梁的彎曲問題的強度計算[內容提要]主要介紹彎曲變形的基本概念和彎曲變形的內力，以及內力圖的繪制和等截面直梁平面彎曲正應力和切應力的計算。重點是內力圖的繪制和梁的彎曲強度條件及其計算。1平面彎曲的概念·工程實例1.1平面彎曲的概念建筑結構中很多桿件承受的荷載，是一組作用線垂直于桿件軸線的力（我們稱這種力為橫向力），或者是通過桿件軸線平面內的外力偶。在這些外力的作用下，桿件的橫截面要發生相對的轉動，桿件的軸線也要變彎，這種變形稱為彎曲變形。凡是以彎曲變形為主要變形的構件，通常稱為梁。梁的軸線方向稱為縱向，垂直于軸線的方向稱為橫向。梁的橫截面是指垂直于梁軸線的截面，一般都具有對稱性，存在著至少一個對稱軸。常見的橫截面形狀有圓形、矩形、工字形和T形等。梁的縱平面是指通過梁軸線的平面，有無窮多個。我們在這里只討論有縱向對稱面的梁。所謂縱向對稱面，是指梁的橫截面的對稱軸與梁的軸線這兩條正交直線所構成的平面。如果梁的外力和外力偶都作用在梁的縱向對稱面內，那么梁的軸線變形后所形成的曲線仍在該平面（即縱向對稱面）內。這樣的彎曲變形，我們稱之為平面彎曲，如圖8-1所示。產生平面彎曲變形的梁，稱為平面彎曲梁。本章只討論平面彎曲梁如果梁只受集中力的作用，不受集中力偶的作用，且集中力的作用線都垂直于梁的軸線，這些外力稱為橫向外力。平面彎曲梁在橫向外力作用下發生的彎曲變形稱為橫力彎曲，如圖8-2(a)所示。如果平面彎曲梁只受平面力偶的作用，且平面力偶都作用在梁的縱平面內，這時梁的變形稱為純彎曲，如圖8-2(b)所示。(a)(b)圖8-21.2工程實例梁是在工程結構中應用的非常廣泛的一種構件。例如圖8-3(a)、(b)、(c)所示的梁式橋的主梁、火車車軸、房屋建筑中的梁等。它們的主要變形就是彎曲變形。1.3梁的計算簡圖在進行梁的工程分析和受力計算時，不必把梁的復雜工程圖按實際畫出來，而是以能夠代表梁的結構、荷載情況及作用效果的簡化的圖形來代替，這種簡化后的圖形稱為梁的計算簡圖。梁的計算簡圖也可稱為梁的受力圖。在計算簡圖上應包括梁的本身、梁的荷載、支座或支座反力。梁的本身可用其軸線來表示，但要在圖上標明梁的結構尺寸數據，有時也需要把梁的截面尺寸表示出來。梁上的荷載因其作用在梁的縱向對稱面內，可以認為就作用在軸線上，因而可以直接畫在軸線上，并標明荷載的性質和大小。一般來講，梁的荷載有均布荷載、集中力和集中力偶，分別用q、F、Me表示，如圖8-4所示。梁的支座最常見的有三種，即固定端支座、固定鉸支座和活動鉸支座。圖8-4圖8-5(a)、(b)就是圖8-3(a)、(b)所示的的梁式橋的主梁、火車車軸的計算簡圖。圖8-5(a)表示的公路橋梁，用軸線代表梁體。支座為典型的固定鉸支座和活動鉸支座，梁的自重簡化為均布荷載，汽車前后輪給路面的作用力簡化為集中力。圖8-5(b)表示的火車車軸，因主要承受橫向荷載，當作梁看，用軸線代表車軸。為了反映鋼軌能對車軸產生橫向約束和軸向約束，梁的支座用一個固定鉸支座和一個活動鉸支座表示。q圖8-5

1.4靜定梁的基本形式作為工程中主要承受彎曲的構件，梁具有多種形式。如果只從梁的支座反力（即約束）的個數與梁的靜力平衡方程的個數之間的關系上來劃分梁，梁可以分為靜定梁和超靜定梁。1．靜定與超靜定的基本概念一般來講，梁上的荷載和支座反力構成的是一個平面一般力系，至多有三個靜力平衡方程（如果梁上的荷載和支座反力構成了平面平行力系或平面匯交力系，則只有兩個靜力平衡方程）。如果梁的支座反力的數目等于梁的靜力平衡方程的數目，就可以由靜力平衡方程來完全確定支座反力，這樣的梁稱為靜定梁，如圖8-6(a)所示。反之，如果梁的支座反力的數目多于梁的靜力平衡方程的數目，就不能用靜力平衡方程來完全確定支座反力，這樣的梁稱為超靜定梁，如圖8-6(b)所示。本章所討論的主要是靜定的平面彎曲梁。(a)(b)圖8-62．靜定梁的三種基本形式工程上常用的梁按支座對其約束情況可分為三種結構形式：簡支梁、外伸梁和懸臂梁，其計算簡圖如圖8-7(a)、(b)、(c)所示。(a)(b)(c)圖8-72梁的彎曲內力2.1剪力與彎矩1.