOC\o"1-5"\h\z< 1 3 4x+2x+2x-1l2 3 4x=k+k-1,1 1 2其中勺，k2為任意常數.2其中勺，k2為任意常數.20因此所求的通解為12 1 2x=k,3 1九（10分）（1）設A是幾階方陣，且A2-A，證明(A(A+E)k-E+(2k-1)A其中，k是正整數，E是幾階單位矩陣.（2）證明：若n階行列式的某行元素全為k（k豐0），則這個行列式的全部代數余子式的和為該行列式值的1倍，即￡￡a-1|a.k ijk11j-1i-1證明(1)由A2-A知Am-A,m-1,2,，21因此+Ck-1EAk-1+CkAk

kk(A+E)k-Ek+C1Ek-1A+C2Ek-2+Ck-1EAk-1+CkAk

kkE-A+A+C1A+C2A+C3A+ +Ck-1A+CkAkkk k kE-A+(1+C1+C2+C3++Ck-1+Ck)Akkk kkE-A+(1+1)2A-E+(2k-1)A.31kkk111a21a22 …a2n=ka21a22a??? 2na?nA???a?n0 ???a?nna?n4a?n@???a??? ?nn（2）不失一般性，設lAl=k(A+A+11 12+A)，211n若i豐1,則A+A+i1i2故￡￡aij