系統運動的穩定性分析1第1頁，共46頁，2023年，2月20日，星期六穩定性判別方法線性定常系統的穩定性：代數判據（勞斯判據、赫爾維茨判據）；奈奎斯特判據；對數穩定判據等。非線性定常系統的穩定性：描述函數法(要求系統的線性部分具有良好的低通濾波性能)；相平面法(僅適合于一階、二階非線性系統)。現代控制理論中：各類系統（包括單變量、多變量、線性、非線性、定常、時變系統）的穩定性：李雅普諾夫穩定性理論。經典控制理論中：2第2頁，共46頁，2023年，2月20日，星期六李雅普諾夫穩定性理論李雅普諾夫穩定性理論提出了判斷系統穩定性的兩種方法：1、間接法：利用線性系統微分方程的解來判定系統的穩定性，又稱李雅普諾夫第一法；2、直接法：構造李雅普諾夫函數并根據其性質來直接判定系統的穩定性，又稱李雅普諾夫第二法。它特別適用于那些難以求解的非線性系統和時變系統。3第3頁，共46頁，2023年，2月20日，星期六4.1李雅普諾夫穩定性定義4.2李雅普諾夫第一法4.3李雅普諾夫第二法4.4線性系統穩定性分析4第4頁，共46頁，2023年，2月20日，星期六4.1李雅普諾夫穩定性定義

一.BIBO穩定性的概念李雅普諾夫穩定性的物理意義就是系統響應是否有界。對于一個初始條件為零的系統，如果在有界輸入u(t)作用下，系統的輸出y(t)是有界的，則此系統稱為外部穩定，即有界輸入-有界輸出穩定(BIBO–BoundaryInputBoundaryOutput穩定)。5第5頁，共46頁，2023年，2月20日，星期六狀態，記為xe。平衡狀態滿足。對于線性定常系統，其平衡狀態xe應滿足代數方程。二、平衡狀態李雅普諾夫穩定性均是相對于平衡狀態而言。1、平衡狀態的定義設系統狀態方程為：若對所有t，狀態x滿足態在狀態空間中所確定的點，稱為平衡點。，則稱該狀態x為平衡由平衡狀2、平衡狀態的求法當A為非奇異矩陣時，系統存在惟一的一個平衡狀態xe=0。而當A為奇異矩陣時，則系統將有無限多個平衡狀態。6第6頁，共46頁，2023年，2月20日，星期六非線性系統方程的解可能有多個。該系統存在三個平衡狀態：由于任意一個已知的平衡狀態，總可以經過適當的坐標變換將其移到狀態空間的坐標原點xe=0處，故為討論方便又不失一般性，我們今后只討論在坐標原點處的平衡狀態的穩定性分析。7第7頁，共46頁，2023年，2月20日，星期六在n維狀態空間中，向量x的長度稱為向量x的(歐幾里德)范數，用表示，則長度稱為向量x與xe的距離，寫為：三．范數的概念范數的定義向量的距離8第8頁，共46頁，2023年，2月20日，星期六若能使系統從任意初態x0出發的解在t>t0的過程中，都位于以xe為球心、任意規定的實數ε為半徑的閉球域S(ε)內，即四、李雅普諾夫穩定性定義1、李雅普諾夫意義下的穩定性定義：對于系統，設初始狀態位于以平衡狀態xe為球心、δ為半徑的閉球域S(δ)內，即則稱系統的平衡狀態xe在李雅普諾夫意義下是穩定的。9第9頁，共46頁，2023年，2月20日，星期六幾何意義按李雅普諾夫意義下的穩定性定義，當系統作不衰減的振蕩運動，將在平面描繪出一條封閉曲線，但只要不超出S(ε)，則認為是穩定的，這與經典控制理論中線性定常系統的穩定性定義有差異。10第10頁，共46頁，2023年，2月20日，星期六2、漸近穩定性則稱平衡狀態xe是李雅普諾夫意義下漸近穩定的。這時，從S(δ)出發的狀態軌線不僅不會超出S(ε)，且當t→∞時最終收斂于xe，可見經典控制理論中的穩定性定義與漸近穩定性對應。定義：如果系統的平衡狀態xe不僅有李雅普諾夫意義下的穩定性，且對于任意小量μ>0，總有11第11頁，共46頁，2023年，2月20日，星期六幾何意義12第12頁，共46頁，2023年，2月20日，星期六定義：當初始狀態擴展到整個狀態空間，且平衡狀態xe均具有漸近穩定性，稱這種平衡狀態xe是大范圍漸近穩定的。此時，δ→∞，S(δ)→∞。當t→∞時，由狀態空間中任意一點出發的軌跡都收斂于xe。3、大范圍漸近穩定性對于線性系統來說，如果平衡狀態是漸近穩定的，則必然也是大范圍漸近穩定的。對于非線性系統，使xe為漸近穩定平衡狀態的球域S(δ)一般是不大的，常稱這種平衡狀態為小范圍漸近穩定。