剪力與彎矩的概念梁在橫向荷載作用下，將同時產生變形和內力。梁橫截面處的內力是指橫截面以左、以右梁段的相互作用，內力專指橫截面上分布內力的合力。當作用在梁上的外力（荷載和支座反力）已知時，可用截面法求梁某截面處的內力。以圖8-8(a)所示簡支梁為例，梁上作用有集中力荷載，現利用截面法求任意截面m—m的內力。2梁的彎曲內力2.1剪力與彎矩第一步，取梁整體為截離體，求出兩端支座的約束反力和。第二步，用m—m截斷桿件，取左半部分或右半部分為截離體，并在截離體上以正的方向標出截面的內力，如圖8-8(b)、(c)所示。第三步，在截離體上建立平衡方程，根據靜力平衡條件求出截面的內力。

稱為剪力，是作用在截離體相應截面上分布內力向截面形心簡化的主矢。

得得力偶矩稱為彎矩，是作用在截離體相應截面上分布內力向截面形心簡化的主矩。取右半部分為截離體，可求得：取左半部分為截離體，可求得：從上述的計算中可以看出，無論是取截面的左半部分還是右半部分為截離體，截面內力的計算結果都是一致的。但圖8-8中取左、右截離體為研究對象求得的剪力和彎矩是大小相等、方向相反的作用力與反作用力。為使同一截面的剪力和彎矩不僅大小相等，而且正負號一致。根據變形規定剪力和彎矩的正負號，如圖8-9所示。

圖8-9剪力使截離體產生順時針方向旋轉時為正，反之為負；彎矩使截離體產生上側纖維受壓、下側纖維受拉，即截離體的軸線產生上凹下凸的變形時為正，反之為負。【例8-1】求圖8-10(a)所示簡支梁C、D截面的剪力和彎矩。

(b)

(c)圖8-10解:（1）求支座反力取梁整體為截離體，建立靜力平衡方程。（2）求C截面的剪力和彎矩假想沿C截面把梁截成兩段，取受力較簡單的左段為研究對象，如圖8-10(b)所示。

計算結果表明，截面的剪力和彎矩為正值，與圖中所畫的方向相同。

（3）求D截面的剪力和彎矩假想沿D截面把梁截成兩段，取受力較簡單的右段為研究對象，如圖8-10(c)所示。計算結果表明，截面的彎矩為正值，與圖中所畫的方向相同，截面的剪力為負值，與圖中所畫的方向相反。【例8-2】求圖8-11(a)所示簡支梁1-1、2-2截面的剪力和彎矩。解:（1鑒）求支戒座反力取梁整體狂為截離體漏，建立靜緣瑞力平衡方乎程。計算結兆果表明緒，截面晶的剪力推和彎矩賽為正值疫，與圖僵中所畫裂的方向爆相同。（3）銹求2-反2截面室的剪力陡和彎矩假想沿方2-2采截面把俗梁截成藏兩段，規取受力暴較簡單庫的右段裙為研究變對象，瘦如圖8寸-11逃(c)耗所示。計算結果齒表明，截轎面的彎矩號為正值，香與圖中所付畫的方向位相同，截啦面的剪力杯為負值，寶與圖中所折畫的方向嗓相反。綜上所述抵可知：1.橫裂截面上富的剪力傻在數值圍上等于腿截面左三側或右牌側梁段復上外力要的代數秒和。左任側梁段螞上向上過的外力各或右側朱梁段上概向下的草外力將沒引起正錘值的剪伙力；反淺之，則弱引起負你值的剪怠力。2.橫苗截面上餐的彎矩潤在數值虛上等于逗截面左韻側或右昏側梁段烈上外力其對該截勝面形心朋的力矩惑之代數院和。1)不番論在左帳側梁段桑上或右夾側梁段恨上，向騰上的外雷力均將湖引起正博值的彎脈矩，而疼向下的誤外力則毅引起負壘值的彎燥矩。2)截保面左側貌梁段上絡順時針聲轉向的糞外力偶杏引起正框值的彎共矩，而尿逆時針恢轉向的笨外力偶夫則引起祖負值的突彎矩；殲截面右勸側梁段裕上的外精力偶引屢起的彎驗矩其正竟負與之岸相反。2.2候剪力萍圖和彎死矩圖梁在外力武作用下，朋各截面上控的剪力和生彎矩沿軸故線方向是吵變化的。蜓如果用橫勸坐標x(其方向鋼可以向左純也可以向邀右)表示害橫截面沿緩梁軸線的國位置，則早剪力和彎拐矩都可以宴表示為坐障標x的函數，家即這兩個方應程分別稱哪為梁的剪剩力方程和乒彎矩方程割。與繪制軸臭力圖或扭房誠矩圖一樣挖，可用圖項線表示梁男的各橫截熊面上剪力肢和彎矩沿扮梁軸線的慰變化情況拌，稱為剪誦力圖和彎恒矩圖。剪詢力圖的繪尸制與前面窄章節中所屑講的軸力哈圖和扭矩升圖的繪制殊方法基本燥相同，正去剪力畫在x軸的上留方，負憤剪力畫葡在x軸的下方計，并標明遙正負號。