一、考點(diǎn)突破在歷年各省市的中考試題中，有關(guān)概率計(jì)算的問(wèn)題是必考的，分值一般在6分左右，題型以選擇題、填空題為主，難度較低，解答題一般常與方程、函數(shù)、幾何、統(tǒng)計(jì)等知識(shí)一起綜合命題，難度中等。在各類(lèi)試題中，主要考查以下幾方面：（1）隨機(jī)事件與確定事件的區(qū)分和判斷；（2）概率意義的理解，用概率的定義求簡(jiǎn)單事件的概率；（3）用列舉法求某事件發(fā)生的概率；（4）用頻率估計(jì)事件發(fā)生的概率。二、重難點(diǎn)提示重點(diǎn)：用列舉法求隨機(jī)事件的概率。難點(diǎn)：概率的含義；用列表法或畫(huà)圖表的方法來(lái)列舉所有“發(fā)生的可能性相等”的事件的結(jié)果。一、知識(shí)脈絡(luò)圖二、知識(shí)點(diǎn)撥1.事件事件eq\b\lc\{(\a\al\vs3(確定事件\b\lc\{(\a\al\vs3(必然事件,不可能事件)),隨機(jī)事件))2.概率（1）一般地，在大量重復(fù)試驗(yàn)中，如果事件A發(fā)生的頻率eq\f(m,n)會(huì)穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)P附近，那么這個(gè)常數(shù)P就叫做事件A的概率。記為P（A）＝P。（2）概率從數(shù)量上刻畫(huà)了一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小，事件發(fā)生的可能性越大，則它的概率越接近1；反之，事件發(fā)生的可能性越小，則它的概率越接近0。（3）必然事件的概率為1，即P（必然事件）＝1（4）不可能事件的概率為0，即P（不可能事件）＝0（5）隨機(jī)事件的概率：如果A為隨機(jī)事件，則0＜P（A）＜1（6）用列表法和樹(shù)形圖法求概率在隨機(jī)事件中，涉及兩步或兩步以上試驗(yàn)時(shí)，我們常用列表法或樹(shù)形圖來(lái)計(jì)算概率。其中當(dāng)一次試驗(yàn)涉及兩個(gè)因素（例如投擲兩顆骰子）并且出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時(shí)，為不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，我們采用列表法較為簡(jiǎn)捷；當(dāng)一次試驗(yàn)要涉及3個(gè)或更多的因素（例如從3個(gè)口袋中取球）時(shí)，為不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，我們通常采用樹(shù)形圖計(jì)算概率較為簡(jiǎn)捷。（7）特別地：①當(dāng)平面區(qū)域（空間范圍）上所有可能發(fā)生的結(jié)果難以列出時(shí)，我們可以運(yùn)用計(jì)算面積（體積）的方法求概率。②當(dāng)每個(gè)結(jié)果發(fā)生的可能性不相等時(shí)，運(yùn)用重復(fù)實(shí)驗(yàn)的頻率或頻率的平均值估計(jì)概率。能力提升類(lèi)例1從分別寫(xiě)有數(shù)字1，2，3，4，5的5張卡片中任意取出兩張，把第一張卡片上的數(shù)字作為十位數(shù)字，第二張卡片上的數(shù)字作為個(gè)位數(shù)字，組成一個(gè)兩位數(shù)，則所組成的數(shù)是3的倍數(shù)的概率是多少？一點(diǎn)通：列舉出所有情況，看所組成的數(shù)是3的倍數(shù)的情況數(shù)占總情況數(shù)的多少即可。解：列表得：∴一共有20種情況，所組成的數(shù)是3的倍數(shù)的有8種情況，∴所組成的數(shù)是3的倍數(shù)的概率是。點(diǎn)評(píng)：列表法可以不重復(fù)、不遺漏地列出所有可能的結(jié)果，適用于兩步完成的事件。