E-mailaddress:veluvolu@ee.knu.ac.kr(K.C.Veluvolu).

2變增益反饋設計，當誤差較大時，選擇比較小的，當誤差較小時選擇較大的。HT1rr,0,1,i。T

1分離原理separationprinciple

把隨機控制系統的控制器分解成狀態估計和確定性反饋控制兩部分分別進行設計的一種原理。應用這個原理時，先根據隨機觀測數據估計系統的狀態，再把估計值看作為真實狀態，按照確定性系統設計最優控制規律。這是對隨機最優控制系統設計技術的一種簡化。這樣設計出來的系統常常不是真正最優的。只有對某些特定類型的系統，可按分離原理設計出最優的隨機控制策略。這類系統稱為可分離系統。線性二次型高斯(LQG)隨機過程控制問題就屬于這一類，它的求解和實現都比較容易，有較大的實用意義。下圖為按分離原理設計的控制器結構。狀態估值器可采用卡爾曼濾波器來實現（見卡爾曼-布什濾波），它給出受控過程Levant,A.(2005a).Homogeneityapproachtohigh-orderslidingmodedesign.

Automatica,41(5),823–830.

5Levant,A.(2005b).Quasi-continuoushigh-ordersliding-modecontrollers.IEEETransactionsonAutomaticControl,50(11),1812–1816.

文獻1,2是基于極點配置是系統漸進穩定，需要證明分離原理。

separationprinciple(分離原理):Thisprincipledescribes,essentially,asituationinwhichitispossibletoseparatetheestimationproblemfromthecontrolproblem,i.e.,thecontroldoesnotneedtohavethefulldualcharacteristic文獻3對1,2進行了改進，設計了一種基于超扭曲算法的二階滑模實時魯棒微分器，能夠使觀測器在有限的時間內達到收斂。4,5Levant利用同一性質[6](homogeneityproperties)具有有限時間收斂的任意階實時微分器。

1在控制系統設計中,很多控制器的設計是建立在被控系統的所有狀態可直接獲得的假定上的.但在眾多場合,系統的狀態是不能完全測得的,因此一個很自然的問題就是如何利用被控系統輸入、輸出的信息設計觀測器,對系統狀態實現重構.Luenberger在1971年提出一種用于確定的線性統中的觀測器,利用觀測器輸出與系統輸出之的偏差修正觀測器的估計值,使得觀測器狀態系統狀態之間的偏差漸近趨于零.但實際更普遍的情況是系統中存在非線性不確定性Luenberger觀測器不具有魯棒性,在這種情況下能很好的估計出系統的狀態.Walcott和Zak等采用變結構技術,提出了Walcott-Zak觀測器,對統中的非線性不確定性均具有魯棒性,并且不要知道非線性項的具體信息,只需要非線性不確定性滿足匹配條件且有上界.但設計過程中,設計參數矩陣必須滿足嚴格的假設條件在設計過程中,需要大量不等式計算,設計過程繁瑣,當系統維數較高時,難以設計。

2狀態觀測器

在下面有關狀態觀測器的討論中，我們用表示被觀測的狀態向量。在許多實際情況中，一般將被觀測的狀態向量用于狀態反饋，以便產生期望的控制輸入。

考慮如下線性定常系統

AxBu,yCx(1)x

可構造如下觀測器

~~A~xxBuKe(yCx)(2)

根據(1),(2)得到

(AKeC)ee

系統完全能觀測（可觀測，可控）是存在觀測器的充分條件，而且觀測器極點可以任意配置。

x來近似，則該式表示狀態觀測器，其中Ke稱為觀測器的增益矩陣。注意到其中中的狀態~

x。誤差向量的動態特性由矩陣AKeC的特征值決定。狀態觀測器的輸入為y和u，輸出為~

如果矩陣AKeC是穩定矩陣，則對任意初始誤差向量e(0)，誤差向量e(t)都將趨近于零。也就是說，不管x(0)和~x(0)的值如何，~x(t)都將收斂到x(t)。如果所選的矩陣AKeC的特征值使得誤差向量的動態特性漸近穩定且足夠快，則任意誤差向量e(t)都將以足夠快的速度趨近于零(原點)，此時將~x(t)稱為x(t)的漸近估計或重構。