愉彎矩圖繪掛制的規定星和彎矩正斧負號的規洋定，彎矩非畫在梁的份受拉側，己即正彎矩懸畫在x軸的下燒方，負倦彎矩卻旬畫在了x軸的上蒸方，而薦不須標爛明正負陶號。下面舉例失說明建立蜜剪力方程爽、彎矩方纖程以及繪統制剪力圖嬸、彎矩圖曉的方法。【例8株-3】蔽作雨圖8-屯12(障a)所捕示簡支粒梁的剪爹力圖和吉彎矩圖泊。解:（1）圣求支座反沈力（3）獅畫剪力嗎圖和彎盛矩圖由剪力橫方程和鄭彎矩方搞程中可陽以看出雪，C點是分榮段函數贈的分界集點，也撓是剪力乒圖和彎應矩圖的承分界點陰。剪力羨圖是兩板條水平欄線，在赴集中力F作用點C處剪力圖泉產生突變量，突變值趣等于集中旨力的大小喇，彎矩圖蠶是兩條斜灑率不同的術斜直線，乳在集中力F的作用為點C處相交幕，形成遞向下凸似的尖角側。梁剪胖力圖和墻彎矩圖徐分別如匙圖8-嫂12(累b)、洲(c)煮所示。如果續，最恥大剪力發德生在的集漸中力F的左側一烘段梁內，繭；最轎大彎矩發席生在集中挖力F的作用鄉豐點C處，此。根據求嘆出的各脈值，畫臣出梁剪嫩力圖和違彎矩圖監分別如大圖8-渴13(艙b)、負(c)巧所示。最大剪力幟發生在A、B兩支座候的內側忙截面上膠，肆,而該處妄的彎矩烘為0；最大彎票矩發生內在梁的數中點截旁面上，傅，而該處的臂剪力為0炕。【例8忍-5】謠作便圖8-嫩14(拍a)所孔示懸臂粉梁的剪開力圖和屆彎矩圖雞。解：此題是牛懸臂梁承洞受端部集記中荷載的利問題。懸盾臂梁問題環的求解有邊一定的特蓋殊性，這栽是因為懸句臂梁有自蚊由端存在內，在進行境受力分析夜時，可以程不求支座撒反力，而飯從自由端擠直接計算箱。（1）禁取如圖虹所示的灣B點為招坐標原仍點，以x為坐標住軸，取x的右側普截面為組截離體熔，列出遣剪力方炊程和彎段矩方程（2）畫序剪力圖和芽彎矩圖從內力方嬌程可以看舌出，剪力損圖是一條遣水平線，冬彎矩圖是吼一條斜線俘。梁的剪喬力圖和彎笑矩圖分別服如圖8-蘿14(b斥)、(c目)所示。最大剪晝力和最欠大彎矩稍發生在絡懸臂端(a)的右側次截面上肥，分別丈為增和計。【例8趨-6】鄙作昆圖8-筑15(籌a)所垂示簡支硬梁的剪飲力圖和灶彎矩圖隨。解:職（1）笑求支座臘反力（2）延列剪力緊方程和士彎矩方晃程取圖中的A點為坐翠標原點蓄，建立x坐標軸。因為AC、終CB段的內劈燕力方程靠不同，晝所以應除分別列說出。兩雀段的內掉力方程梯分別為崗：AC段：CB段：（3）畫嬸剪力圖和鍋彎矩圖從剪力方翅程中可以謙看出，剪緒力圖是一部條與x軸平行的鬧直線。從寶彎矩方程盜中可以看逮出，C點至是分段函暗數的分界旬點，也是賺彎矩圖的辯分界點，植彎矩圖是紅兩條互相煉平行的斜弓直線，C點處彎矩瘋出現突變焰，突變值眼等于力偶籌矩的大小削。梁剪力布圖和彎矩生圖分別如巖圖8-1票5(b)郊、(c)偉所示。如果，跨最大彎獵矩發生揪在集中輸力偶Me的作用處題稍右的截閣面上，儲。不管歸集中力偶Me作用在夕梁的任嫌何截面右上，梁把的剪力界都與8土-15旅(b)款一樣，巾。由以上傻例題可仇總結出肝彎矩、窮剪力和弓荷載集買度之間抖的關系繞，從而萄得出剪柏力圖和猛彎矩圖今的分布傲規律：（1）梁船上無均布商荷載作用臘的區段，豎即q(x)=0扯的區段倆，FS圖為一條腥平行于梁捕軸線的水佩平直線，M圖為一斜齡直線，當FS(x)=0憶時，彎銷矩圖為束水平直坐線；當FS(x)>0時令，彎矩圖岸為向右下噴傾斜的直段線；當FS(x)<0時贈，彎矩圖惱為向右上雅傾斜的直器線。（2）嘴梁上有束均布荷粉載作用鋼的區段梢，即q(x)=(鴉c)的挨區段，狠剪力圖震為斜直仇線，M圖為二鋸次拋物永線。當q(x)>0（洞荷載向上季）時，剪章力圖為向膊右上傾斜眨的直線，漏彎矩圖為廈向上凸的餐拋物線；池當q(x)<0（效荷載向下逝），剪力裹圖為向右善下傾斜的往直線，彎權矩圖為向鈔下凸的拋征物線。（3）鍵梁上有廚按線性俊規律分肌布的荷決載作用剝的區段否，即q(x)為一次復線性函數事的區段，FS圖為二次型拋物線，M圖為三次束拋物線。（4）赴在集中蒸力作用猾點處，FS圖出現突偏變，方向趙、大小與盾集中力同最，而M圖沒有糖突變，牧但由于FS值的突究變，在利集中力僻的作用罵點處形及成了尖婚點，突卵變成的銳尖角與耳集中力像的箭頭衰同向。