北京通州區北關中學高三數學理下學期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知函數g(x)=1－2x，=,則f()等于A．1

B．3 C．15

D．30參考答案：C略2.已知實數，滿足，則使不等式恒成立的實數的取值集合是（

）A．

B．

C.

D．參考答案：A3.若復數,,則（

）A．B．

C．

D．參考答案：A，選A.4.某程序框圖如圖2所示，現將輸出值依次記為：若程序運行中輸出的一個數組是則數組中的A.32 B.24 C.18 D.16參考答案：A5.已知銳角α終邊上一點A的坐標為(2sin3，-2cos3),則角α的弧度數為

（

）A．3

B．π-3

C．3-

D．-3參考答案：C6.已知為定義在上的奇函數，且當時，（為常數），則（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D7.稱d（）=|﹣|為兩個向量、間的“距離”．若向量、滿足：①||=1；②≠；③對任意的t∈R，恒有d（，t）≥d（，），則（）A． B．⊥（） C．⊥（） D．（）⊥（）參考答案：C【考點】平面向量數量積的運算．【專題】平面向量及應用．【分析】先作向量，從而，容易判斷向量t的終點在直線OB上，并設，連接AC，則有．從而根據向量距離的定義，可說明AB⊥OB，從而得到．【解答】解：如圖，作，則，t∥，∴向量t的終點在直線OB上，設其終點為C，則：根據向量距離的定義，對任意t都有d（）=；∴AB⊥OB；∴．故選：C．【點評】考查有向線段可表示向量，以及對向量距離的理解，向量減法的幾何意義，共線向量基本定理．8.運行如圖所示的程序框圖，當輸入時，輸出的x為（

）A．

B．2

C．

D．參考答案：D9.已知集合，則A∩B的元素有()A．1個

B．2個

C．3個

D．4個參考答案：B10.已知函數，則方程的不相等的實根個數為（）A．5

B．6

C．7

D．8參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知正方體外接球的體積是，那么正方體的棱長等于

參考答案：

12.若實數滿足，且，則的值為

.參考答案：13.已知數列{an}中，a1=1，an=an﹣1+（n≥2），則數列{an}的前9項和等于

．參考答案：27【考點】數列遞推式．【分析】通過an=an﹣1+（n≥2）可得公差，進而由求和公式即得結論．【解答】解：∵an=an﹣1+（n≥2），∴an﹣an﹣1=（n≥2），∴數列{an}的公差d=，又a1=1，∴an=1+（n﹣1）=，∴S9=9a1+?d=9+36×=27，故答案為：27．14.將函數的圖象上各點的縱坐標不變橫坐標伸長到原來的2倍，再向左平移個單位，所得函數的單調遞增區間為

.參考答案：15.從圓x2+y2=4內任取一點p，則p到直線x+y=1的距離小于的概率．參考答案：【考點】幾何概型．【分析】利用點到直線的距離公式求出滿足條件的點的弧長、幾何概型的計算公式即可得出．【解答】解：由點到直線的距離公式得點O到直線x+y=1的距離為=，故到直線x+y=1距離為的點在直線x+y=0和x+y+2=0上，滿足P到直線x+y=1的距離小于的點位于兩直線之間的弧上，且兩段弧度和為90°．故概率P==．故答案為：16.命題“?x∈R，使x2﹣ax+1＜0”是真命題，則a的取值范圍是

．參考答案：（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）【考點】特稱命題．【分析】若命題“?x∈R，使x2﹣ax+1＜0”是真命題，則函數y=x2﹣ax+1的圖象與x軸有兩個交點，故△=a2﹣4＞0，解不等式可得答案．【解答】解：若命題“?x∈R，使x2﹣ax+1＜0”是真命題，則函數y=x2﹣ax+1的圖象與x軸有兩個交點，故△=a2﹣4＞0，解得：a∈（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），故答案為：（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．17.已知某算法的流程圖如圖所示，若將輸出的（x，y）的值依次記為（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），若程序運行中輸出的一個數組是（t，﹣8），則t為．參考答案：81考點：循環結構．3794729專題：圖表型．分析：由已知中程序框圖，我們可以模擬程序的運行結果，并據此分析出程序運行中輸出的一個數組是（t，﹣8）時，t的取值．解答：解：由已知中的程序框圖，我們可得：當n=1時，輸出（1，0），然后n=3，x=3，y=﹣2；當n=3時，輸出（3，﹣2），然后n=5，x=32=9，y=﹣2×2=﹣4；當n=5時，輸出（9，﹣4），然后n=7，x=33=27，y=﹣2×3=﹣6；當n=7時，輸出（27，﹣6），然后n=9，x=34=81，y=﹣2×4=﹣8；當n=9時，輸出（81，﹣8），故t=81．故答案為：81．點評：本題考查循環結構，在解決程序框圖中的循環結構時，常采用利用框圖的流程寫出前幾次循環的結果，找規律．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知數列{an}的前n項和為Sn，且Sn=3n2﹣2n．（Ⅰ）求數列{an}的通項公式；（Ⅱ）設，Tn是數列{bn}的前n項和，求Tn．參考答案：【考點】數列的求和；等差數列的前n項和．【分析】（Ⅰ）當n=1時，求得a1，n≥2時，an=sn﹣sn﹣1，驗證后合并可得an的通項公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）得an=6n﹣5，將裂項，求和時出現正負相消，問題得到解決．【解答】解：（Ⅰ）由已知得n=1，a1=s1=1，若n≥2，則an=sn﹣sn﹣1=（3n2﹣2n）﹣[3（n﹣1）2﹣2（n﹣1）=6n﹣5，n=1時滿足上式，所以an=6n﹣5．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得知==

