第四章§4.6

函數y＝Asin(ωx＋φ)考試要求1.結合具體實例，了解y＝Asin(ωx＋φ)的實際意義；能借助圖象理解參數ω，φ，A

的意義，了解參數的變化對函數圖象的影響.2.會用三角函數解決簡單的實際問題，體會可以利用三角函數構建刻畫事物周期變

化的數學模型.落實主干知識課時精練探究核心題型內容索引LUOSHIZHUGANZHISHI落實主干知識1.簡諧運動的有關概念y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x≥0振幅周期頻率相位初相AT＝____f＝

ωx＋φφ2.用“五點法”畫y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一個周期內的簡圖時，要找五個特征點ωx＋φ0π2πx_____________________________________y＝Asin(ωx＋φ)0A0－A03.函數y＝sinx的圖象經變換得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的圖象的兩種途徑|φ|AA常用結論1.函數y＝Asin(ωx＋φ)＋k圖象平移的規律：“左加右減，上加下減”.2.由y＝sinωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的變換：向左平移

個單位長度而非φ個單位長度.3.函數y＝Asin(ωx＋φ)圖象的對稱軸由ωx＋φ＝kπ＋

，k∈Z確定；對稱中心由ωx＋φ＝kπ，k∈Z確定其橫坐標.√×(3)函數f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0)的最大值為A，最小值為－A.(

)(4)如果y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期為T，那么函數圖象的相鄰兩個對稱中心之間的距離為

.(

)×√√√A.縱坐標伸長到原來的3倍，橫坐標不變B.橫坐標伸長到原來的3倍，縱坐標不變3.如圖，某地一天從6～14時的溫度變化曲線近似滿足函數y＝Asin(ωx＋φ)＋b，A>0,0<φ<π，則這段曲線的函數解析式為________________________________.從題圖中可以看出，從6～14時的圖象是函數y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半個周期，TANJIUHEXINTIXING探究核心題型題型一函數y＝Asin(ωx＋φ)的圖象及變換√√將函數y＝sin2x的圖象向左平移φ個單位長度后，教師備選√所得圖象的函數解析式為思維升華(1)由y＝sinωx的圖象到y＝sin(ωx＋φ)的圖象的變換：向左平移

(ω>0，φ>0)個單位長度而非φ個單位長度.(2)如果平移前后兩個圖象對應的函數的名稱不一致，那么應先利用誘導公式化為同名函數，ω為負時應先變成正值.其中所有正確結論的序號是A.①

B.①③

C.②③

D.①②③跟蹤訓練1

(1)(2020·天津)已知函數f(x)＝sin.給出下列結論：①f(x)的最小正周期為2π；√A.3 B.6C.9 D.12√則ω＝12k(k∈N*)，故當k＝1時，ω取得最小值12.√題型二由圖象確定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式故f(x)＝2cos(ωx＋φ)－1，將函數f(x)的圖象上點的橫坐標拉伸為原來的3倍后，教師備選√先根據函數圖象求函數g(x)＝Asin(ωx＋φ)的解析式，由振幅可得A＝1，所以g(x)＝sin(2x＋φ)，再將橫坐標伸長到原來的2倍可得2.已知函數f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)為奇函數，該函數的部分圖象如圖所示，△EFG(點G是圖象的最高點)是邊長為2的等邊三角形，則f(1)＝________.又因為f(x)＝Acos(ωx＋φ)為奇函數，思維升華確定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的步驟和方法思維升華(3)求φ，常用方法如下：把圖象上的一個已知點代入(此時要注意該點在上升區間上還是在下降區間上)或把圖象的最高點或最低點代入.√所以1<|ω|<2.因為1<|ω|<2，(2)(2022·張家口市第一中學模擬)已知函數f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分圖象如圖所示，則ω＝____，為了得到偶函數y＝g(x)的圖象，至少要將函數y＝f(x)的圖象向右平移___個單位長度.6由圖象可知，函數f(x)的最小正周期為T＝2×[6－(－2)]＝16，由于函數f(x)的圖象過點(－2,0)且在x＝－2附近單調遞增，假設將函數f(x)的圖象向右平移t個單位長度可得到偶函數g(x)的圖象，解得t＝－2－8k(k∈Z)，∵t>0，當k＝－1時，t取最小值6.命題點1

圖象與性質的綜合應用題型三三角函數圖象、性質的綜合應用√所以f(x)＝2sin(2x＋φ)，又函數g(x)為偶函數，排除A，C，命題點2函數零點(方程根)問題例4

已知關于x的方程2sin2x－

sin2x＋m－1＝0在

上有兩個不同的實數根，則m的取值范圍是____________.(－2，－1)故m的取值范圍是(－2，－1).延伸探究

本例中，若將“有兩個不同的實數根”改成“有實根”，則m的取值范圍是________.∴－2≤m<1，∴m的取值范圍是[－2,1).[－2,1)命題點3三角函數模型例5

如圖，一個大風車的半徑為8m，12min旋轉一周，它的最低點P0離地面2m，風車翼片的一個端點P從P0開始按逆時針方向旋轉，則點P離地面的距離h(m)與時間t(min)之間的函數關系式是√設h＝Asin(ωt＋φ)＋B，由題意可得hmax＝18，hmin＝2，T＝12，當t＝0時，8sinφ＋10＝2，得sinφ＝－1，其中所有正確結論的序號是A.①②③

