2023屆廣西高三模擬考試數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】解不等式化簡集合A，B，再利用并集的定義求解作答.【詳解】依題意，，，所以.故選：C2．若復(fù)數(shù)z的虛部小于0，且，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】求出，根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算即可得解.【詳解】因?yàn)椋?，又?fù)數(shù)z的虛部小于0，所以所以故選：D3．若函數(shù)的最大值為4，則函數(shù)的最小正周期為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由正弦函數(shù)的值域和的最大值求得，再由余弦型函數(shù)的周期公式求的最小正周期.【詳解】由，函數(shù)的最大值為4，則，函數(shù)的最小正周期為.故選：D4．若雙曲線C：的焦距大于6，C上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值為d，則d的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)雙曲線的方程求出焦距，再由雙曲線的定義求解.【詳解】因?yàn)殡p曲線C：，所以，由題意可知，則，由雙曲線的定義知，.故選：A5．某舞臺(tái)燈光設(shè)備有一種25頭LED矩陣燈（如圖所示），其中有2頭LED燈出現(xiàn)故障，假設(shè)每頭LED燈出現(xiàn)故障都是等可能的，則這2頭故障LED燈相鄰（橫向相鄰或縱向相鄰）的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先求出橫向、縱向相鄰的LED燈總對(duì)數(shù)，再應(yīng)用古典概型的概率求法求概率.【詳解】每列相鄰的LED燈共4對(duì)，共有5列，故橫向相鄰有種；同理縱向相鄰也有種，所以這2頭故障LED燈相鄰的概率為．故選：A6．若，，分別是定義在R上的偶函數(shù)、奇函數(shù)、偶函數(shù)，則下列函數(shù)不是偶函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)，，分別是定義在R上的偶函數(shù)、奇函數(shù)、偶函數(shù)，再由奇偶函數(shù)的定義逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】若，則，則是偶函數(shù)，故A錯(cuò)誤；若，則,則是偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤；若，則，則是奇函數(shù)，故C正確；若，則，則是偶函數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：C7．如圖，△ABC與△BCD都是正三角形，，將△ABC沿BC邊折起，使得A到達(dá)的位置，連接，得到三棱錐，則“”是“二面角為鈍角”的（

）A．充分不必要條件 B．充要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】由二面角的定義得出二面角的平面角為，進(jìn)而由余弦定理，以及充分必要條件的定義判斷即可.【詳解】取的中點(diǎn)為，連接，二面角的平面角為，易知，.若二面角為鈍角，則，，即.若，則，，則，又二面角的范圍是，所以二面角為鈍角.即“”是“二面角為鈍角”的充要條件.故選：B8．已知A，B，C是同一條直線上三個(gè)不同的點(diǎn)，O為直線外一點(diǎn)．在正項(xiàng)等比數(shù)列中，已知，，則的公比q的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)三點(diǎn)共線可得，利用表示后由求解即可.【詳解】因?yàn)锳，B，C是同一條直線上三個(gè)不同的點(diǎn)，且，所以.因?yàn)檎?xiàng)等比數(shù)列，所以公比，又因?yàn)?，所以，又，所?故選：B9．若x，y滿足約束條件，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】畫出可行域，平移直線，找到在縱軸上截距最大、最小時(shí)經(jīng)過的點(diǎn)，求出的取值范圍.【詳解】，滿足約束條件，表示的平面區(qū)域，如圖陰影部分所示：聯(lián)立，解得，即，由圖易得目標(biāo)函數(shù)過點(diǎn)時(shí)，取最大值，沒有最小值.∴目標(biāo)函數(shù)的取值范圍是.故選：C.10．設(shè)鈍角滿足，則（

）A． B． C．7 D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用二倍角的余弦公式化簡求出，再利用同角公式及和角的正切公式求解作答.【詳解】因?yàn)椋瑒t，解得，而為鈍角，則，，所以.故選：D11．在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為梯形，平面PAD⊥底面ABCD，，，，，則四棱錐P－ABCD外接球的表面積為（

）A．26π B．27π C．28π D．29π【答案】D【分析】建立坐標(biāo)系，利用外接球的特點(diǎn)與性質(zhì)確定球心和半徑，進(jìn)而得出表面積.【詳解】取中點(diǎn)為，取的中點(diǎn)為，連接，因?yàn)?，，平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD⊥底面ABCD，平面,平面，平面，，則以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系，如下圖所示：設(shè)梯形外接圓的圓心為，由可得解得，則.設(shè)四棱錐P－ABCD外接球的球心坐標(biāo)為.則球心到點(diǎn)與到點(diǎn)的距離相等，則即，故球心坐標(biāo)為，半徑為.四棱錐外接球的表面積為.故選：D12．若函數(shù)的最小值為m，則函數(shù)的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由，可得，再根據(jù)函數(shù)的最小值為m，即可得解.