正多邊形和—知識講解提高）【習標1.了解正多邊形和圓的有關概念對稱性；2.理解并掌握正多邊形半徑和邊、邊心距、中心角之間的關系，會應用正多邊形和圓的有關知識畫正多邊形；3.會進行正多邊形的有關計.【點理要一正邊的念各邊相等，各角也相等的多邊形是正多邊形．要詮：判斷一個多邊形是否是正多邊形，必須滿足兩個條件(1)邊相等；各相等；缺一不可如菱形的各邊都相等，矩形的各角都相等，但它們都不是正多邊(正方形是正多邊).要二正邊的要素正多邊的接和的接多形正多邊形和圓的關系十分密切，只要把一個圓分成相等的一些弧，就可以作出這個圓的內(nèi)接正邊形，這個圓就是這個正多邊形的外接圓．正多邊的關念(1)一個正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊形的中心．(2)正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑．(3)正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角．(4)正多邊形的中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距．正多邊的關算(1)正ｎ邊形每一個內(nèi)角的度數(shù)是；(2)正ｎ邊形每個中心角的度數(shù)是(3)正ｎ邊形每個外角的度數(shù)是.

；要詮：熟悉正多邊形的基本概念和基本圖形，將待解決的問題轉化為直角三角要三正邊的質(zhì)1.正多邊形都只有一個外接圓，圓有無數(shù)個內(nèi)接正多邊2.正ｎ邊形的半徑和邊心距把正ｎ邊形分成ｎ個全等的直角三角.3.正多邊形都是軸對稱圖形，對稱軸的條數(shù)與它的邊數(shù)相同，每條對稱軸都通過正n邊的中心當邊數(shù)是偶數(shù)時，它也是中心對稱圖形，它的中心就是對稱中.

4.邊數(shù)相同的正多邊形相似。它周長的比，邊心距的比，半徑的比都等于相似比，面積的比等于相似比的平方．5.任何正多邊形都有一個外接圓一個內(nèi)切圓，這兩個圓是同心圓要詮）各邊相等的圓的內(nèi)接多邊形圓的內(nèi)接正多邊形各角相等的圓的外切多邊形是圓的外切正多邊形要四正邊的法用量角等圓由于在同圓中相等的圓心角所對的弧也相等，因此作相等的圓心(即分頂點在圓心的周角)可等分圓；根據(jù)同圓中相等弧所對的弦相等，依次連接各分點就可畫出相應的正n邊形.用尺規(guī)分對于一些特殊的正ｎ邊形，可以用圓規(guī)和直尺作.①正四、八邊形.在O中用尺規(guī)作兩條互相垂的直徑就可把圓分成4等，從而作出正四邊.再次平分邊所對的弧即作∠的平線交邊形.②正六、三、十二邊形的作.

于E)就可出正八邊形、正十六邊形等，邊數(shù)逐次倍增的正多通過簡單計算可知，正六邊形的邊長與其半徑相等，所以，在中任畫一條直徑AB，別以A、B為圓心，以O的徑為半徑畫弧與O相交C、D，則A、D是⊙O的6等分.顯然，、E或C、B、D)是O的等分同樣，在圖(3)中分每條邊所的弧，就可把O12等…….

??要詮：正邊形方法）將一個圓n等）順次連結等分點【型題類一正邊的念1.如所示，正五邊形的對角線AC和相交于點M．(1)求證：∥ED；(2)求：ME＝AE【解析與答案】(1)正多邊形必有外接圓，作出正五邊形的外接，則

AB

的度數(shù)為

15

360∵的數(shù)等于EDC的數(shù)的一半，∴∠EAC＝

12

同理，∠AED＝

12

，∴，∴ED∥AC．(2)∵∠EMA＝180－∠AEB－∠EAC＝72°∴∠EAM＝＝72°，∴EA＝EM．【點評】輔助圓是特殊的輔助線一般用得很少，當有共圓條件時可作出輔助圓后利用圓的特殊性去解決直線型的問題．要證AC∥ED和ME＝AE都可用角的關系去證，而如果作出正五邊形的外接圓，則用圓中角的關系去證比較容易．（威模擬如圖正方形ABCD內(nèi)接于O為DC中點直線BE交于，若O半徑為，則的為．

