2023年高考數學模擬試卷

請考生注意：

1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答

案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。

2.答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知集合4={幻,一1區3,》62},8=1€2|2，€4},則集合8=（）

A.{-1,0,1}B.{0,1}C.{1,2}D.{0,1,2）

2.數列{%}滿足。“+%+2=2a“+|（〃eN*）,且4+4+/=9，%=8，則%=（）

21

A.—B.9C.——D.7

22

I*

3.函數的圖象大致為0

e

4.臺球是一項國際上廣泛流行的高雅室內體育運動，也叫桌球（中國粵港澳地區的叫法）、撞球（中國臺灣地區的叫

法）控制撞球點、球的旋轉等控制母球走位是擊球的一項重要技術，一次臺球技術表演節目中，在臺球桌上，畫出如

圖正方形A5CD,在點E,尸處各放一個目標球，表演者先將母球放在點A處，通過擊打母球，使其依次撞擊點E,F

處的目標球，最后停在點C處，若AE=5（icm.EF=4（icm.FC=30cm,NAEF=NCfE=60。，則該正方形的邊長為（）

A.50y/2cmB.405/2cmC.50c/nD.2076cm

5.如圖，在三棱錐S—ABC中，平面ABC,AB±BC,現從該三棱錐的4個表面中任選2個，則選取的2個

表面互相垂直的概率為（）

4

B

6.如圖，在平面四邊形ABC。中，AB±BC,AD±CD,ABAD^12O°,AB=AD=1,

若點E為邊CD上的動點,則荏.詼的最小值為（）

7.設等差數列{%}的前"項和為S,,,若%=2,%+%=5,則$6=（）

A.10B.9C.8D.7

8.已知集合M={x[-l?x<5},N={x|W<2},則Mf|N=（）

A.{x|-l<x<2}B.{x|-2<x<5}C.{x|-l<x<5}D.{X[0<X<2}

9,南宋數學家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的垛積公式，所討論的高階等差數列與

一般等差數列不同，前后兩項之差并不相等，但是逐項差數之差或者高次差成等差數列對這類高階等差數列的研究，

在楊輝之后一般稱為“垛積術”.現有高階等差數列，其前7項分別為1,4,8,14,23,36,54,則該數列的第19項為

（）（注：3+32+…+〃2=〃（〃+1）（2〃+1））

6

A.1624B.1024C.1198D.1560

10.設是虛數單位，則“復數z=a+初為純虛數”是“必=0”的（）

A.充要條件B.必要不充分條件

C.既不充分也不必要條件D.充分不必要條件

11.射線測厚技術原理公式為/=/“-〃"，其中/。，/分別為射線穿過被測物前后的強度，e是自然對數的底數，，為被

測物厚度，P為被測物的密度，〃是被測物對射線的吸收系數.工業上通常用錮241（卻A機）低能/射線測量鋼板的

厚度.若這種射線對鋼板的半價層厚度為0.8,鋼的密度為7.6,則這種射線的吸收系數為（）

(注：半價層厚度是指將已知射線強度減弱為一半的某種物質厚度，ln2a0.6931,結果精確到0.001)

A.0.110B.0.112C.0.114D.0.116

12.已知2"=3"=6,則。，匕不可能滿足的關系是。

A.a+b=abB.a+h>4C.(tz-1)2<2D.a2+b2>8

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.函數/(x)滿足"x)=/(x—4),當x?-2,2)時，/(x)=12x+3x+。,一2"、"4,若函數/⑴在［0,2020)

上有1515個零點，則實數。的范圍為.

TT

14.已知平面向量1，b>-滿足|G|=1,1^1=2,a,萬的夾角等于且(IV)?(5一乙)=0,則的取值

范圍是.

15.《九章算術》中，將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉腌，如圖，在鱉腌P-ABC中，B4_L平面ABC,

AB1BC,且AP=AC=4,過A點分別作AE_LPB于點￡,AFLPC于點/，連接EF,則三棱錐尸―AEF的

體積的最大值為.

2x-y>0

16.已知不等式組卜-2>40所表示的平面區域為Q,則區域。的外接圓的面積為.

x<2

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知橢圓。［+/=1(〃>0/>0)的長軸長為4,離心率0=乎

(1)求橢圓C的方程；

(2)設A,8分別為橢圓與x軸正半軸和〉軸正半軸的交點，P是橢圓。上在第一象限的一點，直線以與)’軸交于

點M,直線P3與大軸交于點N,問APMN與AE46面積之差是否為定值？說明理由.

