學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精西藏自治區(qū)拉薩市拉薩中學(xué)2019-2020學(xué)年高二第六次月考數(shù)學(xué)理科試卷含解析理科數(shù)學(xué)試卷(滿(mǎn)分：150分，考試時(shí)間：120分鐘。請(qǐng)將答案填寫(xiě)在答題卡上)一、單選題（每小題5分，共計(jì)60分）1.設(shè)全集,則等于（）A。 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意首先進(jìn)行補(bǔ)集運(yùn)算，然后進(jìn)行交集運(yùn)算即可【詳解】由題意可得:，結(jié)合交集的定義可得：故選C。【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的交并補(bǔ)混合運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題。2.設(shè)，則的虛部是（）A。3 B. C。 D。【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求得復(fù)數(shù)，即可得到其虛部。【詳解】，故復(fù)數(shù)的虛部是，故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，復(fù)數(shù)的概念，屬于容易題。3。拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)到雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)的距離是，則雙曲線(xiàn)的虛軸長(zhǎng)是（）A. B. C.3 D.6【答案】B【解析】拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)為,因此，，虛軸為，故選B．4.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》的論割圓術(shù)中有：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣。”它體現(xiàn)了一種無(wú)限與有限的轉(zhuǎn)化過(guò)程比如在表達(dá)式中“"即代表無(wú)限次重復(fù)，但原式卻是個(gè)定值，它可以通過(guò)方程求得，類(lèi)似上述過(guò)程，則()A。 B。 C. D。【答案】B【解析】【分析】由，類(lèi)比已知中的求法，可構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】可設(shè),則，解得：故選：【點(diǎn)睛】本題考查類(lèi)比推理的應(yīng)用問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠明確已知中的代換關(guān)系，將所求式子整理變形為可以整體換元的方式。5.甲、乙兩班在我校舉行的“不忘初心，牢記使命”合唱比賽中，7位評(píng)委的評(píng)分情況如莖葉圖所示，其中甲班成績(jī)的中位數(shù)是81，乙班成績(jī)的平均數(shù)是86,若正實(shí)數(shù)滿(mǎn)足：成等比數(shù)列，則的最小值為（）A. B。 C。 D.【答案】D【解析】【分析】由中位數(shù)、平均數(shù)可得x，y的值,再由成等比數(shù)列得到，最后利用基本不等式可得的最小值。【詳解】甲班成績(jī)的中位數(shù)是81，故,乙班成績(jī)的平均數(shù)是86，則，解得，又成等比數(shù)列，故，所以，,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立。故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查利用基本不等式求最值的問(wèn)題,涉及到莖葉圖、中位數(shù)、平均數(shù)等知識(shí)，是一道容易題。6.某地實(shí)行高考改革，考生除參加語(yǔ)文,數(shù)學(xué),外語(yǔ)統(tǒng)一考試外，還需從物理，化學(xué)，生物，政治,歷史，地理六科中選考三科，要求物理，化學(xué)，生物三科至少選一科,政治,歷史,地理三科至少選一科，則考生共有多少種選考方法A。 B. C. D.【答案】C【解析】利用間接法求解．從六科中選考三科的選法有，其中包括了沒(méi)選物理、化學(xué)、生物中任意一科與沒(méi)選政治、歷史、地理中任意一科，這兩種選法均有,因此考生共有多少種選考方法有種．7。在中,內(nèi)角、、所對(duì)的邊分別為、、，為的面積，，且、、成等差數(shù)列，則的大小為（）A. B. C。 D。【答案】A【解析】【分析】由等差中項(xiàng)的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理可求得，由余弦定理和三角形面積公式，可得，再由余弦定理求得，可求得角的大小．【詳解】在中，由，，又由,則有，變形可得:①、、成等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列中項(xiàng)公式可得:②根據(jù)三角形內(nèi)角和性質(zhì)可得：③由②③可得：，根據(jù)余弦定理可得:，即:變形可得:④聯(lián)立①④可得：，即，又由，則，即，故；故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查等差中項(xiàng)的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理、余弦定理和三角形面積公式，解題關(guān)鍵是掌握余弦定理,考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．8。已知二項(xiàng)式的展開(kāi)式中第2項(xiàng)與第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之比是2︰5，則的系數(shù)為（）A.14 B. C。240 D。