非線性科學緒論第1頁，共55頁，2023年，2月20日，星期四第一節引言什么是非線性

2非線性現象的基本特征第2頁，共55頁，2023年，2月20日，星期四1、什么是非線性非線性科學是揭示非線性系統共性，探索復雜性的一門學問。非線性系統的微分方程是非線性的，例如：單擺運動方程流體速度場方程什么是非線性科學第3頁，共55頁，2023年，2月20日，星期四2、線性科學和非線性科學的差異

線性與非線性物理現象有著質的差異和不同的特征。1、從結構上看，線性系統的基本特征是可疊加性或可還原性，部分之和等于整體，幾個因素對系統聯合作用的總效應，等于各個因素單獨作用效應的加和；因而描述線性系統的方程遵從疊加原理，即方程的不同解加起來仍然是方程的解；分割、求和、取極限等數學操作，都是處理線性問題的有效方法；非線性則指整體不等于部分之和，疊加原理失效。從運動形式上看，線性現象一般表現為時空中的平滑運動，可以用性能良好的函數表示，是連續的，可微的。而非線性現象則表現為從規則運動向不規則運動的轉化和躍變，帶有明顯的間斷性、突變性。第4頁，共55頁，2023年，2月20日，星期四2、從系統對擾動和參量變化的響應來看，線性系統的響應是平緩光滑的，成比例變化；而非線性系統在一些關節點上，參量的微小變化往往導致運動形式質的變化，出現與外界激勵有本質區別的行為，發生空間規整性有序結構的形成和維持。正是非線性作用，才形成了物質世界的無限多樣性、豐富性、曲折性、奇異性、復雜性、多變性和演化性。第5頁，共55頁，2023年，2月20日，星期四非線性科學中較成熟的部分是非線性動力學.19世紀末法國H.龐加萊的兩項工作——常微分方程的定性理論和天體運動中定量計算使他成為非線性科學最早的代表人物。20世紀前葉，無線電技術促使非線性振動理論的誕生，繼承和發展了龐加萊的成果。20世紀60年代后，大氣科學和流體力學中利用計算機進行的數值研究，分析力學中數學理論的進展，以及統計物理中遠離平衡態系統性態的研究等等，促進了在橫向聯系上發現并研究各類不同系統由于非線性而導致的共性，即非線性科學。

第6頁，共55頁，2023年，2月20日，星期四第二節無阻尼單擺

1小角度無阻尼單擺橢圓點2任意角度無阻尼單擺振動雙曲點3無阻尼單擺的相圖與勢能曲線4用數值計算和相圖研究大幅度單擺的運動第7頁，共55頁，2023年，2月20日，星期四

由牛頓第二定律：

非線性方程式中角頻率：1小角度無阻尼單擺橢圓點數學表達式第8頁，共55頁，2023年，2月20日，星期四

線性化處理忽略3次以上的高次項得線性方程數學表達式1小角度無阻尼單擺橢圓點第9頁，共55頁，2023年，2月20日，星期四令代入方程得得特征方程：特征根：得通解為：式中為復常數。由于描述單擺振動的應為實函數，所以常數必須滿足條件：將寫成指數形式后得：該式是振幅為P，角頻率為的簡諧振動，其振動波形為正弦曲線。角頻率只與擺線l得長度有關，與擺錘質量無關，稱為固有角頻率。數學表達式1小角度無阻尼單擺橢圓點第10頁，共55頁，2023年，2月20日，星期四使得：一次積分后：式中E為積分常數，由初始條件決定。把看作為兩個變量，則方程是一個圓周方程，圓的半徑為，振動過程是一個代表點沿圓周轉動。相圖1小角度無阻尼單擺橢圓點第11頁，共55頁，2023年，2月20日，星期四1小角度無阻尼單擺橢圓點相圖相圖即狀態圖，是法國偉大數學家龐加萊(Poincare)于十九世紀末提出用相空間軌線表示系統運動狀態的方法。相圖上每一個點表示了系統在某一時刻狀態（擺角與角速度），系統運動狀態用相圖上的點的移動來表示，點的運動軌跡稱為軌線。能量方程右邊第一項為系統動能K，第二項為系統勢能V，E是系統的總能量。運動過程中K和V兩者都隨時間變化，而系統總能量E保持不變。當K=V=0時，E=0，有，這時擺處于靜止狀態，為靜止平衡。當E>0時，由于系統總能量保持不變，擺的運動用確定周期描述。不同能量E