例2書(shū)架上有兩套同樣的教材，每套分上、下兩冊(cè)，在這四冊(cè)教材中隨機(jī)抽取兩冊(cè)，恰好組成一套教材的概率是多少？一點(diǎn)通：列舉出所有取法，看恰好組成一套教材的取法數(shù)占總?cè)》〝?shù)的多少即可。解：四冊(cè)教材任取兩冊(cè)共有6種不同的取法，取出的兩冊(cè)是一套教材的共有4種不同的取法，故所求概率是。點(diǎn)評(píng)：樹(shù)狀圖是一種很好的列舉法，可以清楚地知道所有機(jī)會(huì)均等的結(jié)果。綜合運(yùn)用類(lèi)例3在課外活動(dòng)時(shí)間，小王、小麗、小華做“互相踢毽子”游戲，毽子從一人傳到另一人就記為踢一次。（1）若從小麗開(kāi)始，經(jīng)過(guò)兩次踢毽后，毽子踢到小華處的概率是多少？（2）若經(jīng)過(guò)三次踢毽后，毽子踢到小王處的可能性最小，請(qǐng)確定是從誰(shuí)開(kāi)始踢，并說(shuō)明理由。一點(diǎn)通：該事件涉及三個(gè)因素，因此用樹(shù)狀圖來(lái)呈現(xiàn)所有情況比較方便。解：（1）毽子踢到小華處的概率是。樹(shù)狀圖如下：（2）小王。樹(shù)狀圖如下：理由：若從小王開(kāi)始踢，三次踢毽后，毽子踢到小王處的概率是，踢到其他兩人處的概率都是，因此，毽子踢到小王處的可能性最小。點(diǎn)評(píng)：樹(shù)狀圖的優(yōu)點(diǎn)是分層推進(jìn)，分步顯現(xiàn)，其過(guò)程及結(jié)果一目了然，樹(shù)狀圖的運(yùn)用體現(xiàn)了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，特別適合涉及三個(gè)及以上因素的概率事件的分析。本題常見(jiàn)的錯(cuò)誤有以下幾種情況：審題不清，對(duì)游戲規(guī)則理解錯(cuò)誤，對(duì)踢毽次數(shù)判定錯(cuò)誤；第（1）問(wèn)：對(duì)樹(shù)狀圖的畫(huà)法掌握不好，不能清楚、規(guī)范、有條理地畫(huà)出樹(shù)狀圖，更難以用列表法說(shuō)明；對(duì)概率計(jì)算掌握不夠，不能準(zhǔn)確計(jì)數(shù)等可能次數(shù)。第（2）問(wèn)：說(shuō)理不清，不能正確地利用樹(shù)狀圖或者概率的大小來(lái)說(shuō)理。例4將A，B，C，D四人隨機(jī)分成甲、乙兩組參加羽毛球比賽，每組兩人。（1）A在甲組的概率是多少？（2）A，B都在甲組的概率是多少？（3）A，B分在同一小組的概率是多少？一點(diǎn)通：本題涉及四人隨機(jī)分成兩組，可考慮用列表法求其概率。解：所有可能出現(xiàn)的結(jié)果如下：甲組乙組結(jié)果ABCD（AB、CD）ACBD（AC、BD）ADBC（AD、BC）BCAD（BC、AD）BDAC（BD、AC）CDAB（CD、AB）總共有6種結(jié)果，每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同。（1）所有的結(jié)果中，滿(mǎn)足A在甲組的結(jié)果有3種，所以A在甲組的概率是。

（2）所有的結(jié)果中，滿(mǎn)足A，B都在甲組的結(jié)果有1種，所以A，B都在甲組的概率是。（3）由列表可知A、B分在同一小組的概率為。點(diǎn)評(píng)：本題用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比；得到所求的情況數(shù)是解決本題的關(guān)鍵。思維拓展類(lèi)例5設(shè)正方形ABCD的中心為O，在以五個(gè)點(diǎn)A、B、C、D、O為頂點(diǎn)所構(gòu)成的所有三角形中任意取出兩個(gè)，求它們的面積恰好相等的概率。