【答案】C【解析】【分析】由二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為及展開(kāi)式中第2項(xiàng)與第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之比是2︰5可得：,令展開(kāi)式通項(xiàng)中的指數(shù)為，即可求得,問(wèn)題得解．【詳解】二項(xiàng)展開(kāi)式的第項(xiàng)的通項(xiàng)公式為由展開(kāi)式中第2項(xiàng)與第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之比是2︰5，可得：。解得：.所以令，解得：，所以系數(shù)為故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查了二項(xiàng)式定理及其展開(kāi)式，考查了方程思想及計(jì)算能力，還考查了分析能力，屬于中檔題．9。已知函數(shù)為增函數(shù)，則的取值范圍是（）A. B。 C. D.【答案】A【解析】【分析】函數(shù)為增函數(shù)，可得，化為,令,利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可得出。【詳解】∵函數(shù)為增函數(shù)，∴，化為，令，則，當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，，可得時(shí)，函數(shù)取得極大值即最大值，，∴。∴a的取值范圍是.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值、等價(jià)轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.10.據(jù)《孫子算經(jīng)》中記載，中國(guó)古代諸侯的等級(jí)從低到高分為：男、子、伯、侯、公，共五級(jí)，若給獲得巨大貢獻(xiàn)的7人進(jìn)行封爵，要求每個(gè)等級(jí)至少有一人,至多有兩人，則伯爵恰有兩人的概率為（）A。 B. C. D。【答案】B【解析】【分析】根據(jù)部分平均分組分配的方法可求得分法總數(shù)和伯爵恰有兩人的分法數(shù),根據(jù)古典概型概率公式可求得結(jié)果。【詳解】人進(jìn)行封爵,每個(gè)等級(jí)至少一人，至多兩人，則共有種分法；其中伯爵恰有兩人的分法有種分法，伯爵恰有兩人的概率。故選：.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)學(xué)史與古典概型概率問(wèn)題的求解，關(guān)鍵是能夠利用排列組合中不平均分組分配的方法確定分法總數(shù)和符合題意的分法數(shù)。11.已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)F是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且該拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，若是正三角形，則橢圓的離心率為(）A。 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意畫(huà)出幾何圖形，由橢圓和拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可知AB與軸交于橢圓的另一焦點(diǎn)，則.根據(jù)正三角形性質(zhì)可得結(jié)合橢圓定義,可由勾股定理求得橢圓的離心率。【詳解】由題意可知，畫(huà)出幾何圖形如下圖所示:由橢圓與拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可知，AB與軸交于橢圓的另一焦點(diǎn)，則.由橢圓定義可知，且為正三角形所以則由正三角形性質(zhì)可知為直角三角形所以即，化簡(jiǎn)可得所以故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線(xiàn)與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)的綜合應(yīng)用,橢圓離心率的求法,屬于中檔題。12.已知是曲線(xiàn):上任意一點(diǎn)，點(diǎn)是曲線(xiàn)：上任意一點(diǎn),則的最小值是()A. B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】易知在點(diǎn)處切線(xiàn)方程為，且恒成立，在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，且恒成立，由等于平行線(xiàn)與間的距離，從知。【詳解】曲線(xiàn)：,求導(dǎo)得，易知在點(diǎn)處切線(xiàn)方程為.下面證明恒成立.構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo)得，則時(shí)，,單調(diào)遞減；時(shí),，單調(diào)遞增.故函數(shù),即恒成立.又：，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，,且過(guò)點(diǎn)，故在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為.下面證明在上恒成立。令,則,當(dāng)時(shí),，單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),，單調(diào)遞增，所以，即，則，即在上恒成立.因?yàn)椋移叫芯€(xiàn)與之間的距離為，所以的最小值為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查曲線(xiàn)的切線(xiàn)的應(yīng)用，考查平行線(xiàn)間距離的計(jì)算，考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用,考查學(xué)生的計(jì)算求解能力與推理論證能力,屬于難題.