相應于半徑不同的圓，構成一簇充滿整個平面的同心圓[或橢圓]。同一圓周[或橢圓]上各點能量相同，又稱為等能軌道。坐標原點是能量E=0的點，圍繞該點是橢圓，故稱橢圓軌線圍繞的靜止平衡點為‘橢圓點’。第12頁，共55頁，2023年，2月20日，星期四周期與擺角無關？看看實驗結果：定性結論：1.周期隨擺角增加而增加2.隨擺角增加波形趨于矩形單擺周期2任意角度無阻尼單擺振動雙曲點第13頁，共55頁，2023年，2月20日，星期四對方程乘以后積分其中積分設t=0時，，周期為T，在時應有，故有：最后得：單擺周期數學表達式2任意角度無阻尼單擺振動雙曲點第14頁，共55頁，2023年，2月20日，星期四在倒立附近，取對鉛垂的偏角f表示擺角，代入單擺方程得方程利用得方程積分得雙曲方程：當E＝0時有這是在[]處的雙曲線的漸近線，這點稱為雙曲奇點，也稱鞍點。相圖上這點為的[]點。2任意角度無阻尼單擺振動雙曲點單擺倒立附近的相軌線雙曲奇點第15頁，共55頁，2023年，2月20日，星期四3無阻尼單擺的相圖與勢能曲線基本方程若取后積分得左邊第一項是單擺動能K，左邊第二項是勢能V右邊積分常數E是單擺總能

勢能曲線是余弦函數勢能曲線第16頁，共55頁，2023年，2月20日，星期四1.坐標原點[]附近相軌線為近似橢圓形的閉合軌道；2.平衡點[]為單擺倒置點（鞍點），附近相軌線雙曲線；3.從[]到[]或相反的連線為分界線在分界線內的軌線是閉合回線單擺作周期振動。分界線以外單擺能量E超過勢能曲線的極大值，軌道就不再閉合，單擺作向左或向右方向的旋轉運動單擺完整相圖3無阻尼單擺的相圖與勢能曲線第17頁，共55頁，2023年，2月20日，星期四相圖橫坐標θ是以2p為周期的，擺角是同一個倒立位置，把相圖上G點與G‘點重迭一起時，就把相平面卷縮成一個柱面。所有相軌線都將呈現在柱面上。因此，平面上的相軌線是柱面上的相軌線的展開圖。柱面上的單擺相軌線3無阻尼單擺的相圖與勢能曲線第18頁，共55頁，2023年，2月20日，星期四4用數值計算和相圖研究大幅度單擺的運動可積的！！！勢能函數

能量守恒方程

計算機作圖第19頁，共55頁，2023年，2月20日，星期四4用數值計算和相圖研究大幅度單擺的運動第20頁，共55頁，2023年，2月20日，星期四4用數值計算和相圖研究大幅度單擺的運動（1）存在兩類奇點.中心

鞍點

（2）存在兩類軌線.第21頁，共55頁，2023年，2月20日，星期四4用數值計算和相圖研究大幅度單擺的運動大幅度單擺運動在無外界驅動和無阻尼的情況下是屬于保守、自治系統的運動,相軌跡不隨時間改變,且不能相交.

計算結果表明它只可能做周期性的擺動或轉動,不可能產生混沌現象.對應于能量較大(即擺角較大)的擺動,因有諧頻出現,它的閉合軌線不是橢圓,與簡諧振動的軌線是不同的,其擺動周期與初始條件有關.除基頻譜線外,還可以看到1條3倍頻的諧頻譜線.功率譜是分立的。

第22頁，共55頁，2023年，2月20日，星期四1.相平面法2.平衡點的類型及其穩定性第三節相圖方法第23頁，共55頁，2023年，2月20日，星期四由單擺基本方程引進變數y：一個二階方程改用兩個一階微分方程來描寫：利用第二式可得單擺相軌線方程積分得單擺的橢圓軌線方程：單擺1相圖方法第24頁，共55頁，2023年，2月20日，星期四一個非線性微分方程：

引進變數y后有或更一般的形式得相軌線方程：一般情況1相圖方法第25頁，共55頁，2023年，2月20日，星期四相平面法1.相軌道方程相平面法是一種直觀的幾何方法,它適用于描述系統的一維運動.以位置、速度為坐標建立坐標系,通常稱此坐標平面為相平面(廣義相平面).相平面中任一點代表該時刻系統的運動狀態,稱為相點.相點連續變化形成的軌道則描述了系統的運動過程,稱為相軌道(簡稱軌線),這種圖形也稱相圖.自治系統非自治系統第26頁，共55頁，2023年，2月20日，星期四2.軌線的作法相軌道方程

對保守系統,可利用勢能曲線作相圖.第27頁，共55頁，2023年，2月20日，星期四單位質量的動能

能量守恒例題1

第28頁，共55頁，2023年，2月20日，星期四例題2

第29頁，共55頁，2023年，2月20日，星期四3.軌線的普遍性質（1）對于自治系統,軌線不隨時間改變,互不相交.若相軌道是一條閉合曲線,則系統做周期運動.（2）軌線的方向即相點沿軌線運動的方向,由相點位置確定,上半部向右，下半部向左.（3）是相點運動速度矢量的兩個分量.對于保守系統第30頁，共55頁，2023年，2月20日，星期四阻尼振動4.奇點及其附近的軌線在相平面上,滿足的點稱為奇點,對此點有即相軌道方向是不確定的.從力學角度看,奇點即平衡點,表明系統處于平衡態,故又稱不動點.對于保守系統,奇點有3種類型,分別與勢能曲線的極大點、極小點和拐點3種情況對應.常見的是中心和鞍點.