一點(diǎn)通：本題涉及幾何圖形的計(jì)數(shù)，根據(jù)題設(shè)，可考慮面積的大小來(lái)分類(lèi)計(jì)數(shù)，便于計(jì)算概率。解：不妨設(shè)正方形的面積為1。容易知道，以五個(gè)點(diǎn)A、B、C、D、O為頂點(diǎn)所構(gòu)成的三角形都是等腰直角三角形，它們可以分為兩類(lèi)：（1）等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)為正方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)之一，這樣的三角形有4個(gè)，它們的面積都為。（2）等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)為正方形ABCD的中心O，這樣的三角形也有4個(gè)，它們的面積都為。所以，以五個(gè)點(diǎn)A、B、C、D、O為頂點(diǎn)可以構(gòu)成（個(gè)）三角形，從中任意取出兩個(gè)，共有28種取法。要使取出的兩個(gè)三角形的面積相等，則只能都取自第（1）類(lèi)或都取自第（2）類(lèi)，不同的取法有12種，因此，所求的概率為。點(diǎn)評(píng)：概率的計(jì)算，關(guān)鍵在于求出全部事件數(shù)和某事件A發(fā)生的所有可能結(jié)果，本題通過(guò)分類(lèi)來(lái)考慮，使求解變得簡(jiǎn)便。例6任意選擇一對(duì)有序整數(shù)，其中每一個(gè)整數(shù)的絕對(duì)值小于或等于5，每一對(duì)這樣的有序整數(shù)被選擇的可能性是相等的，求方程沒(méi)有相異正實(shí)數(shù)根的概率。一點(diǎn)通：解本題的關(guān)鍵是計(jì)算出符合條件的結(jié)果總數(shù)，即滿(mǎn)足，，且使得方程沒(méi)有相異正實(shí)數(shù)根的的組數(shù)。解：考慮問(wèn)題的反面，方程有兩個(gè)相異的正實(shí)數(shù)，由題意，有由知又，所以。而，，所以時(shí)，或2，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，。因此，有10對(duì)有序整數(shù)可使方程有相異正實(shí)根。而的可能結(jié)果有（種），所以使得方程沒(méi)有相異正實(shí)根的可能結(jié)果有（種），故所求的概率是。點(diǎn)評(píng)：因從正面考慮需要討論多種不同的情況，故可以從反面來(lái)考慮，使問(wèn)題的求解變得簡(jiǎn)便。1.用列舉法求概率的常用方法有兩種：一是列表法，二是畫(huà)樹(shù)狀圖法，如果考題涉及的試驗(yàn)較復(fù)雜，需要三步或三步以上才能完成時(shí)，一般不宜運(yùn)用列表法，最好運(yùn)用畫(huà)樹(shù)狀圖法求相關(guān)概率。2.在解答與面積、體積，正方體表面展開(kāi)圖等相關(guān)的問(wèn)題時(shí)，要注意靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法。3.注意頻率和概率兩個(gè)不同概念的區(qū)別和聯(lián)系。4.注意與數(shù)據(jù)的收集與處理、總體與樣本、平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、頻數(shù)等知識(shí)的聯(lián)系。問(wèn)題：將一枚硬幣拋擲兩次，求兩次皆為正面向上的概率。錯(cuò)解：拋擲一枚硬幣出現(xiàn)的結(jié)果有三種情形：“兩次皆為正面向上”、“兩次皆為反面向上”、“一次正面向上、一次反面向上”，所以?xún)纱谓詾檎嫦蛏系母怕适恰ｅe(cuò)解分析：以上三種情形出現(xiàn)的可能性不相等，出現(xiàn)“一次正面向上、一次反面向上”的可能性要大于另外兩種情形，因此，不能直接套用概率公式。