數字圖像處理-第03章圖像變換070428第一頁，共24頁。3.1二維離散傅里葉變換（DFT）3.1.1二維連續傅里葉變換二維連續函數f(x,y)的傅里葉變換定義如下：設是獨立變量的函數，且在上絕對可積，則定義積分

為二維連續函數的付里葉變換，并定義

為的反變換。和為傅里葉變換對。（3.1）（3.2）第二頁，共24頁。【例3.1】求圖3.1所示函數

的傅里葉變換。

解：將函數代入到(3.1)式中，得

其幅度譜為第三頁，共24頁。二維信號的圖形表示圖3.1二維信號f(x,y)

第四頁，共24頁。（a）信號的頻譜圖（b）圖（a）的灰度圖圖3.2信號的頻譜圖二維信號的頻譜圖第五頁，共24頁。3.1.2二維離散傅里葉變換尺寸為M×N的離散圖像函數的DFT反變換可以通過對F(u,v)求IDFT獲得（3.3）（3.4）第六頁，共24頁。

DFT變換進行圖像處理時有如下特點：（1）直流成分為F(0,0)。（2）幅度譜|F(u,v)|對稱于原點。（3）圖像f(x,y)平移后，幅度譜不發生變化，僅有相位發生了變化。（3.5）（3.6）第七頁，共24頁。3.1.3二維離散傅里葉變換的性質1．周期性和共軛對稱性周期性和共軛對稱性來了許多方便。我們首先來看一維的情況。設有一矩形函數為,求出它的傅里葉變換：第八頁，共24頁。幅度譜：

（a）幅度譜（b）原點平移后的幅度譜圖3.4頻譜圖第九頁，共24頁。DFT取的區間是[0,N-1]，在這個區間內頻譜是由兩個背靠背的半周期組成的，要顯示一個完整的周期，必須將變換的原點移至u=N/2點。根據定義，有

在進行DFT之前用(-1)x乘以輸入的信號f(x)，可以在一個周期的變換中（u＝0，1，2，…，N－1），求得一個完整的頻譜。（3.7）第十頁，共24頁。推廣到二維情況。在進行傅里葉變換之前用(-1)x+y乘以輸入的圖像函數，則有：DFT的原點，即F(0,0)被設置在u=M/2和v=N/2上。(0,0)點的變換值為：即f(x,y)的平均值。如果是一幅圖像，在原點的傅里葉變換F(0,0)等于圖像的平均灰度級，也稱作頻率譜的直流成分。（3.8）（3.9）第十一頁，共24頁。（a）原始圖像(b)中心化前的頻譜圖(c)中心化后的頻譜圖圖3.5圖像頻譜的中心化第十二頁，共24頁。2．可分性離散傅里葉變換可以用可分離的形式表示這里對于每個x值，當v＝0，1，2，…，N－1時，該等式是完整的一維傅里葉變換。（3.10）（3.11）第十三頁，共24頁。二維變換可以通過兩次一維變換來實現。同樣可以通過先求列變換再求行變換得到2DDFT。

圖3.6二維DFT變換方法第十四頁，共24頁。3．離散卷積定理設f(x,y)和g(x,y)是大小分別為A×B和C×D的兩個數組，則它們的離散卷積定義為卷積定理

（3.12）（3.13）第十五頁，共24頁。【例3.2】用MATLAB實現圖像的傅里葉變換。解：MATLAB程序如下：

A=imread('pout.tif'); %讀入圖像imshow(A);%顯示圖像A2=fft2(A); %計算二維傅里葉變換A2=fftshift(A2); %將直流分量移到頻譜圖的中心 figure,imshow(log(abs(A2)+1),[010]);%顯示變換后的頻譜圖第十六頁，共24頁。

（a）原始圖像（b）圖像頻譜圖3.7傅里葉變換第十七頁，共24頁。3.2二維離散余弦變換（DCT）任何實對稱函數的傅里葉變換中只含余弦項，余弦變換是傅里葉變換的特例，余弦變換是簡化DFT的重要方法。3.2.1一維離散余弦變換將一個信號通過對折延拓成實偶函數，然后進行傅里葉變換，我們就可用2N點的DFT來產生N點的DCT。

1．以x=-1/2為對稱軸折疊原來的實序列f(n)得：＝（3.14）第十八頁，共24頁。-N-10N-1NN+1f(n)圖3.8延拓示意圖2．以2N為周期將其周期延拓，其中f（0）＝f（－1），f（N－1）＝f（－N）

＝（3.15）＝（3.16）第十九頁，共24頁。3．對0到2N－1的2N個點的離散周期序列作DFT，得令i＝2N－m－1，則上式為＝＝＋＋＝＝第二十頁，共24頁。

為了保證變換基的規范正交性，引入常量，定義：F(k)＝C(k)C(k)=（3.17）其中（3.18）3.2.2二維離散余弦變換

（3.19）第二十一頁，共24頁。DCT逆變換為【例3.3】應用MATLAB實現圖像的DCT變換。解：MATLAB程序如下：A=imread('pout.tif'); %讀入圖像I=dct2(A); %對圖像作DCT變換 subplot(1,2,1),imshow(A);%顯示原圖像