矩陣的應(yīng)用主講人：王玲《電力應(yīng)用數(shù)學(xué)》目錄【新課導(dǎo)入】【新課講授】【課堂小結(jié)】01【新課導(dǎo)入】

隨著科學(xué)技術(shù)的迅速發(fā)展，古典線性代數(shù)知識(shí)已經(jīng)不能滿(mǎn)足現(xiàn)代科技的需要，矩陣的理論和應(yīng)用方法已成為現(xiàn)代科技領(lǐng)域必不可少的工具。新課導(dǎo)入

矩陣的應(yīng)用是多方面的，本次課我們將詳細(xì)討論利用矩陣來(lái)求解一般線性方程組的方法和介紹矩陣在電路分析中的一些實(shí)際案例。02【新課講授】一、增廣矩陣定義03線性方程組

增廣矩陣，又稱(chēng)擴(kuò)增矩陣，即在系數(shù)矩陣的右邊添上一列，這一列是線性方程組的等號(hào)右邊的值。其系數(shù)構(gòu)成一個(gè)矩陣：

稱(chēng)為該方程的系數(shù)矩陣。一、增廣矩陣定義03

增廣矩陣，又稱(chēng)擴(kuò)增矩陣，即在系數(shù)矩陣的右邊添上一列，這一列是線性方程組的等號(hào)右邊的值。而矩陣：稱(chēng)為該方程組的增廣矩陣。線性方程組與其增廣矩陣一一對(duì)應(yīng)。

二、矩陣的初等變換與矩陣的秩03可分離變量微分方程解法如下：（1）

定義1設(shè)

，則以下三種變換稱(chēng)為矩陣A的初等行變換。（一）矩陣的初等變換（2）（3）對(duì)調(diào)兩行，記作（）；以非零常數(shù)k乘某一行的所有元素，記作

；把某一行的所有元素的k倍加到另一行對(duì)應(yīng)的元素上去，記作（）把定義中的“行”換成“列”就得到矩陣的初等列變換定義（相應(yīng)記號(hào)“r”換成“c”）二、矩陣的初等變換與矩陣的秩03可分離變量微分方程解法如下：定義2矩陣的初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱(chēng)為初等變換。（一）矩陣的初等變換如果矩陣A僅經(jīng)過(guò)初等行變換得到B，則記作：解方程只能進(jìn)行矩陣的初等行變換，不能進(jìn)行初等列變換。二、矩陣的初等變換與矩陣的秩03可分離變量微分方程解法如下：

（二）矩陣的秩1.矩陣的k階子式01

二、矩陣的初等變換與矩陣的秩03可分離變量微分方程解法如下：

（二）矩陣的秩2.秩的定義02

二、矩陣的初等變換與矩陣的秩03可分離變量微分方程解法如下：定理3矩陣經(jīng)過(guò)初等變換后其秩不變。（二）矩陣的秩由此定理，可以利用初等變換求矩陣的秩。03用初等行變換將矩陣A化為階梯形矩陣，所得階梯形矩陣中非零行的個(gè)數(shù)就是矩陣的秩。二、矩陣的初等變換與矩陣的秩03可分離變量微分方程解法如下：

（二）矩陣的秩

顯然，非零行的行數(shù)為2，R(A)=2

三、矩陣的應(yīng)用（一）矩陣在求解一般線性方程組中的應(yīng)用含有n個(gè)未知數(shù)的m個(gè)方程的線性方程組的一般形式是

特例，當(dāng)m=n時(shí)，式（1）就是一個(gè)未知數(shù)的個(gè)數(shù)與方程的個(gè)數(shù)相等的線性方程組。

三、矩陣的應(yīng)用（1）線性方程組的解的存在性問(wèn)題，即確定線性方程組有解的重要條件是什么；（一）矩陣在求解一般線性方程組中的應(yīng)用求解線性方程組，主要解決這樣兩個(gè)問(wèn)題：首先，我們來(lái)討論方程組（1）的解的存在性問(wèn)題。我們知道，方程組的系數(shù)矩陣為