B.①④C.①②④

D.②③④①點P第一次到達最高點需要20秒；②當水輪轉動155秒時，點P距離水面2米；③當水輪轉動50秒時，點P在水面下方，距離水面2米；(2022·福州模擬)如圖所示，一半徑為4米的水輪，水輪圓心O距離水面2米，已知水輪每60秒逆時針轉動一圈，當水輪上點P從水中浮現時(圖中點P0)開始計時，給出下列結論：√教師備選設點P距離水面的高度h(米)和時間t(秒)的函數解析式為解得t＝20，故①正確；解得h＝2，故②正確；解得h＝－2，故③正確.思維升華(1)研究y＝Asin(ωx＋φ)的性質時可將ωx＋φ視為一個整體，利用換元法和數形結合思想進行解題.(2)方程根的個數可轉化為兩個函數圖象的交點個數.(3)三角函數模型的應用體現在兩方面：一是已知函數模型求解數學問題；二是把實際問題抽象轉化成數學問題，利用三角函數的有關知識解決問題.跟蹤訓練3

(1)(2022·青島模擬)已知函數f(x)＝cos2xcosφ－sin2xsinφ

的圖象的一個對稱中心為

，則下列說法不正確的是√∵f(x)＝cos2xcosφ－sin2xsinφ故D正確.一個水斗從點A(3，

)出發，沿圓周按逆時針方向勻速旋轉，且旋轉一周用時120秒.經過t秒后，水斗旋轉到P點，設點P的坐標為(x，y)，其縱坐標滿足y＝f(t)＝Rsin(ωt＋φ)，則下列敘述正確的是(2)(2022·西南大學附中模擬)水車在古代是進行灌溉引水的工具，亦稱“水轉筒車”，是一種以水流作動力，取水灌田的工具.據史料記載，水車發明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的歷史，是人類的一項古老的發明，也是人類利用自然和改造自然的象征，如圖是一個半徑為R的水車，A.水斗作周期運動的初相為

B.在水斗開始旋轉的60秒(含)中，其高

度不斷增加C.在水斗開始旋轉的60秒(含)中，其

最高點離平衡位置的縱向距離是

D.當水斗旋轉100秒時，其和初始點A

的距離為6√所以函數f(t)先增后減，故B錯誤；對于C，當t∈(0,60]時，所以點P到x軸的距離的最大值為6，故C錯誤；所以|PA|＝|－3－3|＝6，故D正確.KESHIJINGLIAN課時精練基礎保分練√12345678910111213141516√1234567891011121314151612345678910111213141516√12345678910111213141516因為函數f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期為π，12345678910111213141516所以f(x)＝sin(2x＋φ)，12345678910111213141516√123456789101112131415164.(2022·天津五十七中月考)函數f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分圖象如圖所示，將f(x)的圖象上所有點的橫坐標擴大到原來的4倍(縱坐標不變)，再把所得的圖象沿x軸向左平移

個單位長度，得到函數g(x)的圖象，則函數g(x)的一個單調遞增區間為12345678910111213141516將f(x)的圖象上所有點的橫坐標擴大到原來的4倍(縱坐標不變)，1234567891011121314151612345678910111213141516√1234567891011121314151612345678910111213141516若x1≠x2，且f(x1)＝f(x2)＝0，12345678910111213141516√123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516根據正弦函數的圖象和性質易知，123456789101112131415167.(2022·北京豐臺區模擬)將函數f(x)＝cos2x的圖象向左平移φ(φ>0)個單位長度，得到函數g(x)的圖象.若函數g(x)的圖象關于原點對稱，則φ的一個取值為_____.(答案不唯一)1234567891011121314151612345678910111213141516將函數f(x)＝cos2x的圖象向左平移φ(φ>0)個單位長度，可得g(x)＝cos(2x＋2φ)，由函數g(x)的圖象關于原點對稱，可得g(0)＝cos2φ＝0，8.(2022·濟南模擬)已知曲線C1：y＝cosx，C2：y＝sin，則為了得到曲線C1，首先要把C2上各點的橫坐標變為原來的____倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右至少平移____個單位長度.(本題所填數字要求為正數)12345678910111213141516212345678910111213141516∴先將曲線C2上各點的橫坐標變為原來的2倍，縱坐標不變，1234567891011121314151612345678910111213141516因為函數f(x)的最小正周期是π，所以ω＝2.f(x)取得最大值2，所以A＝2，1234567891011121314151612345678910111213141516(2)作出f(x)在[0，π]上的圖象(要列表)；2x＋π2πx0πf(x)120－20112345678910111213141516因為x∈[0，π]，列表如下，12345678910111213141516描點、連線得圖象.12345678910111213141516(3)函數y＝f(x)的圖象可由函數y＝sinx的圖象經過怎樣的變換得到？123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516f(x)＝m·n所以函數的最大值為1，最小正周期為12345678910111213141516123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516技能提升練√11.函數f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的圖象如圖，則f(x)的解析式和S＝f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2020)＋f(2021)＋f(2022)＋f(2023)的值分別為1234567891011121314151612345678910111213141516∴cosφ＝1.∴φ＝2kπ，k∈Z，取k＝0得φ＝0.∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)又2024＝4×506，∴S＝4×506＝2024.12345678910111213141516√12345678910111213141516故選項A錯誤；12345678910111213141516故選項B正確；1234567891011121314151612345678910111213141516因為x∈[0，π]，1234567891011121314151612345678910111213141516g(x)為奇函數，1234567891011121314151612345678910111213141516600012345678910111213141516作出函數簡圖如圖.三角函數模型為y＝Asin(ωx＋φ)＋B，T