故Tn=b1+b2+…+bn==．19.（本小題滿分14分）已知數列的前項和為，，．（1）求數列的通項公式；（2）設數列的前項和為，=+++……+．試比較與的大小．參考答案：（1）（2）見解析【知識點】遞推公式；等比數列的通項公式；數列的和；D1D3D4

解析：（1）由，

……………1分由，其中于是

…3分整理得，

…4分所以數列是首項及公比均為的等比數列.

…5分

…6分（2）由（1）得于是………8分

…9分又，問題轉化為比較與的大小，即與的大小設…10分當時，，∴當時單調遞增，

∴當時，，而，∴當時，

…12分

經檢驗=1，2，3時，仍有

…13分

因此，對任意正整數，都有即

…14分【思路點撥】（1）根據已知條件中的遞推關系式先得到，再由由，整理即可；（2）借助于已知條件把問題問題轉化為比較與的大小，即與的大小，進而證明即可。20.（12分）如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是直角梯形，其中，AB∥CD，BC=CD=2AB=2，側面PAB⊥底面ABCD，且，棱PB與底面ABCD所成角為，（I）求二面角B—PC—D的大小。（II）若存在一個球，使得P，B，C，D四點都在此球面上，求該球的體積。參考答案：解析：（I）在平面PAB內，過點P作BA的垂線，交BA的延長線于點O側面PAB⊥底面ABCD，PO⊥AB，棱AB與底面ABCD所成角為PO⊥面ABCD，，BO=2又，AB∥CD，BC=CD=2，四邊形OBCD是正方形

……（3分）如圖，以點O為坐標原點，以OB所在的直線為x軸，以OD所在的直線為y軸，以OP所在的直線為z軸，建立空間直角坐標系。則A（1，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2）設面PBC的法向量為，面PCD的法向量為由

有

令，解得：同理，可得

……（6分）所以二面角B—PC—D為120°。

……（7分）（II）取PC中點M（1，1，1），則易求得點M到P，B，C，D四點的距離都相等，

……（9分）所以，P，B，C，D四點在以點M為球心，以PC為直徑的球上。

……（10分）所球的體積為

……（12分）注：其它解法，參照評分標準給分。21.極坐標系與直角坐標系xoy有相同的長度單位，以原點為極點，以x鈾正半軸為極軸，已知曲線C1的極坐標方程為ρ=4cosθ，直線l的參數方程為（t為參數），射線與曲線C1交于（不包括極點O）三點A、B、C．（Ⅰ）求曲線C1化成直角坐標方程及直線l的普通方程，并求曲線C1上的點到直線l的最小值．（Ⅱ）求證：．參考答案：考點：參數方程化成普通方程．專題：計算題；坐標系和參數方程．分析：（Ⅰ）把曲線C1化成直角坐標方程及直線l的普通方程，求出圓心到直線的距離d，d﹣r即為曲線C1上的點到直線l的最小值；（Ⅱ）設點A，B，C的極坐標分別為（ρ1，φ），（ρ2，φ+），（ρ3，φ﹣），把三點代入曲線C1解析式，表示出ρ1=4cosφ，ρ2=4cos（φ+），ρ3=4cos（φ﹣），代入計算即可得證．解答：（Ⅰ）解：把x=cosθ，y=sinθ，ρ=x2+y2代入得：C1：x2+y2=4x，即（x﹣2）2+y2=4，直線l方程化簡得：y=2（x+2），即y=x+2，∵圓心（2，0）到直線l的距離d==2，則曲線C1上的點到直線l的最小值d﹣r=2﹣2；（Ⅱ）證明：設點A，B，C的極坐標分別為（ρ1，φ），（ρ2，φ+），（ρ3，φ﹣），∵點A，B，C在曲線C1上，∴ρ1=4cosφ，ρ2=4cos（φ+），ρ3=4cos（φ﹣），∴|OB|+|OC|=ρ2+ρ3=4cos（φ+）+4cos（φ﹣）=4cosφ=ρ1，則|OB|+|OC|=|OA|．點評：此題考查了參數方程化為普通方程，將參數方程正確的化為普通方程是解本題的關鍵．22.本小題滿分10分）選修4－4：坐標系與參數方程已知曲線C的極坐標方程是．以極點為平面直角坐標系的原點，極軸為