【答案】

655

.【解析解：連接BD，DF，過點C作CNBF點F，正形ABCD內(nèi)于，的徑為，，AD=AB=BC=CD=2，E為DC的點，，，×BC，×，，BN=﹣

﹣

=

，BD為的徑，，CENDEF，，

+=

，故答案為．【點評】此題主要考查了正多邊和圓以及勾股定理以及三角形面積等知識，根據(jù)圓周角定理得出正多邊形邊長是解題關鍵．舉反：【變】同個圓的內(nèi)接正六邊形和外切正六邊形的周長的比等于（）A：4B．

：2C．2：D．1【答案B；【解析設圓的半徑為1，如圖（），連接OA、OB過O作OG⊥AB；

∵六邊形ABCDE為六邊形，∴∠AOB==60°；∵OA=OB，∴∠AOG==30°，∴AG=OA?sin30°=1×=，或勾股定理求）∴AB=2AG=2×=1，∴C=6AB=6．如圖（）接OA過O作OG⊥AB∵六邊形ABCDE為六邊形，∴∠AOB==60°，∵OA=OB，∴∠AOF==30°，∴AG=OG?tan30°=∴AB=2AG=2×=∴C=6AB=6×

，（或由勾股定理求），=4cm．∴圓的內(nèi)接正六邊形和外切正六邊形的周長的=：4類二正邊和的關算

=：2．3.（2014江西模擬）如圖AG正八邊形ABCDEFGH的條角線．（1）在剩余的頂點B、C、、、、H中連接兩個頂點，使連的線段與AG平，并說明理由；（2）兩邊延長ABCD、EF、GH，使延長線分別交于點、Q、N若，四邊形PQMN的面積．【答案與解析】解）接BF則有BFAG．

理由如下：ABCDEFGH是八邊形，它內(nèi)角都為135．又HA=HG，1=22.5，從而°﹣．由于正八邊形關于直線BF對，即2+°，故．（2）根據(jù)題設可知PHA=PAH=45，°，理可得M=90，四形PQMN是矩形．又QBC=MDE=MED=45，AH=BC=DEPAHMDEPA=QB=QC=MD即PQ=QM，故四邊形是正方形．在eq\o\ac(△,Rt)PAH，PAH=45，，PA=

．故

．【點評此題主要考查了正多邊形和圓以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識出的是題關鍵．4.如（）所示，圓內(nèi)接ABC中AB＝BC＝CA，OD、OE為⊙的徑OD⊥BC于F，OEAC于點G，求證：陰影部分四邊OFCG的面是ABC的面積的

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．圖（1）【答案與解析】(1)連OA、OB、OC，如圖（2）所，

圖（2）則OA＝OB＝OC，AB＝BC．eq\o\ac(△,≌)OAB≌△OBCeq\o\ac(△,，)又OD⊥BC于F，OE⊥AC于G，由徑定理得AG＝∴AG＝CF．∴

11AC＝BC，22∴

四邊形FCG

AOG

AOC

13

．【點評首先連接OC，根據(jù)垂定理的知識，易證得eq\o\ac(△,Rt)OCG≌Rteq\o\ac(△,，)設OG=a，據(jù)直角三角形的性質(zhì)與等邊三角形的知識即可得陰影部分四邊形OFCG的面積eq\o\ac(△,與)的積繼求得答案．舉反：【變】如圖，若DOE保120°度不變，求證：當∠DOE繞O點轉時，兩條半徑和△ABC的兩條邊圍成的圖形，圖中陰影部分的面積始終是的積的

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．【答案連接OA、OC