Hurwitzmatrix:假設有如下微分方程

A*xBu,若果A的特征根嚴格的具有負實部，則x是漸進穩定的，即xtt0x

xu,01考慮一個簡單的二階系統x

設狀態反饋ux,值可取a或者-a。對應的兩種結構，系統都不穩定，但是如果將兩種反饋方法按照一定的規律有機結合起來，a,xs0

a,xs0，則直線兩側的軌跡最終在

cx。若取x=0,sxcx,c0,此直線并收斂到原點。sx2a,s=0兩側的42

相軌線都引向切換線s=0,由此狀態軌線一旦到達切換線，就沿此直線收斂到原點。

為坐標軸的坐標系）（x,x其解為xtx0ect。

0,或者SS0,只fx,u,t，2對于一階非線性系統，動態滑模存在的條件是limSSxs0

能保證系統從任意一點出發的狀態能夠到達滑模面，但不能反映出狀態是如何到達滑模面的，高為炳提出了滑動模態趨近概念，

ksasgns;指數趨近規律，sgnsfs，隨著f(s)的不同，冪次趨近規律為SS

sgnsks,0,k0對于抖動問題，burton提出了uSks

||s||,加入正常數西格

瑪，

3右端不連續微分方程

ffx,u,fx,uxfx,u,s(x)0dsx,s(0)=0,可微分，即存在，dtx,u,s(x)0

例子1設二階系統

yx4,sx0,s0.5xy,x(0.5x+y)即x=0,0.5x+y=0ux，其中,y2yxu4,xs0

x0,xx0e0.5ty和0.5x+y=0得到2x兩條直線為邊界，而且最終由x

4滑模變結構控制系統設計：

4.1切換函數設計，即滑模面,

對于輸入系統sc1x1c2x2...xn，c越大相應的收斂速度越快；一般對于帶有輸入控

;erx1,erx2。非線性切換函數制的切換函數設計為scee

動態滑模切換函數sxcxdu,終端滑模切換函數sxx2x1q/p,pq0都為整數

4.2控制作用選取

一些常用的控制結構比如常值切換控制uu0sgns，

函數切換控制uuequ0sgnsx，

a,xs0比例切換控制比例切換uixisgnsaee，等效控制sgnsu;,xs01i

x0，u的值。一般針對帶有不確定性和外加干擾的系統，一般采用等效控制加切換等s

控制的形式uuequvss.。

5常見的有基于比例控制的滑模變結構、和基于趨近律的滑模變結構、基于準動態滑模的控制、基于上下界的滑模變結構控制：對于帶有不確定性和外部干擾的系統狀態

5.1基于趨近律的變結構控制

AxBu;設切換函數xCxslawsgn(s)ks.帶入得到uCBscx,s1CAxslaw

x2對于位置追蹤型uB21crrA21x1A22x2slaw

x1A11A12B10x,A,BxAAB221222

5.2基于準動態滑膜的控制

在連續系統中，常用的兩種準動態滑模方法：

1用飽和函數sat（s）代替sgn（s）

1,s

sat(s)ks,|s|,k1/

1,s

xx1sat(x)

sgn(x)x1

2用連續函數s代替sgn（s），ss

s

ps：在觀測器的設計中為了減少抖動，采用了sgns

于0的常數，一般取值為0.01。

5.2基于上下界的滑模變結構控制

1tx2txxtfx,tfx,tau(t)dt2ss的方法，式中為大

（1）d(t)為外部干擾，|d(t)|<D,即D為上屆

（2）|fx,t|Fx,t

控制器設計：設計切換函數stcx1tx2t；控制規律取

ut1

afx,tcx2tkx,tsgsn),(

其中kx,t為增益項，且kx,tFx,tD,0

6二階滑?？刂?/p>

的交線上，對于所謂二階滑模狀態，是指系統狀態運動軌跡位于狀態空間內兩個平面s和s

二階滑模控制策略，要求在有限時間內滑?？刂谱兞縮及其一階導數均為零

fxgxu;ysx,t，x為狀態變量，u為輸入控制信號，s為滑模變量，f、g為光x

滑不確定函數，但是有界，假使控制的目的是使s(x,t)為零，對其微分可得

s

ssxs

xfxg(x)ufxg(x)ugsuxx,t0若滿足S2xX|sx,ts

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

5參考文獻

[1]ArieLevant，Principlesof2-slidingmodedesign，Automatica43(2007)576–586

[2]Esfandiari,F.,&Khalil,H.K.(1992).Outputfeedbackstabilizationoffullylinearizable

systems.InternationalJournalofControl,56,1007-1037.