（5）在漿集中力偶已作用處，FS圖沒有變排化，M圖發生突廟變，順時畢針力偶向槳下突變，翅逆時針力鉆偶向上突吵變，其差輪值即為該清集中力偶蒼，但兩側M圖的切線另應相互平此行。（6）掃剪力為竿零的截冊面上，烘彎矩值昨為極值舟。根據上述涌結論，在四繪制梁的犯內力圖時惠，不必寫鹽出梁的內表力方程，絹直接由梁產的荷載圖后就能定出若梁的剪力厚圖和彎矩馳圖。因而跟，可以將籍梁按荷載陣的分布情凡況分成若厭干段，利類用q(x)、FS(x)、M(x)三者蠶之間的警關系判偶斷各段個梁的剪榮力圖和城彎矩圖躍的形狀瞧，計算賢特殊截鞭面上的封剪力值晨和彎矩秘值，進撥而可以扶繪制整輪個梁的怪剪力圖宵和彎矩扁圖。【例8-糠7】站簡支梁在舊中間部分鼓受均布荷夕載q=10職0kN漿/m作用怕，如圖8浸-16(陡a)所示銜。試繪制躬簡支梁的弦剪力圖和帽彎矩圖。解：（1嚴）求支肅座反力陳。此梁沉的荷載檔及約束槍力均與毯跨中對隙稱，故播反力FA，FB為梁的DB段，由正于剪力壤為負值墓的常量清，故彎鍋矩圖應藝為向右璃上傾斜觀的的斜唇直線。跪因為梁鑼上D點處無集匠中力偶作櫻用，故彎弓矩圖在D截面處不顆應有突變跪，B支座處蹲彎矩為畢零。梁滾的彎矩芝圖如圖珠8-1含6(c膝)所示置。2.3沖疊加法作修內力圖1.疊罪加原理在小變形類和線彈性扛假設的基栽礎上，梁芽上任一荷勤載所產生關的內力不朗受其他荷去載的影響朽。也就抬是說，認周為各荷載喜的作用及吃作用效應領是相互獨換立、互不喬干擾的。再可以先分凍別計算出征各荷載單博獨作用下圍效應，再大求出它們殖的代數和哪。這種方擔法可以歸乓納為一個墓帶有普遍壩性的原理冤，即疊加慘原理，其迅內容可以乞表述為：喉由幾個外缺力所引起爹的某一參功數（包括帳內力、應懲力、位移扮等），其克值等于各幸個外力單陷獨作用時巴所引起的排該參數的適值之總和廈。彎矩可犧以利用折疊加原車理來作奮梁的彎橋矩圖，含即先分資別作出雖梁在各飼項荷載挽單獨作殼用下的瓜彎矩圖征，然后萍將其相敬對應的裁縱坐標籃線性疊獎加，就坐可得出仰梁在所丘有荷載腿共同作攀用下的插彎矩圖康。對梁的字整體運斜用疊加凈原理來墻繪制彎犯矩圖，武事實上請是比較拒繁瑣的調，并不初實用。茫如果先朽對梁進滿行分段呈處理，誰然后，桃再在每掘一個區唐段上運耍用疊加禿原理進家行彎矩藍圖的線偏性疊加幼，這種殘方法常嚷稱為區甩段疊加凍法。2.區吹段疊加爐法繪制喊梁的彎翻矩圖首先討論鑒圖8-1煤7(a)斤所示簡支訂梁的彎矩耀圖的繪制耐。如圖8鎖-17灣(a)霉所示，皇簡支梁風上作用船的荷載嶄分兩部蛋分：跨夕間均布嚷荷載q和端部富集中力棍偶荷載MA和MB。當端部傳力偶荷載MA和MB單獨作用淘時，梁的滔彎矩圖為負一直線，勁如圖8-庭17(b肢)所示。仁當跨間均山布荷載q單獨作田用時，表梁的彎包矩圖為桑一條二論次拋物夕線，如喪圖8-逝17(漲c)所響示。當透跨間均可布荷載q和端部集阿中力偶MA和MB共同作用遠時，梁的效彎矩圖如刺圖8-1并7(d)縣所示，是富圖8-1星7(b)眼和圖8-神17(c羨)兩個圖苦形的疊加淋。值得注妙意的是化：彎矩喚圖的疊漿加，是竄指縱坐費標的疊資加，即頭在圖8護-17材(d)姐中，縱摩坐標垂傘直于桿索軸線A惑B，而賓不垂直癥圖中虛膽線。采用區段片疊加法繪效制梁的彎戀矩圖，可誘歸結成如航下的兩個黎主要步驟歡：（1）在敞梁上選定川外力的不鞏連續點（都如集中力拼作用點、兩集中力偶御作用點、思分布荷載跪作用的起腸點和終點窯等）作為良控制截面減，并求出朋控制截面墨的彎矩值繪。（2）源區段疊用加法畫益彎矩圖制。如控乞制截面庸間無荷尖載作用色時，用昌直線連懂接兩控續制截面屬的彎矩薄值就作弊出了此薄段的彎吸矩圖。常如控制稍截面間填有均布間荷載作眠用時，勢先用虛濃直線連稀接兩控鼠制截面創的彎矩薦值，然誤后以此建虛直線尺為基線隆，疊加跳上該段常在該均讀布荷載洽單獨作腳用下的址相應的六簡支梁宿的彎矩搖圖，從毯而繪制分出該段跌的彎矩佳圖。【例8信-8】任用毯疊加法路繪制如褲圖8-蹄18(徒a)所棟示外伸帆梁的彎亮矩圖。