第II卷（非選擇題)二、填空題（每小題5分，共計(jì)20分）13.等差數(shù)列中，，則_______。【答案】104【解析】【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得的值,由等差數(shù)列的求和公式和等差數(shù)列的性質(zhì)可得，代入計(jì)算即可求出。【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列中,，所以由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，解得,所以，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式,等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題。14.________。【答案】【解析】【分析】由定積分的幾何意義和定積分基本定理，即可求解.【詳解】由題意得，表示，與軸圍成的區(qū)域的面積,表示一個(gè)半徑為1的個(gè)圓，其面積為，又，所以。故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查定積分的計(jì)算，注意定積分幾何意義的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.15。若直線(xiàn)是曲線(xiàn)的一條切線(xiàn),則實(shí)數(shù)．【答案】【解析】【詳解】試題分析:設(shè)切點(diǎn)為,因，故切線(xiàn)的斜率,則,即.所以切點(diǎn)代入可得，故應(yīng)填答案。考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義及運(yùn)用．【易錯(cuò)點(diǎn)晴】本題以直線(xiàn)是曲線(xiàn)的一條切線(xiàn)為背景,考查的是導(dǎo)函數(shù)幾何意義及導(dǎo)數(shù)語(yǔ)切線(xiàn)方程之間的關(guān)系的應(yīng)用問(wèn)題。解答本題的關(guān)鍵是搞清導(dǎo)函數(shù)值是函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)函數(shù)的值就是切線(xiàn)的斜率，求解時(shí)先將切點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)出來(lái)，然后再借助這些條件建立方程求出切點(diǎn)坐標(biāo)為.再將其代入求出，從而使得問(wèn)題最終獲解.16。如圖，已知正方體棱長(zhǎng)為4，點(diǎn)在棱上，且,在側(cè)面內(nèi)作邊長(zhǎng)為1的正方形是側(cè)面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)到平面距離等于線(xiàn)段的長(zhǎng)，則當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，的范圍是_______.【答案】【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系,根據(jù)在內(nèi)可設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo),作,連接,可得，作，根據(jù)空間中兩點(diǎn)間距離公式,再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求得的范圍。【詳解】根據(jù)題意,以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：作交于M,連接，則作交于N,則即為點(diǎn)P到平面距離.設(shè),則∵點(diǎn)到平面距離等于線(xiàn)段的長(zhǎng)∴由兩點(diǎn)間距離公式可得，化簡(jiǎn)得則解不等式可得綜上可得則在中所以故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了空間直角坐標(biāo)系的綜合應(yīng)用，利用空間兩點(diǎn)間距離公式及二次函數(shù)求最值，屬于難題。三、解答題（其中17題10分,其余大題各12分，共計(jì)70分。解答題應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.)17.已知，，分別為內(nèi)角，，的對(duì)邊，.(1）求；（2）若，的面積為,求的周長(zhǎng).【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理把邊轉(zhuǎn)化為角，再由兩角和的正弦可求出角;(2)利用三角形面積公式可得到，再由余弦定理可求出的周長(zhǎng)；【詳解】（1)由正弦定理知，∴,∴，。（或用余弦定理將換掉求解）（2)由(1)及已知可得，解得,由余弦定理知，∴，∴的周長(zhǎng)為。【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理、余弦定理以及面積公式，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，屬于較易題。18.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，是與的等差中項(xiàng)．（1）求與；（2)若數(shù)列滿(mǎn)足,求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）．．（2）【解析】【分析】（1)設(shè)等比數(shù)列的公比為,由，是與的等差中項(xiàng)．可得，，即,聯(lián)立解得,,再利用通項(xiàng)公式與求和公式即可得出，．（2)，利用裂項(xiàng)求和方法即可得出數(shù)列的前項(xiàng)和．【詳解】解：(1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，∵,是與的等差中項(xiàng)．∴，,即，聯(lián)立解得，，∴．．（2），∴數(shù)列的前項(xiàng)和．