PAGE剖析幾何概型的五類重要題型解決幾何概型問題首先要明確幾何概型的定義，掌握幾何概型中事件A的概率計算公式:.其次要學(xué)會構(gòu)造隨機(jī)事件對應(yīng)的幾何圖形，利用圖形的幾何度量來求隨機(jī)事件的概率．1.幾何概型的兩個特征：(1)試驗結(jié)果有無限多；(2)每個結(jié)果的出現(xiàn)是等可能的．事件A可以理解為區(qū)域的某一子區(qū)域，事件A的概率只與區(qū)域A的度量（長度、面積或體積）成正比，而與A的位置和形狀無關(guān)．2..解決幾何概型的求概率問題關(guān)鍵是要構(gòu)造出隨機(jī)事件對應(yīng)的幾何圖形，利用圖形的幾何度量來求隨機(jī)事件的概率．3.用幾何概型解簡單試驗問題的方法(1)適當(dāng)選擇觀察角度，把問題轉(zhuǎn)化為幾何概型求解．(2)把基本事件轉(zhuǎn)化為與之對應(yīng)的總體區(qū)域D.(3)把隨機(jī)事件A轉(zhuǎn)化為與之對應(yīng)的子區(qū)域d.(4)利用幾何概型概率公式計算．4.均勻隨機(jī)數(shù)在一定范圍內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生的數(shù)，其中每一個數(shù)產(chǎn)生的機(jī)會是一樣的，通過模擬一些試驗，可以代替我們進(jìn)行大量的重復(fù)試驗，從而求得幾何概型的概率．一般地．利用計算機(jī)或計算器的rand（）函數(shù)可以產(chǎn)生0～1之間的均勻隨機(jī)數(shù)．a(chǎn)～b之間的均勻隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生：利用計算機(jī)或計算器產(chǎn)生0～1之間的均勻隨機(jī)數(shù)x=rand()，然后利用伸縮和平移變換x=rand()*(b-a)+a,就可以產(chǎn)生[a，b]上的均勻隨機(jī)數(shù)，試驗的結(jié)果是產(chǎn)生a～b之間的任何一個實數(shù)，每一個實數(shù)都是等可能的．5.均勻隨機(jī)數(shù)的應(yīng)用(1)用隨機(jī)模擬法估計幾何概率；(2)用隨機(jī)模擬法計算不規(guī)則圖形的面積．下面舉幾個常見的幾何概型問題.一.與長度有關(guān)的幾何概型例1如圖,A,B兩盞路燈之間長度是30米，由于光線較暗，想在其間再隨意安裝兩盞路燈C,D,問A與C,B與D之間的距離都不小于10米的概率是多少？思路點撥從每一個位置安裝都是一個基本事件，基本事件有無限多個，但在每一處安裝的可能性相等，故是幾何概型．解記E：“A與C,B與D之間的距離都不小于10米”，把AB三等分，由于中間長度為30×=10米，∴.方法技巧我們將每個事件理解為從某個特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地取一點，該區(qū)域中每一點被取到的機(jī)會都一樣，而一個隨機(jī)事件的發(fā)生則理解為恰好取到上述區(qū)域內(nèi)的某個指定區(qū)域中的點，這樣的概率模型就可以用幾何概型來求解．二.與面積有關(guān)的幾何概型例2如圖，射箭比賽的箭靶涂有五個彩色的分環(huán)．從外向內(nèi)依次為白色、黑色、藍(lán)色、紅色，靶心為金色．金色靶心叫“黃心”．奧運會的比賽靶面直徑為122cm,靶心直徑為12.2cm.運動員在70m外射箭．假設(shè)運動員射的箭都能中靶，且射中靶面內(nèi)任一點都是等可能的，那么射中黃心的概率為多少？思路點撥此為幾何概型，只與面積有關(guān)．解記“射中黃心”為事件B,由于中靶點隨機(jī)地落在面積為的大圓內(nèi)，而當(dāng)中靶點落在面積為的黃心時，事件B發(fā)生，于是事件B發(fā)生的概率為.