解:外伸專梁的彎口矩圖等努于集中糟力8-沖18(召b)和斗均布荷捐載8-必18(袍c)單甘獨作用糾下的彎塌矩圖疊謹加而成敬。集中宵力作用躺下彎矩犯圖如圖例8-1君8e所頑示，均柿布作用存下彎矩滿圖如圖泳8-1親8f所襖示。兩屋個彎矩濾圖相應石的縱坐僑標相加螞，得到層所求外碗伸梁的尤彎矩圖念如圖8潑-18倍(d)剖所示。【例8-化9】繪制螺如圖8-度19(a典)所示簡思支梁的彎煌矩圖。解：(音1)求哭支座反神力。由吩梁的靜袖力平衡軋方程可箭以求出向支座反蟻力為（2）作FS圖根據荷載互作用的情雜況，可以腿把整個梁附分成AC、CD和DB三段。AC和CD段無荷賣載作用仰，FS為常數韻，FS圖為一凍水平直麻線。DB段有均布梯荷載作用某，FS圖是一央條斜直挺線。先育出各控澡制截面慚的剪力腦值如下售:依次在ＦS圖上定辰出各點待，繪制五梁剪力鳴圖如圖親8-1頸9(b朽)所示圍。（３）作Ｍ圖選擇Ａ、Ｃ、D和B作為控制纏截面，求蓋出各控制號截面的彎氣矩值如下墻：依次在M圖上定拼出各點司。在AC和CD無荷載寸作用段勤，連直四線即為鎖彎矩圖虎。而在拿有均布逗荷載作振用的段縣，先連勒虛線，跡再疊加辣上以為窩跨度的標相應簡斗支梁在曉均布荷說載q作用下的例彎矩圖，頂就可以作誼出DB段的彎祥矩圖。變整個梁溪的彎矩到圖如圖憲8-1鞏9(c膛)所示江。而截測面E的彎矩撲值為：【例題吩8-1國0】炭試繪耐制圖8就-20炎(a)綠所示簡根支梁的子彎矩圖廳。FAFB(a)(b)解：（1）斗求支座反需力。由梁的捐靜力平孕衡方程軍求得支著座反力用為（2）計徒算控制截務面的彎矩障值選擇Ａ、Ｂ、利Ｃ、Ｅ、艦Ｆ和Ｇ作為控制單截面，求旗出各控制沃截面的彎刷矩值為(c)（3）侍繪制彎俯矩圖依次在M圖上定出徑以上各點格。在AB、B顛C、EF和FG各無荷業載作用仰段，連娃直線即業為彎矩貧圖。而貨在有均臨布荷載蜻作用的CE段，先佳連虛線基，再疊哥加上以CE為跨度的屋相應簡支賣梁在均布捷荷載q作用下正的彎矩曉圖，就丈可以作葡出CE段的彎矩船圖。、整原個梁的彎否矩圖如圖拒8-20標(b)所單示。而梁倦的正中間斤截面D的彎矩獲值為：此時，M搏D不是彎蟲矩的極大哭值。如果要糕求出彎原矩極大財值，可醉先畫出腫剪力圖剖如圖8惑-20臉(c)懲所示，御剪力為照零截面呀上的彎社矩為彎僚矩極大板值，其數值大小私為36亡.12優5kN鍛·m。可見，梁扒的正中間噴截面D的彎矩證值與彎效矩極大濁值非常春接近。3梁懇的彎曲跑應力3.1遷梁的彎曲裙正應力及輔正應力強荒度條件1.梁的丙彎曲正應中力在平面駛彎曲梁甩的橫截滲面上，復存在著鐵兩種內繪力——伏剪力和嘴彎矩。換橫截面摔上既有圾彎矩又棒有剪力卡的彎曲蟻稱為橫激力彎曲牛。如果撲梁橫截癢面上只肅有彎矩掩而無剪滅力，這記種彎曲綢稱為純渡彎曲。只有切嘉向分布漫的內力跳才能構腔成剪力正，只有裂法向分煙布的內忘力才能仔構成彎畝矩，因介面在梁逗的橫截陳面上同朽時存在意著切應信力τ和假正應力巡壽σ。（1）幣純彎曲勢梁橫截頭面上的眠正應力痛計算圖8-2運1所示的待簡支梁的CD段，因其葉只有彎矩幻玉存在而無師剪力存在隙，是一種普純彎曲變冒形情況。愈純彎曲是游彎曲中最甜基本的情藍況，純彎家曲梁橫截志面上的正誦應力計算楚公式可以朱推廣到橫銳力彎曲中棒使用。因般此，研究蒜彎曲正應矛力從純彎稀曲開始。1）純彎劣曲變形首先要進券行變形實魄驗，觀察釀變形情況蔥。假設梁鏡的橫截面包為矩形，薦受力前在復梁側面畫非上與軸線輩平行的縱勵向直線和腎與軸線垂餅直的橫向城直線，如久圖8-2幕2所示。石受力后，扒梁上的縱傲向線（包淺括軸線）血都彎曲成革相互平行姜的曲線，晶靠近凹側饅一邊的縱渣向線縮短支，而靠近而凸側一邊借的縱向線掏伸長。梁對上的橫向適直線仍為符直線，各捏橫線間發劈燕生相對轉幕動，不再呈相互平行餃，但仍與鮮梁彎曲后也的軸線垂糞直。圖8-刑22襪圖確8-2譜3根據觀察毯到的表面粱現象，對至梁的內部頃變形情況材進行推斷怨，作出如馳下假設：①梁的慌橫截面余在變形餡后仍然佩為一平懶面，并潔且與變淹形后梁暖的軸線富正交，漿只是繞壓截面內閥某一軸喂線剛性遣地轉了訊一個角簡度，該先假設稱桐為梁彎摧曲變形末的平面鑼假設。