第平均指標和變異指標演示文稿1目前一頁\總數七十頁\編于十二點2（優選）第平均指標和變異指標目前二頁\總數七十頁\編于十二點第一節平均指標的概念和作用平均指標的概念平均指標又稱平均數，它是統計分析中最常用的統計指標之一。它反映了社會經濟現象中某一總體各單位某一數量在一定時間、地點條件下所達到的一般水平，或者反映某一總體、某一指標在不同時間上發展的一般水平。目前三頁\總數七十頁\編于十二點平均指標具有三個特點：同質性，即總體內各單位的性質是相同的，如果各單位性質上存在著差異，就不能計算平均數。抽象性，即總體內各同質單位雖然存在數量差異，但在計算平均數時并不考慮這種差異，即把這種差異平均掉了。代表性，即盡管各總體單位的標志值大小不一，但我們可以用平均數這一指標值來代表所有標志值。目前四頁\總數七十頁\編于十二點平均指標的作用可以了解總體次數分布的集中趨勢。可以對若干同類現象在不同單位、地區間進行比較研究。可以研究某一總體某種數值的平均水平在時間上的變化，說明總體的發展過程和趨勢。可以分析現象之間的依存關系。可作為某些科學預測、決策和某些推算的依據。目前五頁\總數七十頁\編于十二點平均指標的種類平均指標按其性質可分為靜態平均數和動態平均數。靜態平均數反映的是同質總體內各單位某一數量標志在一定時間地點條件的一般水平，而動態平均數反映的是某一總體某一指標值在不同時間上的一般水平（本章主要介紹靜態平均數）。靜態平均數，按其表現形式可分為數值平均數和位置平均數。凡根據總體各單位標志值計算的平均數，稱為數值平均數，常見的主要包括算術平均數、調和平均數和幾何平均數；凡根據總體標志值在分配數列總的位置確定的平均數，稱為位置平均數。常見的主要有中位數和眾數。目前六頁\總數七十頁\編于十二點第二節平均指標的計算和確定1、算術平均數是計算平均指標最常用的方法，其基本公式是：算術平均數=算術平均數的計算有簡單算術平均數和加權平均數之分。目前七頁\總數七十頁\編于十二點簡單算術平均數如果我們在掌握了總體各單位標志值（或標志總量）和總體單位總量的資料的條件下，就可以直接用上式計算平均數。計算公式：式中：——算術平均數

——求和符號

——總體各單位標志值

n——總體單位數注：該公式用于所給資料未分組的情況。目前八頁\總數七十頁\編于十二點[例1]某企業某班組有8名工人，某日各人日產量（件）分別為：1212131313161717，則該組工人的平均日產量為：

（件）目前九頁\總數七十頁\編于十二點加權算術平均數當變量值已經分組，且各個標志值出現的次數不相同時，就可以采用加權算術平均數的形式計算平均指標。1、由單項式數列計算的加權算術平均數目前十頁\總數七十頁\編于十二點[例2]就例1的資料，把工人按日產量分組可得表5-1表5—1加權算術平均數計算表按日產量分組（件）x工人數f各組日產量（件）xf12131617231224391634合計8113目前十一頁\總數七十頁\編于十二點根據表資料，計算平均日產量的計算應是

=在加權算術平均數公式中，f稱為權數。這是因為在各組標志值一定的情況下，f的大小對X的大小起著權衡輕重的作用。目前十二頁\總數七十頁\編于十二點[例3]將例2資料改為加權算術平均數計算表5—2表5—2工人按日產量分組情況按日產量分組（件）工人數（人）各組日產量（件）12131617213224134834合計8119目前十三頁\總數七十頁\編于十二點則有平均日產量

=可見，某組標志值出現的次數越多，即權數f越大，平均數受該組的影響就越大，反之亦然。如果各組次數完全相同，即各組f相等，此時它不再對x大小產生影響，此時可得：目前十四頁\總數七十頁\編于十二點[例4]據例2資料，以各組次數占總次數為權數，計算平均日產量。表5—3加權算術平均數計算表按日產量分組（件）x工人數占總人數比重（%）

121316172537.512.52534.87524.25合計10014.125目前十五頁\總數七十頁\編于十二點（2）由組距數列計算加權算術平均數表5—4某商場食品部工人日銷售資料按日銷售額分組（元）職工人數（人）f組中值x各組銷售額（元）xf2000—25002500—30003000—350027722502750325045001925022750合計16—46500目前十六頁\總數七十頁\編于十二點[例6]某公司所屬15個商店某月商品銷售額計劃完程度如表5—5。表5—5商品銷售計劃完成程度檢查表按計劃完成程度分組%組中值x商店數（個）f計劃銷售額（萬元）f實際銷售額（萬元）90以下90---100100—110110---120120以上12543100150200250300合計