18.(12分)2020年，山東省高考將全面實行“3+［6選司”的模式(即：語文、數學、外語為必考科目，剩下的物理、

化學、歷史、地理、生物、政治六科任選三科進行考試).為了了解學生對物理學科的喜好程度，某高中從高一年級學

生中隨機抽取200人做調查.統計顯示，男生喜歡物理的有64人，不喜歡物理的有56人；女生喜歡物理的有36人，

不喜歡物理的有44人.

（1）據此資料判斷是否有75%的把握認為“喜歡物理與性別有關”；

（2）為了了解學生對選科的認識，年級決定召開學生座談會.現從5名男同學和4名女同學（其中3男2女喜歡物理）

中，選取3名男同學和2名女同學參加座談會，記參加座談會的5人中喜歡物理的人數為X,求X的分布列及期望

E(X).

〃(ad—be]

其中〃=a+6+c+d.

(?+￡>)(<?+J)(a+c)(Z?+J)

P(K?>k)0.250.100.05

k1.3232.7063.841

22A

19.（12分）己知點E,尸分別是橢圓C:｝+/=l（a>8>0）的上頂點和左焦點，若EF與圓V+y2=_|相切于

點T,且點T是線段“'靠近點￡的三等分點.

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）直線/：丁=去+加與橢圓C只有一個公共點P,且點P在第二象限，過坐標原點。且與/垂直的直線/'與圓

V+丁=8相交于A,B兩點,求△尸AB面積的取值范圍.

114

20.（12分）在①A=②--------=—,③&=35這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解答.

4a2B2

已知等差數列｛an｝的公差為d（d>0）,等差數列出｝的公差為2d.設4,紇分別是數列｛%｝,｛2｝的前〃項和，且

4=3,4=3,,

(1)求數列{%},也}的通項公式；

3,

(2)設q,=2“"+——,求數列{c'}的前"項和S”.

—+1

1

21.(12分)已知函數u(x)=xlnx,v(x)=-mx0-+x-l,m￡R?

2

u(x)

(1)令m=2,求函數h(x)=,,，?的單調區間;

v(x)—x+1

(2)令f(x)=u(x)-V(x),若函數f(x)恰有兩個極值點X”X2,且滿足l<」<e(e為自然對數的底數)

xi

求X”2的最大值.

22.(10分)橢圓E：m+/=1(4>6>0)的離心率為半，點(百,3)為橢圓上的一點.

(1)求橢圓￡的標準方程；

(2)若斜率為左的直線/過點A((),l),且與橢圓￡交于C,。兩點，3為橢圓E的下頂點，求證：對于任意的實數3

直線BC,BD的斜率之積為定值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.D

【解析】

弄清集合5的含義，它的元素x來自于集合A,且2'也是集合A的元素.

【詳解】

因|x—1區3,所以—2WxW4,故4={-2,—1,0,1,2,3,4},又xwZ,2ZA，則x=0,l,2,

故集合5={0』,2}.

故選：D.

【點睛】

本題考查集合的定義，涉及到解絕對值不等式，是一道基礎題.

2.A

【解析】

先由題意可得數列伍“｝為等差數列，再根據4+%+%=9,/=8,可求出公差，即可求出生.

【詳解】

數列｛4｝滿足%+an+2=2a?+l(neM),則數列｛%｝為等差數列，

q+%+%=9,%=8,

3勾+34=9,q+3d=8,

5

2

故選：A

【點睛】

本題主要考查了等差數列的性質和通項公式的求法，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題.

3.D

【解析】

根據函數為非偶函數可排除兩個選項，再根據特殊值/(2)可區分剩余兩個選項.

【詳解】

因為八-x)=L二5>)知八X)的圖象不關于y軸對稱，排除選項B,c.

1-43

又#2)=1一=一=<0.排除A,故選D.

e'e"

【點睛】

本題主要考查了函數圖象的對稱性及特值法區分函數圖象，屬于中檔題.

4.D

【解析】

過點瓦廠做正方形邊的垂線，如圖，設NAEM=a,利用直線三角形中的邊角關系，將用。表示出來，根

據=列方程求出a,進而可得正方形的邊長.

【詳解】

過點E,尸做正方形邊的垂線，如圖,

設ZA￡M=a,則NCFQ=a,ZMEF=ZQFE=60-a,

則AB=AM+MN+N6=AEsina+￡Fsin（60—a）+FCsina

3.G）

二50sina+40sin（60-a）+30sinc=40—sina+——cosa,

、22J

CB=BP+PC=AEcosa+FCcosa-EFcos（60—a）

r3G、

=50cosa+30cosa-40cos（60-a）=40—cosa-s-i-n--a-

（22

7

（3G）（3G.）

因為AB=CB,貝!140-sina+—cosa=40—cosa------sina,

、22,（22J

整理化簡得組3=2-百，又sir?a+cos2a=1，

cosa

得sina=FJ,6+1

cosa=———

2V22V2

3.、40x（，與+2

...AB=40—sina+——cosa2076.