文獻介紹了一種高增益觀測器具有能夠減小建模誤差且快速構建系統狀態，高增益觀測器形式如下

AxBf0x,u,dHyCx?,x

其中觀測器增益

部。

ak.OBSERVERDESIGNFORSYSTEMSWITHUNKNOWN[3]StefenHui,StanislawH.Z

INPUTS.Int.J.Appl.Math.Comput.Sci.,2005,Vol.15,No.4,431–446.

針對如下述控制模型

AxB1u1B2u2x

yCx2rr1H1r,0,1,方程s1sr1sr02rT的根具有負實

其中xRn,yRp,u1Rm1,u2Rm2,m2p若給出A,B1,B2,C。若符合提條件：rankCB2rank(B2)

TT成立，且存在矩陣G，使得A0A-GC有穩定的特征值，FCB2P,A0PFPFA0QPF，其中P,Q均為對稱正定矩陣。Walcott和Zak提出了一

種觀測器

?Ax?B1u1GCx?y?B2vx

?為觀測器估計的系統狀態，v為觀測器輸入，且具有如下形式其中x

?xFCx?xFCxv

0?x0FCx?x0FCx

其中是一個正的設計參數。

Walcott-Zak魯棒觀測器實現時的困難在于找到增益矩陣G和Lyapunov矩陣P。

ak.Sliding-modeobserversfor[4]KaranjitKalsi,JianmingLian,StefenHui,StanislawH.Z

systemswithunknowninputs-Ahighterm-gainapproach.Automatica46(2010)347-353KaranjitKalsi,JianmingLian對文獻[4]的方法進行了改進，利用輔助輸出(auxiliaryoutputs)來構建觀測器[7,8]能夠突破限制條件。其改進方法如下：

[5]高為炳.變結構的控制理論及設計方法.北京：科學出版社,1996年

[6]Edwards,C.,&Spurgeon,S.K.(1998).Slidingmodecontrol:Theoryand

applications.London,UK:TaylorandFrancisGroup.

[7]Floquet,T.,Edwards,C.,&Spurgeon,S.K.(2007).Onslidingmodeobserversforsystems

withunknowninputs.InternationalJournalofAdaptiveControlandSignalProcessing,21,638-656.

[8]張裊娜,馮勇,邱東,非線性不確定系統的魯棒滑模觀測器設計.控制理論與應用。2007年5

月，第24卷第五期。

AxBuft,x,uxyCx

其中非線性項f(t,x,u)滿足匹配條件，ft,x,uBt,x,u2sin(2t)2cos(2t),因T此||ξ(t,x,u)||≤2.其中||t,x,u||<r1||u||+a(t,y);

?y,其中主要是求參數F，其算法：滑模選擇sMeFCx

1)選擇A0的譜，計算相應的矩陣G；

2)用矩陣F各個元素符號表示出矩陣M；

13)根據式AMA011A012M2M1以及希望的AM矩陣的特征值，選取矩陣F的各個元素．

其中

A011Rnmnm,A011Rnmm,M1Rmnm,M2Rmm

?Ax?BuGCx?yBv構造觀測器x=Ae?Bξ+Bv，e

2sTMBT

sMB0.5s2T滑?？刂苬sMB

T0,sMB0

,sMB0,2,0.6T

7滑模觀測器

例子4文獻（10）

7SuperTwistingslidingmode（超扭曲滑模）

1高階滑模理論

滑模控制具有算法簡單，抗干擾性能好，尤其是它對擾動和參數變化的魯棒性以及進入滑模運動以后的完全自適應性，使得滑?？刂剖艿搅藝鴥韧饪刂平绲钠毡橹匾暋５?，滑模存在一定的缺陷，最突出的就是‘抖振’問題，其次，傳統的滑?？刂啤刃Э刂品椒ǎ瑢嵸|上只考慮了執行機構的慢時變或平均作用。然而，忽略了執行機構的快時變動力學特性，往往會導致實際滑?？刂葡到y的不穩定性，因此在實際應用中還應該適當考慮執行機構的快時變作用和滑模的高階動態特性對系統性能的影響。針對傳統滑模控制存在的上述缺陷，一些國外學者近年來提出了高階滑模(HigherOrderSlidingMode)控制方法。高階滑模是對經典滑模思想的擴展．它把不連續控制項作用于滑動模的高階導數中而不影響它的一階導數。