13第13頁，共46頁，2023年，2月20日，星期六大范圍穩定局部穩定幾何意義14第14頁，共46頁，2023年，2月20日，星期六定義：如果對于某個實數ε>0和任一實數δ>0，不管這兩個實數多么小，在S(δ)內總存在一個狀態x0，使得由這一狀態出發的軌跡超出S(ε)，則稱平衡狀態xe是不穩定的。4、不穩定性幾何意義15第15頁，共46頁，2023年，2月20日，星期六對于不穩定平衡狀態的軌跡，雖然超出了S(ε)，但并不意味著軌跡趨于無窮遠處。例如以下物理系統比喻不穩定，軌跡趨于S(ε)以外的平衡點。當然，對于線性系統，從不穩定平衡狀態出發的軌跡，理論上趨于無窮遠。16第16頁，共46頁，2023年，2月20日，星期六如果有界，則稱xe穩定；如果不僅有界，而且當t→∞時收斂于原點，則稱xe漸近穩定；如果無界，則稱xe不穩定；17第17頁，共46頁，2023年，2月20日，星期六4.2李雅普諾夫第一法

一．線性定常系統穩定性判定（1）平衡狀態xe是漸進穩定的充分必要條件是矩陣A的所有特征值均具有負實部；（2）平衡狀態xe是不穩定的充分必要條件是矩陣A存在特征值具有正實部；（3）當系統用傳遞函數描述時，系統BIBO穩定的充分必要條件為G(s)的極點具有負實部。定理線性定常系統18第18頁，共46頁，2023年，2月20日，星期六例設系統的狀態空間表達式為：試分析系統平衡狀態xe=0的穩定性與系統的BIBO穩定性。解：系統的特征方程為A陣的特征值為+1，-1。故系統平衡狀態xe是不穩定的。系統傳遞函數傳遞函數極點位于s左半平面，故系統是BIBO穩定的。19第19頁，共46頁，2023年，2月20日，星期六BIBO穩定漸近穩定結論：1.線性定常系統是內部穩定的，則其必是BIBO穩定的；2.線性定常系統是BIBO穩定的，則不能保證系統一定是漸近穩定的；3.如果線性定常系統既能控又能觀測，則其內部穩定性與外部穩定性是等價。BIBO穩定漸近穩定20第20頁，共46頁，2023年，2月20日，星期六二．非線性系統的穩定性判定對于非線性系統，設xe為其平衡點。對于可以線性化的非線性系統，可以在一定條件下用它的線性化模型來研究。系統在平衡狀態xe附近的穩定性，可將非線性向量函數在xe附近做泰勒級數展開，得21第21頁，共46頁，2023年，2月20日，星期六(1)A的所有特征值均具有負實部，則平衡狀態xe是漸近穩定的；(2)A的特征值至少有一個具有正實部，則平衡狀態xe是不穩定的。(3)A的特征值至少有一個實部為0，則不能根據A來判平衡狀態xe的穩定性。李雅普諾夫給出以下結論：22第22頁，共46頁，2023年，2月20日，星期六例4.2已知非線性系統的狀態空間表達式，試分析系統平衡狀態的穩定性。解：系統有2個平衡狀態：xe1=[0,0]和xe2=[1,1]在xe1=[0,0]處線性化，A1陣的特征值為+1，-1。故系統在xe1處是不穩定的。在xe2=[1,1]處線性化，A2陣的特征值為+j、-j，其實部為0,不能根據A來判斷系統的穩定性。23第23頁，共46頁，2023年，2月20日，星期六李雅普諾夫第二法是通過構造李雅普諾夫函數V(x)來直接判斷運動穩定性的一種定性方法。根據經典力學中的振動現象，若系統能量隨時間推移而衰減，系統遲早會達到平衡狀態。李雅普諾夫提出，虛構一個能量函數，稱為李雅普諾夫函數，記為V(x,t)或V(x)。李雅普諾夫第二法利用V(x)和的符號特征，直接對平衡狀態穩定性作出判斷，無需求解系統狀態方程的解，故稱直接法。4.3李雅普諾夫第二法24第24頁，共46頁，2023年，2月20日，星期六直接法解決了一些其它穩定性判據難以解決的非線性系統的穩定性問題，但遺憾的是對一般非線性系統仍未找到構造李雅普諾夫函數V(x)的通用方法。盡管如此目前它仍然是研究系統(包括時變、非線性)穩定性的有力工具。對于線性系統，通常用二次型函數V(x)=xTPx作為李雅普諾夫函數。25第25頁，共46頁，2023年，2月20日，星期六1、二次型函數的定義及其表達式①定義：設為n個變量，二次型標量函數為其中，，則稱P為實對稱陣。一．預備知識26第26頁，共46頁，2023年，2月20日，星期六例如：顯然，二次型V(x)完全由矩陣P確定。因此二次型和它的矩陣是相互唯一決定的。②二次型的標準型只含有平方項的二次型。27第27頁，共46頁，2023年，2月20日，星期六2、標量函數V(x)的符號和性質設：，且V(0)=0。對于任何非零向量x①V(x)>0，稱V(x)為正定的。