②把梁看繩成是由許嫩多縱向纖攀維組成。謎變形后，冠由于縱向褲直線與橫福向直線保符持正交，返即直角沒戰有改變，抽可以認為稅縱向纖維唇沒有受到納橫向剪切啦和擠壓，揭只受到單津方向的拉熱伸或壓縮區，即靠近朋凹面纖維己受壓縮，岸靠近凸面治纖維受拉暢伸。根據假癥設，靠赴近凹面生纖維受傳壓縮，間靠近凸溉面纖維避受拉伸膨。再根品據變形釣的連續旦性，縱混向纖維花從受壓么縮到受友拉伸的傍變化之雄間，必紫然存在頓著一層爐既不受舍壓縮、糊又不受繪拉伸的撫纖維，伴這一層芝纖維稱霧為中性膚層。中復性層與冶橫截面坑的交線廈稱為中仰性軸，聰如圖8吉-23扔所示。誼因此，叮梁純彎紙曲變形框可以看醒成是各火橫截面嫌繞各自脅中性軸合轉過一球角度。2)純彎翻曲梁正應漢力公式推殿導根據純田彎曲梁向的變形堆特點，忠下面從胸幾何方誕面、物虹理方面擋和靜力摟學方面國來推導帝純彎曲招正應力凈公式。①幾何方法面圖示dx微段，睡其中x軸為假綿設的中虎性軸(垃待確定介)，所模以O1O2在變形前犁后長度不竭變，而變毫形后的弧宿段O1O2的轉角喪為dq，考慮福線段ab在變形后倉的線應變露，式(a艙)是變哲形的幾憲何關系崖式，也戚稱變形刑協調條惱件或變太形協調競方程。疏它表明湖梁橫截摔面上任乞意一點享處的縱決向線應鴿變與該察點到中猴性軸的洽距離成靈正比。②物理方誘面由于縱燒向纖維舟只受單喉方向的感拉伸或壞壓縮，記當材料腿在線彈歐性范圍攪內工作配時，根箱據虎克扁定律有購：則(a)講式變換成晉為：(b)式(b亞)尚不憐能用來飛計算彎噸曲正應薪力。因魯為式中幕為變形氣后中性窯層的曲卵率半徑暫，還沒稀有求出驚，y為所求顆縱向纖碌維到中薄性層的糠距離，招雖然y值已知蓋，但中粱性層或廟者中性運軸的位鴨置也還死沒有確蟲定。還枕需要用舍靜力學胡的方程模來共同叮求解。③靜力誕學方面純彎曲悶梁的橫招截面上抄只有正凱應力，桶而無切凱應力，望即架。橫截禽面上的曬法向分揉布內力埋組成了北一個空漸間的平填行力系炒。該力頌系對截戰面形心正的矩等辦于該截跡面上的寒彎矩，建該力系享在截面鴉法線方俘向上的忍合力等可于該截枯面上的鏈軸力柏。通過數學咳推導可以鉤得知：中乓性軸一定蟻通過橫截軌面的形心栗。根據彎串矩和軸棒力的關魂系可得截出梁彎應曲時中更性層的酸曲率表漿達式為(8-費1)式中：M——橫截備面上彎矩追；IZ——橫促截面對必中性軸醋的慣性雷矩。式(8耕-1)鮮是梁彎件曲變形拒的一個腥基本公控式。當嗎彎矩M越大，誓梁彎曲鵲變形越壘大，中佳性層的捐曲率半怠徑越小獎；EIZ越大，曲馬率半徑越們大，梁彎圖曲變形越鋤小。EIZ是梁抵香抗彎曲紀變形的吳能力，琴稱為梁晉的抗彎勿剛度。將(8藝-1)匯式代入局(b)笛式，得頑：(8-數2)式(8-飾2)稱為彈純彎曲梁純橫截面上漸正應力計戰算公式。式中：y——橫所截面上暴所求應趕力點至拼中性軸制的距離薦。幾點說明謠：①公式戰(8-脂2)的槳適用范憲圍為線觸彈性范書圍。②計算應益力時可以起用彎矩M和距離y的絕對值天代入式中半計算出正昌應力的數技值，再根桐據變形形暮狀來判斷罵是拉應力驚還是壓應貓力。③在應力乒計算公式鬧中沒有彈宿性模量E，說明正從應力的大唯小與材料喇無關。3)橫冷截面上聾正應力坡的分布垃規律和些最大正邀應力從式(8存-2)可充以看出，助梁橫截面偽某點的正鄭應力σ與妹該橫截面刺上彎矩M和該點職到中性沙軸的距弓離y成正比，甲與該橫截掉面對中性敗軸的慣性聞矩成反比鳥。當橫截項面上彎矩M和慣性等矩IZ為定值時吹，彎曲正話應力σ與y成正比滑。當y=0時洗，σ=餃0，中災性軸各狠點正應拾力為零姐，即中紛性層纖爬維不受報拉伸和梳壓縮。普中性軸興兩側，遣一側受湯拉，另稍一側受嫩壓，距類離中性似軸越遠并，正應裕力越大酒。到上誤下邊緣y=ymax正應力估最大，滾一側為府最大拉真應力σtm她ax，而另榮一側為悉最大壓哄應力σcmax。正應賭力分布狠規律如旦圖8-灰25所凡示，橫得截面上y值相同繼的各點爹正應力啦相同。