2高階滑模定義

設1,...,m使RmRn的完全完全平滑的約束函數且每一分量i直到ri階T的導數均為光滑函數：~rr1,...,rm下列等式T

i,...,iir10,i1,..,m（1）

定義的集合在Filippov意義下為一局部積分集，則在上的運動模態稱為是向量約束函數具有滑動階~而稱整數rr1...rm為總的滑動階數，r的滑動模，

如果此積分滑動集合是(漸近)穩定的，則稱滑動模是(漸近)穩定的。對于

f(x)g(x)u,xR,uRx

其中f,g,為光滑函數.使系統具有與輸出變量有關的相關度r,這就意味著李導Lg,LfLg,...,LfLrh2在給定的點的鄰域內等于且在這點上LfLrh10

滑動的階數實際上代表著滑動流形求導后連續的階數，尤其刻畫了系統動態在滑動面臨近區域的光滑程度。這樣，高階滑模不僅具有傳統滑?？刂品椒▽Ψ蔷€性和及不確定因素的魯棒性，最重要的是能夠大大削弱滑模控制系統的抖振，另外，它考慮高階動態特性和快時變動力學的影響，即使被控對象和控制設備存在缺陷，也可確保較高的準確度。

從理論上講，系統運動軌跡到達滑模流行后就始終保持在其上運動，稱這種滑動模為理想滑模；但在實際系統中，由于慣性、執行機構的切換滯后等非理想因素的存在，系統運動軌跡不可能保持在此滑模流行上運動，而是在滑模流行附近來回抖動。這種滑動模稱為實際滑模。實際上，沒有哪種控制方法可以使系統理想地保持在約束面上。從約束條件t,x0可得控制u，控制開關u的設計質量直接影響著滑動的精

3二階滑模

為了避免普通一階滑?？刂乒逃械亩秳蝇F象，可以采用高階滑模控制技術。

Emelyanov等人最早提出了對滑模變量的高階微分的觀點，并提出了二階滑模算法，比如Twisting算法，該算法是按指定控制律收斂[]。所謂Super—Twisting算法，是針對系統滑模變量的相關度為[]提出的，該算法完全消除了抖動。Levant描述了在二階滑模控制中，滑模變量與開關延時時間的平方比關系，因此是一種比較好的高階滑模控制方法[]。為了不失一般性，設控制系統空間狀態方程為：文獻1Rajemanl＆andChoYM，Existenceanddesignofobserversfornonlinear：relationtodistancetounobservabiIity【J】．Int．J．Contr．1998，69(5)：717．731．

f(x)g(x)ux

yhx,t

其中：x為狀態變量，u為控制輸入信號，f,g為光滑不確定函數，h為輸出函數。根據定義3-l，當且僅當系統軌跡位于狀態空間兩個流形0和0的交界面時，系統為二階滑模動態。假設控制的目標是使x,t0，對兩次求導得到

x

xf(x)g(x)uf(x)g(x)u

uu

x,t0,Rn。則二階滑模流形定義為x|x,t超扭曲二階滑?？?/p>

制的詳細算法請參考。

8高增益觀測器

1J.P.Gauthier,H.Hammouri,andS.Othman,“Asimpleobserverfornonlinearsystemsapplicationstobioreactors,”IEEETransactionsonAutomaticControl,vol.37,no.6,pp.875–880,1992.

2F.Deza,E.Busvelle,J.P.Gauthier,andD.Rakotopara,“Highgainestimationfornonlinearsystems,”Systems&ControlLetters,vol.18,pp.292–299,1992.

