12019航天器動力學15編隊飛行

為了充分發揮小衛星的潛在優勢，先后出現了衛星星座(SatelliteConstellation)和衛星編隊飛行(SatelliteFormationFlying)的概念。衛星星座和編隊的共同點是都涉及多顆衛星：衛星星座稀疏分布，各衛星間的距離很大〔千千米數量級〕，主要考慮衛星對地面的覆蓋問題。衛星編隊那么是在近距離范圍內〔從幾十米到幾十千米〕，多顆衛星構成一定的幾何形狀，相互間可以通訊協作，在整體上相當于一顆巨大的“虛擬衛星〞。

與大衛星相比，小衛星的功能比較簡單。全球定位系統〔GPS：GlobalPositioningSystem〕就是衛星星座的例子。目前衛星星座理論和技術都很成熟，并已應用于實際中。

但衛星編隊飛行那么在理論和技術方面都還處于研究探討階段。美國的NASA已聯合JPL和Stanford大學等進行編隊飛行技術的研究，并欲利用EO-1衛星和LandSat-7衛星進行飛行演示分布式天基雷達納型衛星

與傳統大衛星相比，小衛星編隊有巨大的口徑或測量基線，在電子偵察、立體成像、精確定位、氣象測量等方面都有很大的優勢。關于測量基線的問題為什么測量基線越大越好？如何獲得大的測量基線？你認為人類可獲得的最大測量基線有多大？

從目前的文獻中可看出，C-W方程〔或Hill方程〕在衛星編隊飛行中被廣泛應用。

該方程最早是應用于航天器交匯對接問題，適用于短時間、近距離范圍，且中心航天器為圓軌道。

然而，在衛星長期編隊飛行中，由于C-W方程的解是近似解，該解與實際情況有無差異、有多大差異，目前并沒有文獻仔細研究。因此C-W方程是否適用于衛星長期編隊飛行，值得討論。2、描述相對運動的C-W方程C-W方程假設不考慮攝動和主動控制，積分后有

注意到C-W方程的解中有長期項，因此通常衛星不能保持長期近距離編隊。但假設初始條件滿足如下特定關系，就可消除長期項：

該式就是C-W方程無控制編隊飛行的條件。也是目前衛星編隊飛行中的一個重要結論。在近幾年關于衛星編隊飛行的幾乎所有文章中可能都會涉及這個公式。該公式的物理意義是什么？它說明兩顆衛星初始時的相對位置和速度滿足一定的關系時，兩顆衛星的距離不會隨時間而發散。

但是，有一天我突然發現這個公式存在問題……下面要介紹的是我的研究結果，希望大家從中體會出物理、數學概念的重要性。

但是從另一個角度看，兩個衛星的距離要長時間保持近距離，其軌道運行周期應該相等。因此，與周期相等是否等價，就是一個問題。但絕大局部研究者認為這并不是一個問題。設兩衛星S1〔主星〕、S2〔從星〕在同一圓軌道上，為小角度。根據物理概念，同一圓軌道上的兩個衛星保持相對靜止，并有因此不滿足，根據C-W方程，同一圓軌道上的兩個衛星不能保持長期編隊，顯然與實際情況不符合。一個反例v1v2xyOS1S2

假設設兩個衛星軌道為共面的圓軌道，但半徑不同。假設半徑R1、R2與滿足一定的關系〔略〕，由幾何關系及運動學關系，可以使得因此根據C-W方程，這兩顆衛星可以長時間保持近距離編隊；但根據物理概念，這兩衛星運行周期不同，顯然不能長期近距離編隊。另一個反例yxv1v2θS2S1R1R2O上面兩個反例表明：對于衛星近距離編隊，既不是充分條件，也不是必要條件，且通常會得出錯誤的結論。假設一個理論中的重要結論存在反例，就說明該理論可能存在很多問題，至少有局限性。問題出在什么地方呢？C-W方程推導過程中有兩個近似處理，即對從星矢徑的大小、方向進行了近似處理。

從數學上看，這種處理就是略去高階小量，沒有什么大問題。但問題是：一個近似方程的〔長期〕積分結果是否誤差仍為高階小量，就難說了。從物理概念看，這種近似處理實質上相當于改變了地球引力的大小和方向。引力的改變雖然數量級很小，但破壞了地球引力場是中心引力場這一重要性質，結果從星不再做開普勒運動，其周期性也不能保證。而主星仍是周期運動，因此在C-W方程中，兩衛星的相對運動周期性不能保證。

當衛星編隊飛行時，以兩顆星編隊為例，設主星為

S1，從星為S2，其運動均可用各自的軌道根數來表示。從星相對主星的相對運動為：3、用軌道根數描述衛星的相對運動方程該式可以向任意坐標系投影。而在主星的軌道坐標系中為：y1x1地球主星S1從星S2ρr1r2x2y2y1x1地球主星S1從星S2ρr1r2x2y2真點角f可用軌道根數表示〔前面已介紹〕。因此關鍵是坐標轉換矩陣A12與軌道根數有何關系？NZXYhiΩωSret=τOy1x1地球主星S1從星S2ρr1r2x2y2直接寫坐標轉換矩陣A12比較困難，但是…而AXx是什么？就是軌道平面相對地球赤道慣性坐標系的坐標系轉換矩陣！也就是剛體定點運動中的坐標轉換矩陣！！NZXYhiΩωSret=τO考慮衛星編隊飛行時應保持近距離，假設為1km，那么主星與從星的六個軌道根數都應很接近，設均為小量〔約為萬分之一數量級〕，那么近似有：在通常情況下，3個矩陣相乘的結果就很復雜，6個矩陣相乘就沒法寫出表達式了。但是，你能否相信在衛星近距離編隊時，3個矩陣相乘復雜，6個反而簡單？即兩衛星運行周期不相同時，相對運動會漂移。相對運動方程的簡化把r

的表達式帶入，并利用各角度是小量，有注：由于前面設是小量，所以如果周期不同時，本公式只在有限時間內適用。即兩衛星運行周期相同時，不必施加主動控制衛星就可能長期保持近距離編隊。

如果兩衛星的運行周期相同，那么可保證始終為小量，方程不必受時間限制。此時可得簡化的相對運動方程為：由此出發，可以得到大量與C-W方程不同的結論，也可以解決很多C-W不易處理或處理不了的問題。這就是后話了…y/kmx/kmx/kmz/km小偏心率軌道相對運動軌跡算例大偏心率軌道相對運動軌跡xyx相對運動的周期性xyxy4、C-W方程與相對軌道根數法的比較C-W方程應用在編隊飛行問題中有一些局限性。通過物理概念、定性分析、數值計算等途徑，可以證明C-W方程所描述的衛星相對運動在初始條件選取、解的周期性、能量守恒等多方面與實際情況不符合，因此C-