第31頁，共55頁，2023年，2月20日，星期四中心鞍點第32頁，共55頁，2023年，2月20日，星期四由單擺基本方程引進變數y：一個二階方程改用兩個一階微分方程來描寫：利用第二式可得單擺相軌線方程積分得單擺的橢圓軌線方程：單擺1相圖方法第33頁，共55頁，2023年，2月20日，星期四一個非線性微分方程：

引進變數y后有或更一般的形式得相軌線方程：一般情況1相圖方法第34頁，共55頁，2023年，2月20日，星期四系統的平衡點從下面推出：一般的形式平衡點坐標：系統的平衡點

2平衡點的類型及其穩定性第35頁，共55頁，2023年，2月20日，星期四對平衡點的鄰域進行泰勒展開引進新變數：平衡點附近的軌線方程

2平衡點的類型及其穩定性得新方程：式中

研究平衡點的鄰域的相軌線，可以忽略高階項，得線性方程組第36頁，共55頁，2023年，2月20日，星期四研究平衡點的鄰域線性方程組微分代入得二階線性方程：通過求解這方程得各種平衡點類型

2平衡點的類型及其穩定性平衡點附近的軌線方程第37頁，共55頁，2023年，2月20日，星期四方程代入特征方程引入符號特征方程解：由特征方程得：參數l取值不同,給出不同類型平衡點.

特征方程解的簡化：由于每個變量X,Y中包含了兩個參數l，看不清平衡點的性質，于是進行坐標變換：在新坐標中有：其解分別只與一個參數有關：

2平衡點的類型及其穩定性平衡點附近的軌線方程第38頁，共55頁，2023年，2月20日，星期四平衡點類型⑴結點特征根式的根號中，則解為兩個同號實根，其平衡點稱為結點。結點有穩定與不穩定之分如果，結點為穩定的。如果，結點為不穩定。2平衡點的類型及其穩定性第39頁，共55頁，2023年，2月20日，星期四⑵鞍點特征根式根號中，解為異號實根。相軌線為雙曲線，奇點為不穩定的鞍點。有四條流線通過鞍點，其兩條流向鞍點是穩定的，另外流離鞍點的兩條是不穩定的。

“鞍點”源于對該點特性形象描述，指馬鞍中心點，是沿馬脊梁的最低點。流向鞍點是兩條穩定流線，但任何微小偏離將使其沿馬背的左或右邊滑走。

2平衡點的類型及其穩定性平衡點類型第40頁，共55頁，2023年，2月20日，星期四

⑶焦點特征根式根號中，解為兩個虛根。如阻尼單擺那樣，相軌線是對數螺旋線，系統的平衡點為焦點。當實部為負值時，與阻尼單擺相同，平衡點是螺旋線簇的漸近點。當實部為正值時，相軌線從平衡點發散開來，焦點是不穩定的。2平衡點的類型及其穩定性平衡點類型第41頁，共55頁，2023年，2月20日，星期四

2平衡點的類型及其穩定性平衡點類型

⑷中心點如果，且兩個虛根的實部等于零。螺旋線矢徑不隨時間變化，圍繞平衡點是封閉曲線族。平衡點是軌線族的中心，稱為“中心點”。封閉橢圓曲線代表作周期運動。根據虛部的正負不同，相軌線上的相點可以是順時或逆時方向轉動。根據穩定性定義，周期運動滿足穩定性條件，中心點是穩定平衡點。第42頁，共55頁，2023年，2月20日，星期四p,q

平面上奇點分布p,q平面在平面下半部分，,這個區域內的奇點是鞍點平面上半部，由拋物線分為四個區.

2平衡點的類型及其穩定性第一象限由拋物線劃分成不穩定的結點(p>24q)與不穩定的焦點(p2<4q)兩個區；第二象限由拋物線劃分成穩定的結點(p2<4q)與穩定的焦點(p2>4q)兩個區；在正q軸上,p=0,l是純虛數,平衡點是中心點,附近是橢圓軌線。第43頁，共55頁，2023年，2月20日，星期四第四節導致混沌的倒擺受迫振動1.運動方程的建立彈簧產生的力矩為空氣阻力為重力產生力矩為倒擺的運動微分方程為第44頁，共55頁，2023年，2月20日，星期四2.對方程進行無量綱化條件：第45頁，共55頁，2023年，2月20日，星期四在無驅動力時系統具有3個平衡位置因而有第46頁，共55頁，2023年，2月20日，星期四受迫Duffing方程對方程進行無量綱化的好處至少有兩方面:（1）方程涉及的只是數量關系;（2）更重要的是取不同的長度單位和時間單位時,方程中各項系數的大小不同，顯示出不同景象.第47頁，共55頁，2023年，2月20日，星期四3.數值計算的結果和對結果的分析（1）對初值的敏感和李雅普諾夫指數第48頁，共55頁，2023年，2月20日，星期四由確定性方程產生的對初值敏感的現象通常稱為混沌現象.李雅普諾夫指數第49頁，共55頁，2023年，2月20日，星期四若兩個指數中有一個為正，即表明相鄰軌道的間距具有平均指數發散的性質，軌道具有局部不穩定性，據此可判斷運動為混沌運動.（2）關于分叉現象雙穩