最大應糠力值為紀：(8-3參)式中：利——剩彎曲截面逐系數（抗讀彎截面系煤數或抵抗矩），它甲僅與橫結截面的形責狀尺寸有性關，衡量繪截面抗彎甲能力的幾仍何參數，未常用單位劍是mm3或m3。圖8惹-25對于高誦為h，寬為(b)的矩形截宮面(圖8催-26(蓋a))：對于直搜徑為(d)的圓形叛截面(貪圖8-憐26(經b))憑：各種常用澡型鋼的慣和性矩和彎共曲截面系遵數可從型敵鋼表中查簡取。當梁的貌橫截面幻玉不對稱奮于中性爪軸時，叨截面上較的最大盯拉應力趨和最大源壓應力腎并不相輔等，如伐圖8-招27所柜示中的采T形截育面。這宗時，應喂把y1和y2分別代三入公式皺，計算間截面上卡的最大倒正應力怎。最大凍拉應力亂為最大壓漆應力為圖8-2煉7(2)仗橫力彎曲寬梁橫截面紗上的正應眨力計算橫力彎曲明時，由于啄橫截面上疤存在切應久力，所以付，彎曲時嶄橫截面將唇發生翹曲樂，這勢必矩使橫截面神再不能保圾持為平面倍(平面假扯設不適用較)。特別由是當剪力喂隨截面位金置變化時專，相鄰兩昂截面的翹是曲程度也暴不一樣。剃按平面假電設推導出雨的純彎曲足梁橫截面塞上正應力請計算公式栽，用于計板算橫力彎衣曲梁橫截調面上的正絮應力是有特一些誤差疊的。但是績當梁的跨類度和梁高巾比l/h大于5時濾，其誤差梳在工程上值是可以接河受的。這繩時可以采沖用純彎曲煙時梁橫截馳面上的正軟應力公式頂來近似計擇算。【例8-熟11】長為的矩百形截面懸委臂梁，在稠自由端作煉用一集中言力F，已知b＝12盆0mm捏，h＝180孤mm、＝某2m，F＝1.6懇kN，試靈求B截面止上a、b溜、c各點損的正應力抹。圖8-朋282.正應凍力強度條河件對于等截汪面直梁，賺梁最大彎盞曲正應力擾發生在最繳大彎矩所索在的橫截住面上距中儉性軸最遠清的各點處紡。最大彎湯矩所在的核橫截面稱切為正應力清的危險截躲面。在該巨危險截面剛上，離中剛性軸最遠角的各點其急彎曲正應敗力的值最森大，稱為指正應力的窗危險點。梁彎曲正斜應力危險卷點上有梁嚼的最大彎讓曲正應力蜜σmax，若梁肯的容許吳應力為痕[σ]悶，則彎趨曲正應扛力強度莖條件為新：（8-吼4）等截面直通梁的彎曲梳正應力強嶺度條件為判：（8-艙5）對于抗拉誤和抗壓強載度不同的艱脆性材料內，由于[兼σt]≠[回σc]，因壟此彎曲宣正應力紋強度條梅件分別貧為：（8-6晌）（8-7鬧）式中：σtma相x和σcma德x分別表情示梁的賽最大彎芳曲拉應貪力和最貸大彎曲散壓應力辨。【例8-販12】梁墾的荷載如搖圖8-2溝9所示。匙已知截面哪對形心軸雨的慣性矩Iz=4.0滔3×10軍7mm4貓，材料的猾抗拉強度裹=50M想P(a)溫，抗壓強效度=10矩0MP(言a)。試慕按正應力沒強度條件含校核梁的吉強度。解:(1)全畫梁的練彎矩圖域如圖8炮-29裕(c)爽所示。廈梁的最卵大正彎演矩發生剛在C截面上鳳，梁的貸最大負循彎矩發釋生在B截面上管，最大滿正、負唇彎矩的腰值分別乏為3.2灘提高黃梁抗彎言強度的龜措施梁的彎路曲強度忘主要取洪決于梁軟的彎曲逢正應力傳強度條拌件，即姿：（1）盡返量降低梁返的彎矩；（2）林提高梁脂的抗彎吩截面模暗量；（3）鑼同時降迫低梁的壘彎矩和鞋提高抗能彎截面充模量—找—等強貍度梁。1.合伏理布置涌梁的支思承及載飛荷（1）胞合理布濃置梁的棟支座圖8他-322.選擇腦合理的截盒面形狀最合理孔的截面僻形狀是詞用最少給的材料至獲得最燈大的抗碑彎截面夏模量的矩截面。駕為了比密較各種揉截面的劃經濟程鍬度，可陳用抗彎臟截面模彎量WZ與截面滑面積A的比值WZ/A作為衡較量標準乳。WZ/A越大，仗就越經滴濟。表膀8-1凱列出了丸五種截士面的WZ/A值。表中h代表截接面高度朝，圓環屋形截面欣的內徑互用d表示（d=0.隙8h）。從表中數線據可知，富實心圓截瘡面最不經更濟，矩形鵲截面次之意，空心圓貨截面較好甩，槽鋼和誼工字鋼截脈面最佳。仰顯然，這差和梁彎曲僅時橫截面華上的正應精力分布有鉆關。在離陸中性軸最尤遠處的正村應力達到艙許用應力信時，在中純性軸附近焰處的正應夠力仍然很趣小，也就反是說，中涂性軸附近映的材料沒宅有充分利患用。為了女提高材料鬼的利用率液，應當盡良可能將材話料放置在比離中性軸觸較遠的地敬方。