【詳解】若，則，因?yàn)?，所以，因?yàn)楹瘮?shù)的最小值為m，所以函數(shù)的最小值也為m，所以.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵在于說明.二、填空題13．若隨機(jī)變量X的分布列為則X的數(shù)學(xué)期望為______________．X－1245P【答案】##【分析】根據(jù)期望公式計(jì)算即可.【詳解】.故答案為：.14．南宋晚期的龍泉窯粉青釉刻花斗笠盞如圖1所示，忽略杯盞的厚度，這只杯盞的軸截面如圖2所示，其中光滑的曲線是拋物線的一部分，已知杯盞盛滿茶水時(shí)茶水的深度為3cm，則該拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為______cm.【答案】【分析】以拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，根據(jù)題意得到點(diǎn)的坐標(biāo)，代入求出參數(shù)的值，即可得解.【詳解】如圖，以拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為軸，建立直角坐標(biāo)系，依題意可得的坐標(biāo)為，設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，解得.故該拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為cm.故答案為：15．若不等式對(duì)恒成立，則a的取值范圍是____________．【答案】【分析】通過參數(shù)分離等價(jià)轉(zhuǎn)化不等式，再求二次函數(shù)在給定區(qū)間的最值，即可求出a的取值范圍．【詳解】由不等式對(duì)恒成立，可轉(zhuǎn)化為對(duì)恒成立，即，而，當(dāng)時(shí)，有最大值，所以，故答案為：．16．有窮數(shù)列共有k項(xiàng)，滿足，，且當(dāng)，時(shí)，，則項(xiàng)數(shù)k的最大值為______________．【答案】【分析】分析數(shù)列為有窮數(shù)列，且，所以項(xiàng)數(shù)最大的項(xiàng)，利用累加法可得即可得解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，因?yàn)橛懈F數(shù)列，，，所以當(dāng)項(xiàng)數(shù)最大時(shí)，，則，，，將以上各式相加得，即，，即，則.故答案為：三、解答題17．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．已知．(1)證明：．(2)若D為BC的中點(diǎn)，從①，②，③這三個(gè)條件中選取兩個(gè)作為條件證明另外一個(gè)成立．注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）由余弦定理和正弦定理化簡已知等式，可證；（2）三種情況，在中，利用余弦定理證明即可.【詳解】（1）已知，由余弦定理可得，即，又由正弦定理，得，角A，B為△ABC中內(nèi)角，所以.（2）△ABC中,，D為BC的中點(diǎn)，如圖所示，①②③已知，，求證.證明：，中，，解得.①③②已知，，求證.證明：，所以中，.②③①已知，，求證：.證明：，在中，由余弦定理，，所以18．2016～2020年廣西城鄉(xiāng)居民人均可支配收入的柱形圖如下圖所示．(1)不考慮價(jià)格因素，求廣西2020年農(nóng)村居民人均可支配收入的年增長率（結(jié)果精確到0.1%）．(2)現(xiàn)欲了解廣西各年城鎮(zhèn)居民人均可支配收入y（單位：元）與農(nóng)村居民人均可支配收入x（單位：元）是否存在較好的線性關(guān)系．設(shè)廣西2016年城鎮(zhèn)居民人均可支配收入為元，農(nóng)村居民人均可支配收入為元，2017年對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)分別為，，2018年對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)分別為，，2019年對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)分別為，，2020年對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)分別為，．根據(jù)圖中的五組數(shù)據(jù)，得到y(tǒng)關(guān)于x的線性回歸方程為．試問y關(guān)于x的線性相關(guān)系數(shù)r是否大于0.95，并判斷y與x之間是否存在較好的線性關(guān)系．參考數(shù)據(jù)：，，．附：樣本的相關(guān)系數(shù)，線性回歸方程中的系數(shù)，．【答案】(1)(2)，y與x之間存在較好的線性關(guān)系.【分析】（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)計(jì)算人均可支配收入的年增長率即可；（2）求出，再由已知求出，根據(jù)相關(guān)系數(shù)公式求出，【詳解】（1）因?yàn)閺V西2020年農(nóng)村居民人均可支配收入為14815元,廣西2019年農(nóng)村居民人均可支配收入為13676元，所以廣西2020年農(nóng)村居民人均可支配收入的年增長率為.（2）y關(guān)于x的線性回歸方程為，所以，所以，，所以，所以，故y與x之間存在較好的線性關(guān)系.19．如圖，四棱錐的底面為矩形，，，，平面平面．是的中點(diǎn)，是上一點(diǎn)，且平面．(1)求的值；(2)求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)平面與直線相交于點(diǎn)，連接，．根據(jù)線面平行的性質(zhì)即可求解；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求線面角.【詳解】（1）設(shè)平面與直線相交于點(diǎn)，連接，．因?yàn)槠矫?，平面，平面平面，所以．因?yàn)椋矫?，平面，所以平面．