例如：②V(x)<0，稱V(x)為負定的。例如：③V(x)≥0，稱V(x)為半正定的。例如：④V(x)≤0，稱V(x)為半負定的。例如：⑤V(x)>0或V(x)<0，稱V(x)為不定的。例如：28第28頁，共46頁，2023年，2月20日，星期六設實對稱矩陣二次型函數V(x)=xTPx為正定的充要條件是，P陣的所有各階主子行列式均大于零，即：即:3、賽爾維斯特(Sylvester)準則29第29頁，共46頁，2023年，2月20日，星期六③、如果當，有。二、李雅普諾夫第二法的判穩定理1、系統漸近穩定的判別定理1定理1設系統狀態方程為:，其狀態平衡點xe=0，滿足。如果存在一個具有連續偏導數的標量函數V(x,t)，且滿足以下條件①、V(x,t)是正定的；②、是負定的；則系統在原點處的平衡狀態是漸近穩定的。則系統在原點處的平衡狀態是大范圍漸近穩定的。30第30頁，共46頁，2023年，2月20日，星期六而且，當時，有，所以系統在原點處的平衡狀態是大范圍漸近穩定的。解：平衡狀態例4.5非線性系統的狀態方程為試分析其平衡狀態的穩定性。是負定的，因此V(x)是一個李雅普諾夫函數。xe=0(即x1=0，x2=0)選取正定標量函數則31第31頁，共46頁，2023年，2月20日，星期六③、在時不恒等于零，則在系統原點處的平衡狀態是漸近穩定的。定理2設系統狀態方程為:，其狀態平衡點xe=0，滿足。如果存在一個具有連續偏導數的標量函數V(x,t)，且滿足以下條件①、V(x,t)是正定的；②、是負半定的；2、系統漸近穩定的判別定理2而且，當時，有，則系統在原點處的平衡狀態是大范圍漸近穩定的。32第32頁，共46頁，2023年，2月20日，星期六定理的運動分析：以二維空間為例33第33頁，共46頁，2023年，2月20日，星期六例4.6非線性系統的狀態方程為試分析其平衡狀態的穩定性。解：平衡狀態xe=0(即x1=0，x2=0)③進一步分析的定號性：如果假設，必然要求，進一步要求。但從狀態方程可知，必滿足表明只可能在原點處恒等于零。漸近穩定。①選取正定標量函數則或時，，負半定。而且，當時，有，所以系統在原點處的平衡狀態是大范圍漸近穩定的。②當34第34頁，共46頁，2023年，2月20日，星期六若在該例中①選取正定標量函數為負定②則由以上分析看出，選取不同的V(x)，可能使問題分析采用不同的判別定理。而且，當時，有，所以系統在原點處的平衡狀態是大范圍漸近穩定的。35第35頁，共46頁，2023年，2月20日，星期六①、V(x,t)是正定的；②、是負半定的，且時，。則系統在原點處的平衡狀態是李雅普諾夫意義下穩定的，但不是漸近穩定的。這時系統可保持在一個穩定的等幅振蕩狀態上。3、系統李氏穩定的判別定理定理3設系統狀態方程為:，其狀態平衡點xe=0，滿足。如果存在一個具有連續偏導數的標量函數V(x,t)，且滿足以下條件36第36頁，共46頁，2023年，2月20日，星期六例4.7非線性系統的狀態方程為試分析其平衡狀態的穩定性。①選取正定標量函數為由上式可見，，則系統在原點處的平衡狀態是李雅普諾夫意義下穩定的，但不是漸近穩定的。解：平衡狀態xe=0(即x1=0，x2=0)②則37第37頁，共46頁，2023年，2月20日，星期六則系統在原點處的平衡狀態是不穩定的。4、系統不穩定的判別定理定理4設系統狀態方程為:，其狀態平衡點xe=0，滿足。如果存在一個具有連續偏導數的標量函數V(x,t)，且滿足以下條件①、V(x,t)是正定的；②、是正定的；38第38頁，共46頁，2023年，2月20日，星期六選取正定標量函數為，則例4.8非線性系統的狀態方程為試分析其平衡狀態的穩定性。系統不穩定。解：平衡狀態xe=0(即x1=0，x2=0)39第39頁，共46頁，2023年，2月20日，星期六四個定理的區別，主要集中在對于定號性判別上，可以簡述為以下過程：定理1：且()可知系統構造V函數充分條件穩定性漸近穩定不穩定李氏穩定漸近穩定定理2：定理3：定理4：40第40頁，共46頁，2023年，2月20日，星期六在定理的應用中，要注意以下幾點：(1)構造一個合理的李雅普諾夫函數，是李氏第二法的關鍵。李氏函數具有幾個突出性質：1)李雅普諾夫函數是一個標量函數。2)李雅普諾夫函數是一個正定函數，至少在原點的鄰域是如此。3)對于給定系統，李雅普諾夫函數不是唯一