高等數(shù)學(xué)定積分的物理應(yīng)用新第1頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期二5.9定積分的物理應(yīng)用二.液體壓力一.變力沿直線做功習(xí)例1三.萬(wàn)有引力四、函數(shù)的平均值與均方根習(xí)例2習(xí)例定積分的物理應(yīng)用習(xí)例第2頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期二一、變力沿直線所作的功變力作功包括有：電場(chǎng)力作功、氣體壓力作功、克服阻力作功、萬(wàn)有引力作功、彈力作功等.第3頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期二解題思路：(1)適當(dāng)選取坐標(biāo)系及積分變量；(2)寫(xiě)出功元素dw的表達(dá)式；(以不變代變，其中用了公式(3)列出定積分并求值即得w.一、變力沿直線所作的功第4頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

由于力的大小隨物體所在的位置變化而變化，因此它是一個(gè)的函數(shù)，記為，并且假定在上連續(xù)。求變力在上所作的功？

設(shè)物體在軸上運(yùn)動(dòng)，且在從移動(dòng)到的過(guò)程中，一直受到跟軸的正方向一致的變力的作用，如圖所示

考慮用定積分的元素法。

選為積分變量，則第5頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期二(2)在上任取一小區(qū)間,當(dāng)物體從移動(dòng)到時(shí)，由于位移很小，變力近似于恒力，則在此小區(qū)間上變力所做功的元素為(3)變力在上所作的功為：

在彈性限度內(nèi)，彈簧拉伸（或壓縮）的長(zhǎng)度與外力成正比，已知彈簧拉長(zhǎng)0.02（m），需用9.8（N）的力，求把彈簧拉長(zhǎng)0.1（m）所做的功。例1第6頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

設(shè)拉力為，彈簧的伸長(zhǎng)量為則（為比例系數(shù)），從而有

在上任取一小區(qū)間，則在此小區(qū)間上變力所做功的元素為解

即變力函數(shù)為：

如圖建立坐標(biāo)系，取為積分變量于是，拉力所做的功為

第7頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

則在此小區(qū)間上變力所做功的元素為解建立坐標(biāo)系如圖。例2

在上任取一小區(qū)間第8頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期二問(wèn)題：物體在變力F(x)的作用下，從x軸上a點(diǎn)移動(dòng)到b點(diǎn)，求變力所做的功。用積分元素法1）在[a,b]上考慮小區(qū)間[x,x+x]，在此小區(qū)間上wdw=F(x)dx2）將dw從a到b求定積分，就得到所求的功

總結(jié)：變力沿直線所作的功第9頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期二習(xí)例1例3(1)半球形貯水池，貯滿水，從池中把水抽出，問(wèn)作多少功？

(2)若半球形貯水池平底在下，問(wèn)作多少功？例4

半徑為R，比重為(大于1)的球沉入深為H(>2R)的水池底，現(xiàn)將其從水中取出，問(wèn)需作多少功？例5

用鐵錘把釘子釘入木板，設(shè)木板對(duì)鐵釘?shù)淖枇εc鐵釘進(jìn)入木板的深度成正比，鐵錘在第一次錘擊時(shí)將鐵釘擊入1厘米，若每次錘擊所作的功相等，問(wèn)第n

次錘擊時(shí)又將鐵釘擊入多少？第10頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期二習(xí)例解答解功元素所求功為第11頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期二點(diǎn)擊圖片任意處播放\暫停解建立坐標(biāo)系如圖習(xí)例解答第12頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期二這一薄層水的重力為功元素為(千焦)．習(xí)例解答第13頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期二例3(1)半球形貯水池，貯滿水，從池中把水抽出，問(wèn)作多少功？

(2)若半球形貯水池平底在下，問(wèn)作多少功？解(1)如圖所示建立坐標(biāo)系，則邊界曲線方程為選x為積分變量，這一薄層水的重力為習(xí)例解答第14頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期二(2)如圖所示建立坐標(biāo)系，則邊界曲線方程為選y為積分變量，這一薄層水的重力為習(xí)例解答第15頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期二注意：也可建立另一如圖所示的坐標(biāo)系，則邊界曲線方程為選x為積分變量，這一薄層水的重力為習(xí)例解答第16頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期二例4

半徑為R，比重為(大于1)的球沉入深為H(>2R)的水池底，現(xiàn)將其從水中取出，問(wèn)需作多少功？解如圖所示建立坐標(biāo)系，則邊界曲線方程為選x為積分變量，將其取出水面總行程為H,在水中行程為H2Rx,在水外行程為H

(H2Rx)

2Rx,習(xí)例解答第17頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期二在水中作功的力為在水外作功的力為此時(shí)功元素為兩部分之和(水中與水外)習(xí)例解答第18頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期二解設(shè)木板對(duì)鐵釘?shù)淖枇槔?