【點(diǎn)睛】本題考查等差、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用以及裂項(xiàng)相消法求和，難度一般.常見(jiàn)的幾種可裂項(xiàng)相消的數(shù)列形式：，，,.19.已知函數(shù)。（1）求函數(shù)在區(qū)間上的最大、最小值；。（2）求證:在區(qū)間上，函數(shù)的圖象在函數(shù)的圖象的下方。【答案】(1），（2)證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可確定函數(shù)為增函數(shù)，即可求解（2）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明在區(qū)間上為減函數(shù)，故最大值即可證明.【詳解】(1）由有，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上增函數(shù)，，,（2）設(shè)，則，當(dāng)時(shí),，且故時(shí),,得證。【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)最值，屬于中檔題.20。在平行四邊形中，，，，是EA的中點(diǎn)(如圖1），將沿CD折起到圖2中的位置，得到四棱錐是．（1)求證：平面PDA；（2）若PD與平面ABCD所成的角為．且為銳角三角形，求平面PAD和平面PBC所成銳二面角的余弦值．【答案】（1)證明見(jiàn)解析；（2）【解析】【分析】（1）證明,，即可證明線(xiàn)面垂直；（2）由線(xiàn)面角求得，以中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，由向量法求得二面角的余弦值。【詳解】（1）將沿CD折起過(guò)程中,平面PDA成立．證明如下：是EA的中點(diǎn)，,，在中，由余弦定理得，，，，為等腰直角三角形且，,，，平面PDA．（2)由(1）知平面PDA，平面ABCD，平面平面ABCD，為銳角三角形，在平面ABCD內(nèi)的射影必在棱AD上，記為O,連接PO，平面ABCD,則是PD與平面ABCD所成的角,，，為等邊三角形，O為AD的中點(diǎn),故以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),過(guò)點(diǎn)O且與CD平行的直線(xiàn)為x軸，DA所在直線(xiàn)為y軸，OP所在直線(xiàn)為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)x軸與BC交于點(diǎn)M，，易知,則，，，，,,,平面PDA,可取平面PDA的一個(gè)法向量,設(shè)平面PBC的法向量，則,即,令,則為平面PBC的一個(gè)法向量，設(shè)平面PAD和平面PBC所成的角為,由圖易知為銳角，．平面PAD和平面PBC所成角的余弦值為．【點(diǎn)睛】本題考查線(xiàn)面垂直的證明，以及由線(xiàn)面角求線(xiàn)段長(zhǎng)，以及利用向量法求二面角，屬綜合中檔題。21。已知點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作拋物線(xiàn)的切線(xiàn),切點(diǎn)在第二象限．求切點(diǎn)的縱坐標(biāo)；有一離心率為的橢圓恰好經(jīng)過(guò)切點(diǎn)，設(shè)切線(xiàn)與橢圓的另一交點(diǎn)為點(diǎn),記切線(xiàn)的斜率分別為，,,若，求橢圓的方程．【答案】(1）(2）【解析】【分析】設(shè)切點(diǎn)則有，利用導(dǎo)數(shù)求出切線(xiàn)斜率，可得求出切線(xiàn)方程,將代入切線(xiàn)方程即可得結(jié)果;由得，切線(xiàn)斜率,設(shè)切線(xiàn)方程為，利用離心率為可得,切線(xiàn)與橢圓方程聯(lián)立，由，利用韋達(dá)定理及斜率公式可得，從而可求得結(jié)論．【詳解】設(shè)切點(diǎn)則有，由切線(xiàn)的斜率為,得的方程為，又點(diǎn)在上所以，即，所以點(diǎn)A的縱坐標(biāo)．由得,切線(xiàn)斜率，設(shè)，切線(xiàn)方程,由得又,所以．所以橢圓方程為且過(guò)，所以．由得，所以，又因?yàn)椋矗獾茫裕詸E圓方程為.【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線(xiàn)的切線(xiàn)方程以及求橢圓方程，屬于難題.用待定系數(shù)法求橢圓方程的一般步驟；①作判斷：根據(jù)條件判斷橢圓的焦點(diǎn)在軸上，還是在軸上，還是兩個(gè)坐標(biāo)軸都有可能；②設(shè)方程：根據(jù)上述判斷設(shè)方程或；③找關(guān)系：根據(jù)已知條件,建立關(guān)于、、的方程組;④得方程：解方程組，將解代入所設(shè)方程，即為所求.22。已知函數(shù)且.(1）求a；(2）證明：存在唯一的極大值點(diǎn)，且。【答案】（1）a=1；(2)見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）通過(guò)分析可知f(x）≥0等價(jià)于h（x）＝ax﹣a﹣lnx≥0,進(jìn)而利用h′（x）＝a可得h（x）min＝h（），從而可得結(jié)論；（2)通過(guò)（1）可知f（x)＝x2﹣x﹣xlnx,記t（x)＝f′(x)＝2x﹣2﹣lnx，解不等式可知t(x）min＝t(）＝ln2﹣1＜0,從而可知f′(x）＝0存在兩根x0，x2,利用f（x）必存在唯一極大值點(diǎn)x0及x0可知f（x0),另一方面可知f（x0）＞f（）．【詳解】（1）解：因?yàn)閒(x）＝ax2﹣ax﹣xlnx＝x（ax﹣a﹣lnx）（x＞0）,則f(x）≥0等價(jià)于h（x）＝ax﹣a﹣lnx≥0，求導(dǎo)可知h′（x）＝a．則當(dāng)a≤0時(shí)h′(x）＜0，即y＝h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，所以當(dāng)x0＞1時(shí)，h（x0）＜h(1）＝0,矛盾，故a＞0．因?yàn)楫?dāng)0＜x時(shí)h′（