6.4

圓周運動的臨界問題一、水平面內圓周運動的臨界問題（1）題型簡述：

在水平面內做圓周運動的物體,當轉速變化時,會出現繩子張緊（或恰好拉直）、繩子突然斷裂、靜摩擦力達最大值、彈簧彈力大小或方向發生變化等,從而出現臨界問題.（2）方法突破——步驟：①判斷臨界狀態：有些題目中有“剛好”“恰好”“正好”等字眼,明顯表明題述的過程存在著臨界點；若題目中有“取值范圍”“多長時間”“多大距離”等詞語,表明題述的過程存在著“起止點”,對應著臨界狀態；若題目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼,表明題述的過程存在著極值,這個極值點也往往對應著臨界狀態.（2）方法突破——步驟：②確定臨界條件：判斷題述的過程存在臨界狀態之后,要通過分析弄清臨界狀態出現的條件,并以數學形式表達出來.③選擇物理規律：當確定了物體運動的臨界狀態和臨界條件后,要分別對不同的運動過程或現象,選擇相對應的物理規律,然后列方程求解.（3）水平面內圓周運動臨界問題的分析技巧①在水平面內做圓周運動的物體,當角速度ω變化時,物體有遠離或向著圓心運動的趨勢（半徑有變化）.這時要根據物體的受力情況,判斷某個力是否存在以及這個力存在時方向朝哪（特別是一些接觸力,如靜摩擦力、繩的拉力等）.（3）水平面內圓周運動臨界問題的分析技巧②三種臨界情況：

接觸與脫離的臨界條件：兩物體相接觸或脫離,臨界條件是：彈力FN＝0.

相對滑動的臨界條件：兩物體相接觸且處于相對靜止時,常存在著靜摩擦力,則相對滑動的臨界條件是：靜摩擦力達到最大值.

繩子斷裂與松馳（或恰好拉直）的臨界條件：繩子所能承受的張力是有限度的,繩子斷與不斷的臨界條件是繩中張力等于它所能承受的最大張力,繩子松弛（或恰好拉直）的臨界條件是：FT＝0.（4）水平面內圓周運動的臨界極值問題通常有兩類：一類是與摩擦力有關的臨界問題；一類是與彈力有關的臨界問題.第一、與摩擦力有關的臨界極值問題物體間恰好不發生相對滑動

的臨界條件是物體間恰好達到最大靜摩擦力.①如果只是摩擦力提供向心力,則有Fm＝,靜摩擦力的方向一定指向圓心；v2rm如圖(a)所示：汽車轉彎時,只由摩擦力提供向心力(a)(b)(c)

圖(b)：繩兩端連物體,其中一個在水平面內做圓周運動時,存在一個恰不向內滑動的臨界條件和一個恰不向外滑動的臨界條件,分別為靜摩擦力達到最大且靜摩擦力的方向沿半徑背離圓心和沿半徑指向圓心． 圖(c)：兩個物體分處轉動中心兩側時,臨界條件為兩物體同時發生相對滑動,且摩擦力方向同向．②如果除摩擦力以外還有其他力,如繩兩端連物體第二、與彈力有關的臨界極值問題①壓力、支持力的臨界條件是物體間的彈力恰好為零；②繩上拉力的臨界條件是繩恰好拉直且其上無彈力或繩上拉力恰好為最大承受力等.【例1】如圖所示,用一根長為

l＝1m的細線,一端系一質量為m＝1kg的小球（可視為質點）,

另一端固定在一光滑錐體頂端,錐面與豎直方向的夾角θ＝37°,當小球在水平面內繞錐體的軸做勻速圓周運動的角速度為ω時,細線的張力為FT（sin37°＝0.6,cos37°＝0.8,g取10m/s2,結果可用根式表示）.求：（1）若要小球離開錐面,則小球的角速度ω0至少為多大？（2）若細線與豎直方向的夾角為60°,則小球的角速度ω′為多大？二、豎直面內圓周運動的臨界問題1、輕繩（或內軌道）——小球組成無支撐的物理模型（稱為“輕繩模型”）繩約束內軌道約束注：“輕繩”只能對小球產生拉力,不能產生支持力.（內軌道約束類似）mgO繩mgO軌道小球恰好過最高點的條件：當v=v0,小球恰好能夠通過最高點；當v<v0,小球偏離原運動軌跡,不能通過最高點；當v>v0,小球能夠通過最高點.最高點：小球在最低點時：繩對小球產生豎直向上的拉力（若是內軌道則產生豎直向上的支持力）vomgT1最低點：v2mgT2L故（超重）2、輕桿（或管道）——小球組成有支撐的物理模型（稱為“輕桿模型”）桿約束管道約束注：“輕桿”既能對小球產生拉力,也能產生支持力.（管道約束類似）物理情景圖示在最高點的臨界特點做圓周運動條件細繩拉著小球在豎直平面內運動T=0

在最高點時速度應不小于小球在豎直放置的光滑圓環內側運動FN=0

在最高點時速度應不小于小球固定在輕桿上在豎直面內運動V>0F向>0F向=FT+mg或F向=mg-Fn在最高點速度應大于0小球在豎直放置的光滑管中運動V>0F向>0F向=FT+mg或F向=mg-Fn在最高點速度應大于0

繩子系著裝有水的木桶,在豎直面內做圓周運動,水的質量m=0.5kg,繩子長度為L=60cm,求：（1）最高點水不留出的最小速度？（2）設水在最高點速度為v=3m/s,求水對桶底的壓力？（1）在最高點水不流出的最小速率為m/s．（2）水對桶底的壓力為2.5N．

如圖所示,一質量為m的小球,用長為L輕桿固定住,使