-----151000目前十七頁\總數七十頁\編于十二點計算表按計劃完成程度分組（%）組中值x（%）商店數（個）f計劃銷售額（萬元）f實際銷售額（萬元）xf90以下90---100100—110110---120120以上85951051151251254310015020025030085142.5210287.5375合計

-----1510001100目前十八頁\總數七十頁\編于十二點

110%如用商店數作權數，則：

如用計劃銷售額作權數，則：目前十九頁\總數七十頁\編于十二點算術平均數

(數學性質)平均數與次（頻）數和的乘積等于所有變量值的總和簡單算術平均數加權算術平均數目前二十頁\總數七十頁\編于十二點算術平均數

(數學性質)2. 各變量值與均值的離差之和等于零

3.各變量值與均值的離差平方和最小目前二十一頁\總數七十頁\編于十二點2、調和平均數調和平均數是被研究對象中各單位標志值倒數的算術平均數的倒數，因而也稱為倒數平均數。與算術平均數一樣，由于掌握的資料不同，分為簡單調和平均數和加權調和平均數。目前二十二頁\總數七十頁\編于十二點簡單調和平均數簡單調和平均數是標志值倒數的簡單算術平均數的倒數。在各個標志值相應的次數或頻數均為一的情況下求平均數時，用簡單式。其計算公式為：式中——調和平均數；

——各標志值；

——項數。目前二十三頁\總數七十頁\編于十二點[例7]某集貿市場西紅柿的價格，早市每千克1元，午市每千克0.50元，晚市每千克0.25元，若早、中、晚各買1元錢，其平均價格為：用算術平均數計算：①早、中、晚各買1元錢，合計花3元。②早上用1元錢可買1／1＝1千克，中午用1元錢可買2千克,晚上用1元錢可買4千克,合計共買西紅柿7千克。③平均價格數：用簡單調和平均數計算：元/千克目前二十四頁\總數七十頁\編于十二點加權調和平均數

簡單調和平均數是在各變量值對平均數起同等作用的條件下應用的。式中：——調和平均數的權數目前二十五頁\總數七十頁\編于十二點[例8]如例7資料，早上買西紅柿為3元，中午買2元，晚上買1元，則其平均價格為：價格（元/千克）金額數量（千克）1.000.500.25321344合計611目前二十六頁\總數七十頁\編于十二點下面通過實例來說明加權算術平均數和加權調和平均數具體應用中的差異。［例9］某飯店分一部、二部、三部，2000年計劃收入分別為300萬元、260萬元、240萬元，計劃完成程度分別為102％，107％，109％，求平均計劃完成程度。根據掌握的資料，平均計劃完成程度應采用以計劃收入為權數的加權算術平均法來計算，見表5—7。目前二十七頁\總數七十頁\編于十二點表5—7某飯店計劃完成資料及計算表平均計劃完成程度為計劃完成（%）x計劃收入（萬元）f實際收入（萬元）xf一部二部三部102107109300260240306.0278.2261.6合計800845.8目前二十八頁\總數七十頁\編于十二點如果掌握的資料是實際數，而不是計劃數，就不能用加權算術平均數公式計算，應以實際收入為權數的加權調和平均數公式計算。見表5－8。表5—8某飯店實際完成資料及計算表計劃完成數（%）x實際完成數（萬元）m計劃收入（萬元）m/x一部二部三部102107109306.0278.2261.6300260240合計-----845.8800目前二十九頁\總數七十頁\編于十二點幾何平均數1.N