正解：將第一次拋擲記為A，第二次拋擲記為B，則拋擲兩次會(huì)出現(xiàn)以下四種等可能結(jié)果：A正B正，A正B反，A反B正，A反B反。所以?xún)纱谓詾檎嫦蛏系母怕适恰＃ù痤}時(shí)間：50分鐘）一、選擇題1.一個(gè)不透明的布袋裝有4個(gè)只有顏色不同的球，其中2個(gè)紅色，1個(gè)白色，1個(gè)黑色，攪勻后從布袋里摸出1個(gè)球，摸到紅球的概率是（）A. B.C. D.2.甲，乙，丙，丁四位同學(xué)參加校田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)4×100m接力比賽，如果任意安排四位同學(xué)的跑步順序，那么恰好由甲將接力棒交給乙的概率是（）A. B.C. D.*3.一項(xiàng)“過(guò)關(guān)游戲”規(guī)定：在第關(guān)要擲一顆骰子次，如果這次拋擲所出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和大于，則算過(guò)關(guān)，否則，不算過(guò)關(guān)。現(xiàn)有下列說(shuō)法：①過(guò)第一關(guān)是必然事件；②過(guò)第二關(guān)的概率為；③可以過(guò)第四關(guān)；④過(guò)第五關(guān)的概率大于0。其中正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)為（）A.4 B.3 C.2 D.14.一只盒子中有紅球個(gè)，白球10個(gè)，黑球個(gè)，每個(gè)球除顏色外都相同，從中任取一個(gè)球，取得白球的概率與不是白球的概率相同，那么與的關(guān)系是（）A. B. C. D.**5.將一枚6個(gè)面編號(hào)分別為1，2，3，4，5，6的質(zhì)地均勻的正方體骰子先后投擲兩次，記第一次擲出的點(diǎn)數(shù)為，第二次擲出的點(diǎn)數(shù)為，則使關(guān)于的方程組只有正整數(shù)解的概率為（）A. B.C. D.**6.在6×6的方格紙中，每一個(gè)小方格是邊長(zhǎng)為1的正方形，A，B兩點(diǎn)在小方格的頂點(diǎn)上，位置如圖所示。請(qǐng)你在小方格的頂點(diǎn)上標(biāo)出滿(mǎn)足題意的所有點(diǎn)C，使的面積為2個(gè)平方單位，順次連接各點(diǎn)C，得一個(gè)多邊形，則螞蟻在這張方格紙上，停留在這個(gè)多邊形上的概率為（）A. B.C. D.*7.六個(gè)面上分別標(biāo)有1，1，2，3，3，5六個(gè)數(shù)字的均勻正方體的表面展開(kāi)圖如圖所示，擲這個(gè)正方體一次，記朝上一面的數(shù)為平面直角坐標(biāo)系中某個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)，朝下一面的數(shù)為該點(diǎn)的縱坐標(biāo)。按照這樣的規(guī)定，每擲一次該正方體，就能得到平面內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)。已知小明前兩次擲得的兩個(gè)點(diǎn)能確定一條直線(xiàn)，且這條直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)（4，7），那么他第三次擲得的點(diǎn)也在這條直線(xiàn)上的概率是（）A. B.C. D.二、填空題8.如果從小明等6名學(xué)生中任選1名作為“世博會(huì)”志愿者，那么小明被選中的概率是。9.從其中含有4個(gè)次品的1000個(gè)螺釘中任取1個(gè)，它是次品的概率是。*10.甲、乙、丙三人同時(shí)玩“石頭、剪刀、布”的游戲，游戲規(guī)則是：石頭勝剪刀，剪刀勝布，布勝石頭，則甲獲勝（并列不計(jì)）的概率是。