即：“射中黃心”的概率是0.01.方法技巧事件的發(fā)生是“擊中靶心”即“黃心”的面積；總面積為最大環(huán)的圓面積．三.與體積有關(guān)的幾何概型例3.在區(qū)間[0,l]上任取三個實數(shù)x.y.z,事件A={(x,y,z)|x2+y2+z2＜1,x≥0,y≥0,z≥0}(1)構(gòu)造出隨機(jī)事件A對應(yīng)的幾何圖形；（2)利用該圖形求事件A的概率.思路點撥:在空間直角坐標(biāo)系下，要明確x2+y2+z2＜1表示的幾何圖形是以原點為球心，半徑r=1的球的內(nèi)部．事件A對應(yīng)的幾何圖形所在位置是隨機(jī)的，所以事件A的概率只與事件A對應(yīng)的幾何圖形的體積有關(guān)，這符合幾何概型的條件．解：（1）A={(x,y,z)|x2+y2+z2＜1,x≥0,y≥0,z≥0}表示空間直角坐標(biāo)系中以原點為球心，半徑r=1的球的內(nèi)部部分中x≥0,y≥0,z≥0的部分，如圖所示．(2)由于x,y,z屬于區(qū)間[0,1]，當(dāng)x=y=z=1時，為正方體的一個頂點，事件A為球在正方體內(nèi)的部分．∴.方法技巧：本例是利用幾何圖形的體積比來求解的幾何概型，關(guān)鍵要明白點P(x,y,z)的集合所表示的圖形．從本例可以看出求試驗為幾何概型的概率，關(guān)鍵是求得事件所占區(qū)域和整個區(qū)域的幾何度量，然后代入公式即可解，另外要適當(dāng)選擇觀察角度.四.求會面問題中的概率例4兩人約定在20：00到21：00之間相見，并且先到者必須等遲到者40分鐘方可離去，如果兩人出發(fā)是各自獨立的，在20：00到21：00各時刻相見的可能性是相等的，求兩人在約定時間內(nèi)相見的概率．思路點撥兩人不論誰先到都要等遲到者40分鐘，即小時．設(shè)兩人分別于x時和y時到達(dá)約見地點，要使兩人在約定的時間范圍內(nèi)相見，當(dāng)且僅當(dāng)-≤x-y≤，因此轉(zhuǎn)化成面積問題，利用幾何概型求解．解設(shè)兩人分別于x時和y時到達(dá)約見地點，要使兩人能在約定時間范圍內(nèi)相見，當(dāng)且僅當(dāng)-≤x-y≤.兩人到達(dá)約見地點所有時刻(x,y)的各種可能結(jié)果可用圖中的單位正方形內(nèi)（包括邊界）的點來表示，兩人能在約定的時間范圍內(nèi)相見的所有時刻（x,y）的各種可能結(jié)果可用圖中的陰影部分（包括邊界）來表示．因此陰影部分與單位正方形的面積比就反映了兩人在約定時間范圍內(nèi)相遇的可能性的大小，也就是所求的概率為.方法技巧會面的問題利用數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化成面積問題的幾何概型．難點是把兩個時間分別用x,y兩個坐標(biāo)表示，構(gòu)成平面內(nèi)的點(x,y),從而把時間是一段長度問題轉(zhuǎn)化為平面圖形的二維面積問題，轉(zhuǎn)化成面積型幾何概型問題．五.均勻隨機(jī)數(shù)的應(yīng)用例5利用隨機(jī)模擬方法計算圖中陰影部分(由曲線y=2x與x軸、x=±1圍成的部分）面積．思路點撥不規(guī)則圖形的面積可用隨機(jī)模擬法計算．解(1)利用計算機(jī)產(chǎn)生兩組[0,1]上的隨機(jī)數(shù),a1=rand（），b1=rand()．(2)進(jìn)行平移和伸縮變換,a=(a1-0.5)*2,b=b1*2,得到一組[0,2]上的均勻隨機(jī)數(shù)．(3)統(tǒng)計試驗總次數(shù)N和落在陰影內(nèi)的點數(shù)N1.(4)計算頻率，則即為落在陰影部分的概率的近似值．(5)利用幾何概型公式得出點落在陰影部分的概率