個變量值乘積的N

次方根2.適用于特殊的數據3.主要用于計算平均發展速度4.計算公式為5.可看作是均值的一種變形（簡單幾何平均數）目前三十頁\總數七十頁\編于十二點

【例10】一位投資者持有一種股票，1996年、1997年、1998年和1999年收益率分別為4.5%、2.0%、3.5%、5.4%。計算該投資者在這四年內的平均收益率。平均收益率＝103.84%-1=3.84%幾何平均數目前三十一頁\總數七十頁\編于十二點幾何平均數加權幾何平均數當計算幾何平均數的每個變量值的次數不相同時，則應用加權幾何平均法，公式如下：上式兩邊取對數得：目前三十二頁\總數七十頁\編于十二點4、中位數中位數的概念將被研究總體的各單位的標志值按大小順序排列，處于中間位置的那個標志值就是中位數，用符號Me表示。中位數代表了總體各單位標志值的平均水平目前三十三頁\總數七十頁\編于十二點中位數的確定（1）所給資料未分組①當n為奇數時，中位數就是居于中間位置的那個標志值。［例12］設有9個工人生產某種產品，其日產量件數按大小順序排列為67778991014。則其中位數位次為，即處于第5位的那個標志值為中位數。即Me=8件。目前三十四頁\總數七十頁\編于十二點②當n為偶數時，中位數是處于中間位置的那兩個標志值的算術平均數。［例］設有10個工人生產某種產品，其日產量件數按大小順序排列為6777899101418。則其中位數位次P=，就是說中位數處在第5個標志值與第6個標志值之間中點的位置。目前三十五頁\總數七十頁\編于十二點（2）所給的資料已分組根據單項數列確定中位數[例13]某學院1999到2000學年共有30名同學獲得獎學金，其分布情況見表5—11表5—11學生獲獎學金分布情況及計算表獎學金金額（元/人）人數（人）人數累計向上累計（人）向下累計（人）300500800100015003687639172430302721136合計30——目前三十六頁\總數七十頁\編于十二點從表中資料計算，中位數位置為：（人）中位數在第15人的位置上。無論是向上累計法還是向下累計法，所選擇的累計人數數值都應是含15人的最小數值。表中的17和21符合這一要求，它們對應的都是第三組，即800元就中位數。目前三十七頁\總數七十頁\編于十二點②根據組距數列確定中位數[例14]某企業職工按月收入總額分組情況如表5—12目前三十八頁\總數七十頁\編于十二點對于這類問題的計算，可以用以下兩式估算中位數的值：式中：——中位數

L——中位數所在組下限

——總體單位總數

——中位數所在組的次數

——中位數所在組之前的向上累計次數

d——中位數所在組的組距目前三十九頁\總數七十頁\編于十二點用此公式，可將前述的推算結果計算出：

(元)如果就表所給的資料，計算出向下累計戶數，則可用公式式中：U——中位數所在組的上限

——中位數所在組之后的向下累計次數目前四十頁\總數七十頁\編于十二點5、眾數

眾數是總體中各單位出現次數最多的那個標志值，也就是該總體各單位中最普通、最常出現的標志值。用眾數也可以表明社會經濟現象的一般水平。眾數的特點和作用眾數作為總體中出現次數最多的數值，能直觀的說明總體各單位該標志值的集中趨勢，故能說明該現象數量方面的一般水平。只有當總體單位數比較多，且標志值的分布具有明顯的集中趨勢時，眾數的確定才有意義。如果標志值的分布呈均勻分布，該數列無眾數。當某種社會經濟現象不可能或無必要全面登記出各單位標志值及各標志值出現的次數來計算算術平均數時，可用最普遍出現的標志值，即眾數來代替其一般水平。目前四十一頁\總數七十頁\編于十二點眾數的確定

首先要將數據資料進行分組，編制次數分布數列；然后，根據變量數列的不同種類采用不同的方法。1、由單項數列來確定眾數在單項式數列情況下，確定眾數比較簡單，只需通過觀察找出次數出現最多的那個標志值即可。這里重點介紹根據組距數列如何確定眾數目前四十二頁\總數七十頁\編于十二點2、由組距數列來計算眾數仍以表5—12為例，通過觀察，第四組的次數最多，故可確定眾數在第四組內。可以推斷，如果眾數所在組的前一組的次數比后一組的次數多，則眾數就出現在組中值偏向上限這一邊的位置上。利用差數法，可以推斷出眾數的近似值的公式為：目前四十三頁\總數七十頁\編于十二點下限公式