又平面平面，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以，分別為，的中點(diǎn)，故．（2）因?yàn)椋堑闹悬c(diǎn)，所以，又平面平面，且平面平面，平面，所以平面.以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，．設(shè)平面的法向量為，則令，得，所以．設(shè)直線與平面所成的角為，則．20．已知函數(shù)．(1)設(shè)．①求曲線在點(diǎn)處的切線方程．②試問有極大值還是極小值？并求出該極值．(2)若在上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．【答案】(1)①；②有極大值.(2)【分析】（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求斜率，根據(jù)點(diǎn)斜式即可求解切線方程；利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)單調(diào)性即可求解極值問題.（2）由題意，轉(zhuǎn)化為方程有兩個(gè)解，即直線與函數(shù)，有兩個(gè)交點(diǎn)，構(gòu)造，求導(dǎo)得到其單調(diào)性，數(shù)形結(jié)合，即可求出a的取值范圍.【詳解】（1）①當(dāng)時(shí)，，則，所以，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即．②令得，令得，令得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，由極值的定義知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極大值，無極小值.（2）因?yàn)楹瘮?shù)在上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，所以方程在上有兩個(gè)解，即在上有兩個(gè)解，記，，則直線與函數(shù)，有兩個(gè)交點(diǎn)，則，記，則，令得，令得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，令得，又，所以當(dāng)時(shí)，，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，，函數(shù)單調(diào)遞減，又，，如圖，由圖知，要使直線與函數(shù)，有兩個(gè)交點(diǎn)，則，所以函數(shù)在上恰有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，a的取值范圍為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，求參數(shù)的取值范圍的常用方法：（1）直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件列出關(guān)于參數(shù)的不等式，求解即可得出參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題進(jìn)行求解；（3）數(shù)形結(jié)合法：對(duì)解析式適當(dāng)變形，構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是方程根的個(gè)數(shù)，然后數(shù)形結(jié)合求解．常見類型有兩種：一種是轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題；另一種是轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題．21．已知橢圓，斜率為2的直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)．過點(diǎn)B作AB的垂線交橢圓于另一點(diǎn)C，再過點(diǎn)C作斜率為－2的直線交橢圓于另一點(diǎn)D．(1)若坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離為，求△AOB的面積．(2)試問直線AD的斜率是否為定值？若是定值，求出此定值；若不是定值，說明理由．【答案】(1)(2)定值，.【分析】（1）設(shè)直線AB的方程為，由O到直線l的距離為，求出，聯(lián)立直線與橢圓方程，根據(jù)弦長公式求出，即可由面積公式求解；（2）由直線AB的方程聯(lián)立橢圓求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，同理由直線CD的方程聯(lián)立橢圓方程求出D點(diǎn)坐標(biāo)，再由及點(diǎn)在橢圓上可得，，再根據(jù)斜率公式計(jì)算即可得解.【詳解】（1）設(shè)直線AB的方程為，因?yàn)榈街本€的距離為，所以，則.將代入，得，解得，則.故的面積為.（2）設(shè)，直線AB的方程為，代入，得，則，可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為設(shè)，直線CD的方程為，代入得則，可得點(diǎn)D的坐標(biāo)為由得，因?yàn)?，所以則，則.故直線AD的斜率為定值.22．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為，直線的極坐標(biāo)方程為．(1)求C的極坐標(biāo)方程；(2)若直線與C相交于A，B兩點(diǎn)，P為直線上的動(dòng)點(diǎn)，求的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）先求出C的普通方程，再根據(jù)即可得解；（2）先分別求出直線和直線的普通方程，聯(lián)立直線和C的普通方程，求出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)，再根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】（1）由，得，所以，即所以C的極坐標(biāo)方程為；（2）的普通方程為，由直線的極坐標(biāo)方程為，得其普通方程為，聯(lián)