靜電平衡和靜電場邊值問題第1頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四導(dǎo)體靜電平衡條件溫州大學(xué)物理與電子信息學(xué)院第2頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四導(dǎo)體靜電平衡條件

（1）導(dǎo)體的剛放入電場（2）導(dǎo)體中的電子作定向運(yùn)動（3）導(dǎo)體中的電子無定向運(yùn)動靜電平衡：導(dǎo)體上任何部分都沒有電荷定向運(yùn)動的現(xiàn)象．

導(dǎo)體靜電平衡條件溫州大學(xué)物理與電子信息學(xué)院第3頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四導(dǎo)體靜電平衡條件溫州大學(xué)物理與電子信息學(xué)院第4頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四導(dǎo)體靜電平衡條件：1）導(dǎo)體內(nèi)部任何一點(diǎn)的場強(qiáng)等于0。2）導(dǎo)體表面任何一點(diǎn)的場強(qiáng)都垂直表面。反證法：設(shè)導(dǎo)體內(nèi)部某點(diǎn)E0，則該處有此力將驅(qū)動電子運(yùn)動導(dǎo)體未達(dá)靜電平衡。同理可證2）例如：在均勻場放入一導(dǎo)體的情況導(dǎo)體靜電平衡條件溫州大學(xué)物理與電子信息學(xué)院第5頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四靜電平衡條件小結(jié):電場表述（1）導(dǎo)體內(nèi)部場強(qiáng)處處為零；電勢表述（1）導(dǎo)體是等勢體；（2）導(dǎo)體表面附近的場強(qiáng)方向處處與它的表面垂直．（2）導(dǎo)體表面是等勢面．導(dǎo)體靜電平衡條件溫州大學(xué)物理與電子信息學(xué)院問題:電勢表述如何證明？第6頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四凈電荷分布在導(dǎo)體表面，導(dǎo)體內(nèi)處處無凈電荷。導(dǎo)體內(nèi)任取高斯面++++++++++++++++S實(shí)心導(dǎo)體證：導(dǎo)體上的電荷分布溫州大學(xué)物理與電子信息學(xué)院第7頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四

空腔導(dǎo)體

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腔內(nèi)無帶電體時：凈電荷分布在導(dǎo)體外表面。導(dǎo)體內(nèi)表面處處無凈電荷。在體內(nèi)取一高斯面S，由高斯定理：可知：內(nèi)表面電荷代數(shù)和為零。證明：已經(jīng)證明導(dǎo)體實(shí)體部分處處無凈電荷。現(xiàn)只需證明導(dǎo)體空腔的內(nèi)表面上處處無凈電荷。若內(nèi)表面上有正負(fù)兩種電荷，則：必有電力線由正電荷指向負(fù)電荷，與導(dǎo)體的靜電平衡條件相矛盾。導(dǎo)體上的電荷分布溫州大學(xué)物理與電子信息學(xué)院第8頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四腔體內(nèi)表面所帶的電量和腔內(nèi)帶電體所帶的電量等量異號，腔體外表面所帶的電量由電荷守恒定律決定。腔內(nèi)有帶電體：思考：如何證明這個結(jié)論？q2++++++++++++q1+qq+12q1++++++++++++++++導(dǎo)體上的電荷分布溫州大學(xué)物理與電子信息學(xué)院第9頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四導(dǎo)體表面附近場強(qiáng)證:

表面附近作圓柱形高斯面，===

一半在內(nèi)，一半在外。其中：是導(dǎo)體表面的電荷面密度導(dǎo)體上的電荷分布溫州大學(xué)物理與電子信息學(xué)院第10頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四導(dǎo)線即：用導(dǎo)線連接兩導(dǎo)體球，則必有：導(dǎo)體表面的的電荷面密度與導(dǎo)體表面的曲率半徑有關(guān)：曲率半徑大處電荷密度低；即：表面上愈尖銳處電荷密度越大。導(dǎo)體表面的電荷分布定性的證明：所以才有尖端放電現(xiàn)象。避雷針即利用尖端放電原理。導(dǎo)體上的電荷分布溫州大學(xué)物理與電子信息學(xué)院第11頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四導(dǎo)體上的電荷分布溫州大學(xué)物理與電子信息學(xué)院第12頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四靜電屏蔽以靜電平衡為前提空腔內(nèi)有帶電體的導(dǎo)體殼設(shè)導(dǎo)體帶電荷Q，空腔內(nèi)有一帶電體+q，則導(dǎo)體殼內(nèi)表面所帶電荷與腔內(nèi)電荷的代數(shù)和為0。證明：在導(dǎo)體殼內(nèi)作一高斯面S由高斯定理：得證由電荷守恒：+qQS+q導(dǎo)體上的電荷分布溫州大學(xué)物理與電子信息學(xué)院第13頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四討論+qQ+qQ+qQS+q1o腔內(nèi)+q所處位置不同，對內(nèi)外表面電荷分布及電場分布的影響。2o若將腔內(nèi)帶電體與導(dǎo)體殼連接，會出現(xiàn)什么情況？腔內(nèi)無電荷分布：E內(nèi)=0屏蔽外場3o若將導(dǎo)體殼接地，又會出現(xiàn)什么情況？屏蔽內(nèi)場導(dǎo)體殼外：E外=0思考：空腔內(nèi)如果沒電荷呢?導(dǎo)體上的電荷分布溫州大學(xué)物理與電子信息學(xué)院第14頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四例題:半徑為R的金屬球與地相連接，在與球心相距d=2R處有一點(diǎn)電荷q(>0)，問球上的感應(yīng)電荷q'=?解：利用金屬球是等位體球體上處處電位:球心處：Uo=0U=0q'=q？導(dǎo)體上的電荷分布溫州大學(xué)物理與電子信息學(xué)院思考：如果不是導(dǎo)體球，而是其他形狀的導(dǎo)體呢?第15頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四例題:

一金屬平板，面積為S帶電Q，在其旁放置第二塊同面積的不帶電金屬板。求(1)靜電平衡時，電荷分布及電場分布。(2)若第二塊板接地？忽略邊緣效應(yīng)。.P解：(1)設(shè)四個面上電荷面度為1234則有：如圖取高斯柱面可得：導(dǎo)體內(nèi)任意一點(diǎn)P，其電場E=0聯(lián)立求解可得：導(dǎo)體上的電荷分布溫州大學(xué)物理與電子信息學(xué)院第16頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四按電場疊加原理可求得：(2)第二板接地則與大地構(gòu)成一導(dǎo)體同理可得：聯(lián)立求解：.P導(dǎo)體上的電荷分布溫州大學(xué)物理與電子信息學(xué)院第17頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四靜電場唯一性定理溫州大學(xué)物理與電子信息學(xué)院問題提出給定導(dǎo)體系中各導(dǎo)體的電量或電勢以及各導(dǎo)體的形狀、相對位置（統(tǒng)稱邊界條件），求空間電場分布，即在一定邊界條件下求解泊松方程拉氏方程邊值問題定理表述邊界條件可將空間里電場的分布唯一地確定下來即給定邊界條件后，不可能存在不同的靜電場分布該定理對包括靜電屏蔽在內(nèi)的許多靜電問題的正確解釋至關(guān)重要理論證明在電動力學(xué)中給出，p59給出物理上的論證第18頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四引理一極大極小定理證明在無電荷的空間里電勢不可能有極大值和極小值思考：閱讀教材，簡述證明過程。若所有導(dǎo)體的電勢為0,則導(dǎo)體外空間的電勢處處為0引理二思考：閱讀教材，簡述證明過程。若所有導(dǎo)體都不帶電,則各導(dǎo)體的電勢都相等引理三思考：閱讀教材，簡述證明過程。靜電場唯一性定理溫州大學(xué)物理與電子信息學(xué)院第19頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四在給定各帶電導(dǎo)體的幾何形狀、相對位置后，賦予兩組邊界條件：1：給定每個導(dǎo)體的電勢UⅠk（或總電量QⅠk）2：給定每個導(dǎo)體的電勢UⅡk（或總電量QⅡk)設(shè)UⅠ、UⅡ滿足上述兩條件，則它們的線性組合

U=aUⅠ+bUⅡ必滿足條件3:3:給定每個導(dǎo)體的電勢Uk=aUⅠk+bUⅡk

（或總電量Qk=QⅠkak+bQⅡk）特例：取UⅠk＝

UⅡk，則U=UⅠ－UⅡ(a=1,b=-1)滿足4：給定每個導(dǎo)體的電勢為0

疊加原理靜電場唯一性定理溫州大學(xué)物理與電子信息學(xué)院第20頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四給定每個導(dǎo)體電勢的情形定理證明靜電場唯一性定理溫州大學(xué)物理與電子信息學(xué)院給定每個導(dǎo)體上總電量的情形:第k個導(dǎo)體上的電量第21頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四唯一性定理表明：一旦找到某種電荷分布，既不違背導(dǎo)體平衡特性,又是物理實(shí)在,則這種電荷分布就是唯一可能的分布。

唯一性定理的應(yīng)用溫州大學(xué)物理與電子信息學(xué)院靜電屏蔽的解釋第22頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四像電荷在一接地的無窮大平面導(dǎo)體前有一點(diǎn)電荷q求空間的電場分布和導(dǎo)體表面上的電荷分布基本思想：利用唯一性定理，邊界條件確定了，解是唯一的，可以尋找合理的試探解電像法唯一性定理的應(yīng)用溫州大學(xué)物理與電子信息學(xué)院第23頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四解:第一步:尋找像電荷對稱性分析，確定像電荷位使球面上電勢＝0任取P點(diǎn)，利用疊加原理求出像電荷位置對所有都成立，即要求例題:真空中有一半徑為R的接地導(dǎo)體球，距球心為a(a>