3K.Busawon,M.Farza,andH.Hammouri,“Observerdesignforaspecialclassofnonlinearsystems,”InternationalJournalofControl,vol.71,pp.405–418,1998.

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INPUTS.Int.J.Appl.Math.Comput.Sci.,2005,Vol.15,No.4,431–446.

10K.C.Veluvolu,Y.C.Soh,W.Cao,andZ.Y.Liu,“Observerwithmultipleslidingmodesforaclassofnonlinearuncertainsystems,”inProceedingsofthe24thAmericanControlConference,Portland,USA,June2005,pp.2445–2450.

11S.V.Drakunov,“Slidingmodeobserversbasedonequivalentcontrolmethod,”inProceedingsofthe31stIEEEConferenceonDecisionandControl,Tuscon,Arizona,1992,pp.2368–2369.

12KalyanaC.Veluvolu,DongikLee.Slidingmodehigh-gainobserversforaclassofuncertainnonlinearsystems.AppliedMathematicsLetters24(2011)329–334.

介紹了一類特殊的單輸出非線性系統的滑模觀測器,確保了未知輸入相對輸出的可觀測性。

s,yxu,xpxdx,txyCx;

01s,y0

x

0an1s,y00

可設計觀測器

?xx?u,xLyCx?px?urt,其中urtsignyCx?x

增益陣L可有下面的式子得出，

LSC

1

1

T

其中S是下面的Lyapunovequation的唯一解，是一個正的設計參數(andθisapositiveparameterwhichcanbechosentoovercomesystemconstantsandbounds)

SASSACC0

1

0

a1a2

a1an

1

T

T

其中A是斜對角單位矩陣。CCACA

n1T

a1

Si,j

l1n

j1

1ijCi

j2

ij1

,1i,jn,Cn

r

n!

nr!r!

;s,y

A

1

s,y

1,n為系統矩陣的階數

01ais,y2,2e2maxd

a=factorial(n)=n!;或者gamma（n+1）;或者a=’(n+1)!’,

[13]JeffreyH.Ahrens,HassanK.Khalil.High-gainobserversinthepresenceofmeasurementnoise:Aswitched-gainapproach.Automatica45(2009)936-943.

[14]KalyanaC.Veluvolu,YengChaiSoh,High-GainObserversWithSlidingModeforStateandUnknownInputEstimations.IEEETransactionsOnIndustrialElectronics,Vol.56,No.9,September2009.

[15]KalyanaC.Veluvolu,SohYengChai.HighGainObserverswithMultipleSlidingModeForStateandUnknownInputEstimations.20094thIEEEConferenceonIndustrialElectronicsandApplications,ICIEA2009,1179-1186.

TheunknowninputsareassumedtobeboundedandnotnecessarilyLipschitz,anddonotrequireanymatchingcondition.Anewnonlineartransformationisproposedandtheobserverdesignandanalysisareperformedinthetransformeddomain.Byimposingastructural

assumptionontheunknowninputdistributionmatrix,theobservabilityoftheunknowninputsw.r.t.theoutputsissafeguarded.Inthemultipleslidingmode,thedisturbances/unknowninputsundertheequivalentcontrolsbecomestheincrementsoftheLipschitzianfunctions,andtheconvergenceoftheestimationerrordynamicscanbeprovensimilartotheanalysisofahigh-gainobserver.Also,theunknowninputscanbereconstructedfromthemultipleslidingmodesstructurally.Theobserverintheoriginalspaceisreadilyobtainedbymeansofinversetransformation.Finally,simulationresultsaregiventodemonstratethe

effectivenessoftheproposedmethod.

假設未知輸入有界但是不滿足Lipschitz（李普希茨）連續性條件，而且觀測器設計不需要滿足匹配條件。一種新的非線性線性化變換方法

文獻1,2針對單輸出規范型可觀測系統提出了高增益觀測器的設計方法，文獻3針對一類特殊的不滿足可線性化條件的非線性系統提出了常值增益觀測器。由于高增益觀測器具有能夠估計未知狀態和對輸入干擾衰減的的能力，文獻4中Khalil和他的合作者進一步將高增益觀測器和滑模控制用來設計反饋控制器，并且證明在存在建模誤差和系統不確定性的情況下控制器的穩定性。