式中：——眾數

L——眾數所在組的下限

i——眾數所在組的組距

——眾數組與前一組次數之差

——眾數組與后一組次數之差目前四十四頁\總數七十頁\編于十二點上限公式

式中：U——眾數所在組的上限目前四十五頁\總數七十頁\編于十二點算術平均數應用最廣泛的一種平均數調和平均數算術平均數的轉化形式,這種平均數使用較少。而且，它要求每個原數據值都不能為零。幾何平均數用于計算相對數（如比率、速度等）的平均數中位數平均數的補充形式，兩者都是為避免原數據中極端值的影響而采用的方法，都不受每個原數據大小的影響，而只受位置和次數的影響。眾數根據同一資料分別計算和確定五種平均數，得到的結果一般是不同的。就算術平均數、調和平均數和幾何平均數來說，算術平均數最大，幾何平均數其次，調和平均數最小。小結目前四十六頁\總數七十頁\編于十二點計算和應用統計平均指標應注意的問題（一）注意社會經濟現象的同質性所謂同質性，就是社會經濟現象的各個單位在被平均的標志上具有同類性，不同質的現象，不能用來計算平均指標，這是計算平均指標的基本前提。否則，平均數不僅不能反映總體的本質特征，而且還會抹煞現象之間的本質區別，歪曲現象真相。目前四十七頁\總數七十頁\編于十二點（二）注意用組平均數補充說明總平均數[例15]某行業甲乙兩企業職工工資資料如表5—13。目前四十八頁\總數七十頁\編于十二點（三）注意用分布數列來補充說明平均數由于平均指標將各單位標志值的差異抽象化了，反映的是總體各單位該標志值的一般水平，因而掩蓋了總體各單位的差異及其分配情況，有時這種差異是不能被忽視的。[例16]有如下兩個班組工人的日產量資料，見表5—14。目前四十九頁\總數七十頁\編于十二點（四）把平均指標和具體情況結合起來分析平均數代表的是現象在具體的時間、地點、條件下的一般水平，所以在用平均指標進行統計分析時，一定要把對具體的時間、地點、條件的分析結合起來，才能全面地認識問題，正確地評價事物。目前五十頁\總數七十頁\編于十二點第三節標志變異指標標志變異指標的意義、作用和種類1.意義社會經濟現象總體各單位某一標志值之間，客觀上存在著各種各樣的差異，平均指標把這種差異抽象化，反映的是該標志值達到的一般水平，說明的是總體標志值的集中趨勢，卻掩蓋了其差異，有時這種差異可能很大，是不能被忽視的。標志變異指標又稱標志變動度指標，它反映了總體各單位某數量標志值之間的差異程度，是度量統計分布離中趨勢的綜合指標。它是說明總體標志值的變異、離散程度，評價平均指標的代表性的指標。目前五十一頁\總數七十頁\編于十二點[例17]有甲、乙兩個培訓班，各有10名學員，其年齡（歲）形成的數列如下：甲班19232935363744484960

乙班30373838383939404041從此例可看出，平均水平掩蓋了總體內部各單位標志值的差異程度，所以，在分析實際問題時，除了要反映總體的一般水平外，還需要把總體內部各單位標志值之間的差異程度反映出來，即需用標志變異指標來反映這些問題。目前五十二頁\總數七十頁\編于十二點標志變異指標的作用可以衡量平均指標的代表性。標志變異指標可以說明社會經濟現象變動過程的均衡性、節奏性和穩定性。標志變異指標的大小有助于確定必要的抽樣數目標志變異指標的種類反映總體各單位標志值變動范圍的指標：全距。反映總體各單位標志值對平均數離差程度的指標：平均差、標準差及標準差系數。目前五十三頁\總數七十頁\編于十二點（一）全距全距又稱極差，它是總體各單位標志值中最大值與最小值之差，用R表示，其公式表示為R=最大標志值—最小標志值如前面甲乙兩培訓班學員年齡之例中：甲班學員年齡全距R=60一19＝41（歲）乙班學員年齡全距R＝41－30＝11（歲）全距這個指標直觀、易于理解且計算方便。

標志變異指標的計算目前五十四頁\總數七十頁\編于十二點平均差是數列中各單位標志值與其平均數值之間絕對離差的算術平均數，這是反映各變量值平均離散程度的一個綜合指標。用符號“A.D”表示,平均差可以分為簡單平均差和加權平均差。1、簡單平均差如掌握的資料未分組時可用簡單平均差來計算。其計算公式：（二）平均差目前五十五頁\總數七十頁\編于十二點[例18]根據例17中甲、乙培訓班學員年齡的資料，計算簡單平均差。目前五十六頁\總數七十頁\編于十二點甲班學員年齡平均差（歲）乙班學員年齡平均差：（歲）可見，甲班學員年齡平均差明顯的大于乙班學員年齡，說明乙班學員平均年齡的代表性要大于甲班學員平均年齡的代表性。目前五十七頁\總數七十頁\編于十二點2、加權平均差如果掌握的資料分組時，應采用加權平均法計算平均差，其計算公式為目前五十八頁\總數七十頁\編于十二點[例19]以某企業某車間工人日產量資料為例，見表5—16

目前五十九頁\總數七十頁\編于十二點由表求得：（件）（件）一般而言，平均差越大，標志變動度越大，平均數代表性越小，反之，平均數代表性越大。

目前六十頁\總數七十頁\編于十二點（三）標準差標準差是總體各單位標志值對其算術平均數離差的平方的算術平均數的平方根。又稱均方差，用表示1、簡單標準差如掌握的資料未分組時可用簡單標準差來計算，其計算公式為：目前六十一頁\總數七十頁\編于十二點[例20]對于為分組資料，仍以甲、乙兩班學員的年齡為例，計算其標準差，見表5—17目前六十二頁\總數七十頁\編于十二點由表中資料計算：甲班標準差（歲）乙班標準差