用鐵錘把釘子釘入木板，設(shè)木板對(duì)鐵釘?shù)淖枇εc鐵釘進(jìn)入木板的深度成正比，鐵錘在第一次錘擊時(shí)將鐵釘擊入1厘米，若每次錘擊所作的功相等，問(wèn)第n

次錘擊時(shí)又將鐵釘擊入多少？第一次錘擊時(shí)所作的功為設(shè)

次擊入的總深度為厘米次錘擊所作的總功為習(xí)例解答第19頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期二依題意知，每次錘擊所作的功相等．次擊入的總深度為第次擊入的深度為習(xí)例解答第20頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期二二、液體壓力第21頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期二解題思路：(1)適當(dāng)選取坐標(biāo)系及積分變量；(2)寫(xiě)出液體壓力元素dF的表達(dá)式；(以不變代變，其中用了公式(3)列出定積分并求值即得F.二、液體壓力第22頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期二習(xí)例2第23頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期二解在端面建立坐標(biāo)系如圖習(xí)例2---解答第24頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期二習(xí)例2---解答第25頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期二解建立坐標(biāo)系如圖斜邊方程為積分變量為小面積習(xí)例2---解答第26頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期二則在此小區(qū)間上閘門(mén)所受壓力的元素為解在上任取一小區(qū)間例8

一個(gè)豎直的閘門(mén)，形狀是等腰梯形，尺寸與坐標(biāo)如圖所示，當(dāng)水面齊閘門(mén)時(shí)，求閘門(mén)所受的壓力？從而第27頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期二三、萬(wàn)有引力第28頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期二解題思路：(1)適當(dāng)選取坐標(biāo)系及積分變量；(2)寫(xiě)出引力元素dF的表達(dá)式；(以不變代變，其中用了公式(3)列出定積分并求值即得F.三、萬(wàn)有引力第29頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期二解建立坐標(biāo)系如圖將典型小段近似看成質(zhì)點(diǎn)小段的質(zhì)量為萬(wàn)有引力習(xí)例及解答第30頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期二小段與質(zhì)點(diǎn)的距離為引力元素水平方向的分力元素萬(wàn)有引力習(xí)例及解答第31頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期二鉛直方向的分力元素萬(wàn)有引力習(xí)例及解答第32頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

設(shè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為m,繞軸l轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度為,則線速度為v=r,轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能為

E=1/2m(r)2=1/2J2轉(zhuǎn)動(dòng)慣量例求長(zhǎng)為l,=1的細(xì)桿關(guān)于y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.xyol解x(0,l)

,把小段[x,x+dx]視為質(zhì)量集中于x處的質(zhì)點(diǎn)，則m=x=dxdJ=dmx2=x2dx四、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（J=mr2)第33頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期二例有一質(zhì)量為M,半徑為R的均勻圓片，求（1）對(duì)垂直圓面中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；（2）對(duì)直徑的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解（1）與軸等距離的點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量相同故x(0,R)

,視位于[x,x+dx]的小圓環(huán)質(zhì)量是集中于x處的質(zhì)點(diǎn)，dJ=dmx2=x2dA=第34頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期二（2）x(0,R)

,視小細(xì)條[x,x+dx]的質(zhì)量集中于x處，dJ=dmx2=

第35頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期二五、函數(shù)的平均值與均方根

1.平均值實(shí)例：用某班所有學(xué)生的考試成績(jī)的算術(shù)平均值來(lái)描述這個(gè)班的成績(jī)的概貌.算術(shù)平均值公式只適用于有限個(gè)數(shù)值問(wèn)題：求氣溫在一晝夜間的平均溫度.入手點(diǎn)：連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的平均值.討論思想：分割、求和、取極限.第36頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期二(1)分割：每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度設(shè)各分點(diǎn)處的函數(shù)值為函數(shù)在區(qū)間上的平均值近似為每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度趨于零.(2)求和：(3)取極限：五、函數(shù)的平均值與均方根第37頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期二函數(shù)在區(qū)間上的平均值為幾何平均值公式區(qū)間長(zhǎng)度五、函數(shù)的平均值與均方根第38頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期二解設(shè)電阻為R,功率一個(gè)周期區(qū)間