而另一方面滑?？刂茖ν饨绺蓴_和系統參數不確定性具有較強的魯棒性，最近幾年在得到了廣泛的關注。基于相似的原理滑模觀測器在由于具有較強的魯棒性和穩定性，在狀態估計方面也有著廣泛的應用，文獻5,6,通過滑模面和等效控制的方法設計出了具有較強魯棒性的滑模觀測器。文獻7對文獻5,6的方法進行了擴展，對一類滿足Lipschitz條件的非線性系統設計滑模觀測器。WalcottandZak[8,9]考慮了存在不確定性和干擾的情況下系統的可觀測性，在滿足匹配性條件下用基于李亞普諾夫規則的方法構造一類線性系統的滑模觀測器,文獻11S.V.Drakunov通過對滑模觀測器引入等效控制，但這種方法需要滿足比如未知輸入能夠在線性變換后的坐標下解耦或者分立出來這樣的結構條件，這些方法選擇系統狀態輸出和狀態估計的誤差以及誤差的高階導數作為滑模面。

Azazzupzdz,tz

yCz

針對變換后的系統，如果要使e10，則應當滿足

la1l1umax

nl1n,1.

[16]Floquet,T.Barbot,J.P.Supertwistingalgorithm-basedstep-by-stepslidingmodeobserversfornonlinearsystemswithunknowninputs.2005,38(10),803-815.[17]LeonidFridman1,YuriShtessel,ChristopherEdwardsandXing-GangYan3.Higher-ordersliding-modeobserverforstateestimationandinputreconstructioninnonlinearsystems.Int.J.RobustNonlinearControl(inpress),2007.

[17]J.Davila,L.Fridman,andA.Levant,“Second-ordersliding-modeobserverformechanicalsystems,”IEEETrans.Autom.Control,vol.50,no.11,pp.1785–1789,Nov.2005.

1x2x

2ft,x1,x2,ut,x1,x2,ux

其中t,x1,x2,u為系統的不確定部分和干擾項等。

則構造觀測器如下

?1x?2z1x

?2ft,x1,x?2,uz2x

?1和x?2為估計狀態，z1和z2是修正項，其表達式為其中：x

1/2?1?1signx1xz1x1x

?1z2asignx1x

?20,x?1x1,定義e1x1x?1,e2x2x?2,得到估計誤差方程假設觀測器初始值是x

1/2

1e2e1signe1e

2Ft,x1,x2,x?2asigne1e

?2ft,x1,x2,uft,x1,x?2,ut,x1,x2,u，這里Ft,x1,x2,x

假設系統是BIBS(有界輸入有界狀態)穩定，即輸入uUt,x1,x2是有界的，則系統是有界的。那么存在常數使得

?2Ft,x1,x2,x

?22supx2都是成立的。對于任何t,x1,x2和x

令a和分別滿足不等式:

a

2a

a1p

,0

1p

p1

引理1假設觀測器中的參數按照上述規則選取和，那么觀測器狀態能夠在有限的時間?1,x?2x1,x2內收斂到系統狀態，即x

在觀測器中需要選取的參數主要是和，通常由下面兩個等式定義這兩個參

數：1,21/2，其中11.1,21.5是已經確定的數。

[18]K.C.Veluvolu,Y.C.SohandW.Cao,Robustobserverwithslidingmodeestimationfornonlinearuncertainsystems.IETControlTheoryandApplications,2007,1(5)1533-1540.對于如下非線性系統

fxb(x)u~pxdx,tx

yhx

如果滿足精確線性化條件，精確線性化：考慮一個具有關系度r=n的非線性系統，相關度定義如下:

(1)LgLfh(x)0,則對于x0的一個領域內的所有x，以及k<r-1

(2)LgLfh(x)0,則稱在x0處具有關系度r。

即這個系統的關系度在某個點x=x0恰好等于狀態空間的維數。在這種情況下，要求構造標準形的坐標變換由下式給出：

1xhx

Lh(x)2xfΦxfxnLn1h(x)，r1k

經過線性化后得到如下系統

Azazzupzdz,tz

yCz

假設1:

其中：

0In1(n1)TTnA,C10,...,0,az0,0,...,0,Lhx,z1z,..,nzf01n

izLbL