*11.用紅、藍(lán)、黃三色將圖中區(qū)域A，B，C，D染色，要求有公共邊的相鄰區(qū)域不能染成相同的顏色，則滿(mǎn)足區(qū)域A恰好染成藍(lán)色的概率是。12.一個(gè)口袋中裝有6個(gè)紅色的小正方體和若干個(gè)黃色的小正方體，小正方體除顏色外其他都相同。從口袋中隨機(jī)摸出一個(gè)小正方體，記下顏色后再把它放回口袋中，不斷重復(fù)上述過(guò)程，共摸了300次，其中105次摸到紅色小正方體，請(qǐng)問(wèn)口袋中大約有個(gè)黃色小正方體。13.將一枚骰子擲兩次，若第一次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為，第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為，則由所確定的點(diǎn)在函數(shù)的圖象上的概率為。三、解答題14.甲，乙兩同學(xué)用一副撲克牌中牌面數(shù)字分別是3，4，5，6的4張牌做游戲。游戲規(guī)則是：將這4張牌的正面全部朝下，洗勻，從中隨機(jī)抽取一張，抽得的數(shù)作為十位上的數(shù)字，然后，將所抽的牌放回，正面全部朝下，洗勻，再?gòu)闹须S機(jī)抽取一張，抽得的數(shù)作為個(gè)位上的數(shù)字，這樣就得到一個(gè)兩位數(shù)，若這個(gè)兩位數(shù)小于45，則甲獲勝，否則乙獲勝。你認(rèn)為這個(gè)游戲公平嗎？請(qǐng)運(yùn)用概率知識(shí)說(shuō)明理由。15.已知一紙箱中裝有5個(gè)只有顏色不同的球，其中2個(gè)白球，3個(gè)紅球。（1）求從箱中隨機(jī)取出一個(gè)球是白球的概率。（2）若往裝有5個(gè)球的原紙箱中，再放入個(gè)白球和個(gè)紅球，從箱中隨機(jī)取出一個(gè)球是白球的概率是，求與的函數(shù)關(guān)系式。

1.A解析：P（摸到紅球）。2.A解析：由列舉法知，有24種可能，符合條件的有6種可能，所以由甲將接力棒交給乙的概率是。3.B解析：要過(guò)第一關(guān)，點(diǎn)數(shù)需大于，因?yàn)椋瑨仈S一顆骰子一次至少有1點(diǎn)，所以①正確；要過(guò)第二關(guān)，點(diǎn)數(shù)之和需大于，即點(diǎn)數(shù)之和至少是3，而拋擲兩次的點(diǎn)數(shù)之和至少為2，所以不能過(guò)第二關(guān)的只有一種可能：就是兩次拋擲骰子的點(diǎn)數(shù)均為1，即兩次拋擲骰子的36種可能結(jié)果中，有35種結(jié)果可以過(guò)關(guān)，所以②正確；要過(guò)第四關(guān)，點(diǎn)數(shù)之和需大于，若每次拋擲的點(diǎn)數(shù)均為6，則點(diǎn)數(shù)之和，所以第四關(guān)是可以通過(guò)的，所以③正確；要過(guò)第五關(guān)，點(diǎn)數(shù)之和需大于，顯然是不可能的，所以過(guò)第五關(guān)是不可能事件，即這種概率為0，故④不正確。綜上所述，①②③正確。4.A解析：盒子中共有球的個(gè)數(shù)為，取得白球的概率為；取得不是白球的概率為。依題意，得。解得。5.D解析：當(dāng)時(shí)，方程組無(wú)解。當(dāng)0時(shí)，方程組的解為由已知，得即或由只能取1，2，3，4，5，6，得共有（種）情況：或共有3種情況。又?jǐn)S出的骰子出現(xiàn)的基本事件共（個(gè)），所以所求的概率為。6.D解析：螞蟻停留的多邊形是平行四邊形，概率為。7.A解析：每擲一次可能得到六個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)是（其中有兩個(gè)點(diǎn)是重合的）：（1，1），（1，1），