對于抗壓冷強度大于暈抗拉強度售的脆性材降料，即〔訴σc〕>〔σt〕的材浸料，例安如鑄鐵羽，如果桌采用對壞稱于中孔性軸的計橫截面拉，則由按于彎曲錘拉應力特達到材巨料容許競拉應力麗〔σt〕時，彎尊曲壓應力澡沒有達到艘容許壓應讀力〔σc〕，在松受壓一岔側材料孔沒有充粒分利用曠。因此佩，應采汪用不對晉稱于中振性軸的妥截面，通并使中碎性軸偏己向受拉梯的一側藥，即使蹄得最大弦拉壓應丈力同時自達到材煩料的允受許應力遣值。3.采用誤等強度梁按正應襲力設計若梁的截沈面時，論是以梁炭的最大剩彎矩為醒依據的莖。對于坐等截面都梁，當鄰梁危險叨截面危哄險點的蜂應力值般達到容才許應力脫時，其廚余彎矩藥小的截倉面上的就材料沒喇有充分皇利用。互為提高剩材料的謀利用率吊、提高掠梁的強澇度，可敢以設計主成各截孕面應力汗值均同梢時達到農容許應廈力值的及“等強奔度梁”秧。其彎寄曲截面甚系數WZ，可按鐮下式確喇定：工程中鉛為了加曬工方便侵和滿足倆結構上墨的需要奪，常用宏階梯狀殘的變截與面梁（滅階梯軸緩）來代葬替理論僵上實等盲強度梁路。※3.3銜梁的彎卵曲切應力串及切應力呆強度條件梁在橫力濟彎曲時，吃梁的橫截萍面上同時牧有彎矩M和剪力FS。因此逆，橫截視面上不得僅有彎搖矩M對應的查，還有將剪力FS對應的蛇切應力萍。本節守主要研望究等截品面直梁器切應力利的計算崇及切應礦力強度輛條件。1.矩候形截面販梁的切切應力（1）公遺式推導圖8-糕33所吵示的矩楊形截面叮梁高度溉為h，寬度品為b，沿截勁面的對獅稱軸y截面上獸有剪力FS。因為慌梁的側張面沒有們切應力醉，根據認切應力健互等定犬理，在紹橫截面飼上靠近濟兩側面奮邊緣的青切應力輝方向一蛾定平行憤于橫截丘面的側笛邊。一唇般矩形烘截面梁秘的寬度始相對于束高度是瞞比較窄曬的，可謊以認為躲沿截面事寬度方惹向切應影力的大危小和方進向都不燙會有明夾顯變化浴。所以卻對橫截港面上切贊應力分簡布作如掠下的假拜設：橫鵲截面上教各點處利的切應襖力都平爽行于橫勵截面上饞的剪力FS，沿截面蓬寬度均勻徐分布。用相距dx的兩個預橫截面m－m和n－n從梁中見切一微遵段(圖湊8-3壓3(a薯))。遍為研究擠方便，游設在微越段上無久橫向外黨力作用訊，則由搜彎矩、馳剪力和躁荷載集渴度間的晝關系可悄知：橫遍截面m－m上和n－n上剪力央相等，通均為FS。但彎矩緣瑞不同，分先別為M和M＋FSdx(圖8-江33(b毀))。由義平衡方程炒ΣFX=0，導運出（過程隆從略）矩名形截面梁鄙橫截面上關切應力公貓式（8-京8）式中：腎——橫寒截面上黑的剪力旁；——整犯個截面奶對中性鏈軸的慣鉆性據；——橫洪截面上采求切應恐力處的乞水平線巧以下（冰以上）系部分面堤積對中郊性軸的叼靜矩；——矩形宅截面寬度午。（2）切稀應力分布艙規律及最習大應力2.其索它形狀帆截面的移切應力（1）工凳字形截面毒梁工字形梁踐的橫截面五由上、下榮翼緣和中籠間腹板組拿成（圖8卻-35）播。腹板是框矩形截面攏，所以腹掠板上切應戴力計算可混按(8-唉8)式進恐行，翼板隙上的切應枯力的數值菌比腹板上狠切應力的名數值小許昨多，一般糠忽略不計良。其切應偽力分布如奮圖8-3粉5所示。最大切捕應力仍螞然發生英在中性磚軸處。鑼在腹板秀與翼板舞交接處向，由于毒翼板面抬積對中常性軸的派靜矩仍車然有一客定值，莖所以切餡應力較憐大。式中：鴨——半話個截面長對中性綁軸的靜綠矩。（2）俯圓形截拍面梁和格圓環形錄截面梁圓形截盆面梁和沃和圓環易形截面緒梁如圖連8-3雖6所示溜，它們曾的最大吧切應力綁均發生伙在中性爽軸處，都沿中性階軸均勻蛇分布，鳴計算公掘式分別臘為圖8猶-36【例8舟-13竟】驚如圖5亂6a光號工字糖鋼制成局的簡支凱梁，試母求梁的慰橫截面我上的最稀大切應硬力和同墨一橫截桂面上腹希板a點處(續圖(b凡))的也切應力豪。梁的環自重不吧計。解（1括）繪制摸剪力圖久如圖8臣-37栽所示。存在于除蠢兩個端截決面A，B和集中旁荷載F的作用點既處C以外的席所有橫矛截面上著。（2）計色算最大彎校曲切應力由型鋼跑表查得徐56a留號工字呢鋼截面芹的尺寸顯如圖8佳-37接(b)訂所示，休根據型闊鋼表有I