而增廣矩陣為

判定方程組（1）是否有解，有下面的定理。（2）線性方程組的解的求法問(wèn)題，即如果有解，有多少個(gè)解，怎樣求解。三、矩陣的應(yīng)用（一）矩陣在求解一般線性方程組中的應(yīng)用

解：這是一個(gè)非齊次線性方程組，對(duì)方程組的增廣矩陣作初等變換如下：由最后得到的矩陣可知R(A)=2而R(B)=3，即R(A)≠R(B)，所以此方程組沒(méi)有解。定理1線性方程組（1）有解的充要條件是，它的系數(shù)矩陣A與增廣矩陣B有相同的秩，即R(A)=R(B)。三、矩陣的應(yīng)用定理1（一）矩陣在求解一般線性方程組中的應(yīng)用線性方程組（1）有解的充要條件是，它的系數(shù)矩陣A與增廣矩陣B有相同的秩，即R(A)=R(B)。

其次，我們來(lái)討論一下，如果方程組（1）有解，那么它的解是唯一的，還是無(wú)窮多個(gè)？下面的定理回答了這個(gè)問(wèn)題。三、矩陣的應(yīng)用（一）矩陣在求解一般線性方程組中的應(yīng)用

解：對(duì)方程組的增廣矩陣，進(jìn)行初等變換如下：由最后得到的矩陣可知R(A)=2而R(B)=3，即R(A)≠R(B)，所以此方程組沒(méi)有解。定理2

三、矩陣的應(yīng)用（一）矩陣在求解一般線性方程組中的應(yīng)用解：對(duì)方程組的增廣矩陣，進(jìn)行初等變換如下：

三、矩陣的應(yīng)用（一）矩陣在求解一般線性方程組中的應(yīng)用

由C可知，R(A)=R(B)=3(等于未知數(shù)的個(gè)數(shù))，所以方程組有唯一解，此時(shí)可繼續(xù)對(duì)C進(jìn)行初等變換。可將于是，原方程有唯一解

由于對(duì)原方程組的增廣矩陣B進(jìn)行行初等變換，實(shí)質(zhì)上就是對(duì)原方程組所作的同解變換。三、矩陣的應(yīng)用（一）矩陣在求解一般線性方程組中的應(yīng)用解：

三、矩陣的應(yīng)用（一）矩陣在求解一般線性方程組中的應(yīng)用

由C可知，R(A)=R(B)=2，且小于未知數(shù)的個(gè)數(shù)，所以方程組由無(wú)窮多個(gè)解。由于C對(duì)應(yīng)的方程組為所以，原方程組的解為

下面我們通過(guò)用回路電流法求解線性網(wǎng)絡(luò)的支路電流案例來(lái)學(xué)習(xí)增廣矩陣的應(yīng)用。（二）矩陣在電路分析中的應(yīng)用為了在電路分析中，對(duì)復(fù)雜的線性網(wǎng)絡(luò)求解，采用矩陣方法能簡(jiǎn)化運(yùn)算。如圖所示，用回路法求解圖中支路電流i1、i2、i3。三、矩陣的應(yīng)用

解：①

設(shè)環(huán)x1、x2、x3；②由基爾霍夫第二定律，列出方程組即③得增廣矩陣，并對(duì)增廣矩陣施于初等行變換得③得增廣矩陣，并對(duì)增廣矩陣施于初等行變換得即

三、矩陣的應(yīng)用

如圖所示，用回路法求解圖中支路電流i1、i2、i3。④

得支路電流

三、矩陣的應(yīng)用

課堂小結(jié)

通過(guò)學(xué)習(xí)矩陣在求解一般線性方程組中的應(yīng)用，使用矩陣來(lái)求解復(fù)雜的電路問(wèn)題，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的優(yōu)勢(shì)，實(shí)現(xiàn)了矩陣論在其它學(xué)科上的應(yīng)用。

通過(guò)學(xué)習(xí)矩陣在求解一般線性方程組中的應(yīng)用，使用矩陣來(lái)求