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文檔簡介

線性方程組理論是數學中一個重要的基礎理論，是線性代數研究的重點。科學技術和經濟管理中的許多問題，經常可以歸結為求解一個線性方程組。本章主要討論線性方程組的求解方法、線性方程組有解的充要條件、向量間的線性關系和性質、線性方程組的性質和解的結構。第二章線性方程組第二章線性方程組第一節線性方程組一、線性方程組的概念二、克拉默法則三、高斯消元法四、線性方程組有解的判定定理§1線性方程組一、線性方程組的概念運費的總費用為例二元線性方程組解的討論.有實數解的充要條件是：兩條直線均過平面上的點.解平面上兩條直線間有三種情況：相交、平行和重合，因此二元線性方程組的解也有三種形式：唯一解、無解和無窮多解，或者說方程組的解集中分別含有一個、零個和無窮多個元素.例線性方程組的圖像與解x1x2x1x2x1x2唯一解無解無窮多解方程組圖像解線性方程組的概念一般表達式矩陣表達式非齊次線性方程組齊次線性方程組系數矩陣未知量矩陣常數項矩陣

線性方程組的系數和常數項構成的矩陣稱為線性方程組的增廣矩陣.二、克拉默(Cramer)法則對于二元線性方程組當系數行列式時，二元線性方程組有唯一解.上式給出了二元線性方程組的求解公式．取1750年，瑞士數學家克拉默在其著作《線性代數分析導引》中，給出了行列式的定義和展開法則，以及著名的克拉默法則。例解線性方程組

解1

用克拉默法則，線性方程組的系數行列式為因此線性方程組有唯一解，又所以線性方程組的解為解2

用矩陣的初等變換求解，由于方程組的解為

如果將克拉默法則運用的n元齊次線性方程組上,則有下面定理.例已知齊次線性方程組有非零解

說明：克拉默法則給出了線性方程組的解與系數的關系，具有一定的理論意義，但它僅適用于行列式不為零的n元線性方程組，且計算量大，對于一般的線性方程組的求解主要采用下述高斯消元法.三、高斯(Gauss)消元法例求解線性方程組

消元過程第二個方程減去第一個方程的2倍第三個方程減去第一個方程第二個方程與第三個方程互換第三個方程減去第二個方程的4倍解①②③線性方程組的解為回代過程將第三個方程兩邊乘以第一個方程減去第三個方程的3倍第二個方程加上第三個方程第一個方程加上第二個方程第一個方程兩邊乘以④⑤⑥⑦線性方程組同解變換增廣矩陣的初等變換初等變換

對線性方程組所作的同解變換過程，相當于對其增廣矩陣作對應的初等行變換過程.由分塊矩陣的乘法，得

高斯是德國數學家，也是科學家，他和牛頓、阿基米德，被譽為有史以來的三大數學家。高斯是近代數學奠基者之一，在歷史上影響之大，可以和阿基米德、牛頓、歐拉并列，有“數學王子”之稱。例解線性方程組例解線性方程組即例解線性方程組行階梯形矩陣對應的方程組為即對行階梯形矩陣繼續實施初等行變換從而有四、線性方程組有解的判定定理行階梯形矩陣對應的方程組原方程組同解，即有解，有解時求出其解.解將增廣矩陣化為行階梯形矩陣，有得原方程組的同解方程組即有非零解

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