（227I22<22

即該正方形的邊長為20面c〃?.

故選：D.

【點睛】

本題考查直角三角形中的邊角關系，關鍵是要構造直角三角形，是中檔題.

5.A

【解析】

根據線面垂直得面面垂直，已知S4L平面ABC,由可得8c，平面這樣可確定垂直平面的對數,

再求出四個面中任選2個的方法數，從而可計算概率.

【詳解】

由已知SA_L平面ABC,AB1BC,可得S3_LBC,從該三棱錐的4個面中任選2個面共有=6種不同的選法,

而選取的2個表面互相垂直的有3種情況，故所求事件的概率為1.

2

故選：A.

【點睛】

本題考查古典概型概率，解題關鍵是求出基本事件的個數.

6.A

【解析】

分析：由題意可得人鉆。為等腰三角形，ABCD為等邊三角形,把數量積荏.詼分拆，設歷=/反(()41),

數量積轉化為關于t的函數，用函數可求得最小值。

詳解：連接BD,取AD中點為O,可知△46。為等腰三角形，而AB，5C,A￡>，C。，所以△BCD為等邊三角形，

BD=￡。設詼=麻(04/41)

AE.BE=(AD+DE)(BD+DE)=ADBb+DE(AD+RD)+DE2=^+BDDE+DE2

=3/2--r+-(0</<1)

22

121

所以當/=上時，上式取最小值一，選A.

416

點睛：本題考查的是平面向量基本定理與向量的拆分，需要選擇合適的基底，再把其它向量都用基底表示。同時利用

向量共線轉化為函數求最值。

7.B

【解析】

根據題意為=q+2d=2,。］+。4=2。］+3"=5,解得％=4,d=-\,得到答案.

【詳解】

%=q+2d=2,q+%=2q+3d=5,解得q=4,d--I,故§6=6q+15d=9.

故選：B.

【點睛】

本題考查了等差數列的求和，意在考查學生的計算能力.

8.A

【解析】

考慮既屬于M又屬于N的集合，即得.

【詳解】

-.■N=｛x\-2<x<2],:.Mr>N=｛x\-l<x<2｝.

故選：A

【點睛】

本題考查集合的交運算，屬于基礎題.

9.B

【解析】

根據高階等差數列的定義，求得等差數列｛%｝的通項公式和前〃項和，利用累加法求得數列｛a,,｝的通項公式，進而求

得%9,

【詳解】

依題意

an；1,4,8,14,23,36,54,...

兩兩作差得

b?：3,4,6,9,13,18,……

兩兩作差得

c“：1,2,3,4,5,...

設該數列為｛4｝,令b,=*-a”,設也｝的前幾項和為紇,又令%=為』一",設｛%｝的前九項和為Q.

口-IV+Z?3.但，C八C-c〃(〃-1)IV1c

易c=〃，C=------,進而得〃+]=3+C=3H-------,所以b=3H--------=------〃+3,貝(I

〃22222

紇=〃(〃+))(〃-1)+3〃,所以區川=i+紇，所以《9=1024.

6

故選：B

【點睛】

本小題主要考查新定義數列的理解和運用，考查累加法求數列的通項公式，考查化歸與轉化的數學思想方法，屬于中

檔題.

10.D

【解析】

結合純虛數的概念，可得。=(),。工0,再結合充分條件和必要條件的定義即可判定選項.

【詳解】

若復數z=a+6為純虛數，則。=0力#(),所以。力=0,若出7=0,不妨設。=1,8=0,此時復數z=a+4=l,

不是純虛數，所以“復數z=。+方為純虛數”是“出?=0”的充分不必要條件.

故選：D

【點睛】

本題考查充分條件和必要條件，考查了純虛數的概念，理解充分必要條件的邏輯關系是解題的關鍵，屬于基礎題.

11.C

【解析】

根據題意知=0區2=7.6,：=1,代入公式I=//一加,求出〃即可.

【詳解】

由題意可得,f=0-8,2=7,6,—=不因為/=1產,

所以L=e-7.6xo.8x“即=ln2="空?0.114.

27.6x0.86.08

所以這種射線的吸收系數為0J14.

故選:C

【點睛】

本題主要考查知識的遷移能力，把數學知識與物理知識相融合;重點考查指數型函數，利用指數的相關性質來研究指數型

函數的性質,以及解指數型方程；屬于中檔題.

12.C

【解析】

根據2"=3"=6即可得出。=1+1。823,/J=l+log32,根據log23logs2=1,log32+log32>2,即可判斷出結

果.

【詳解】

???2"=3"=6;

二a-log26=1+log,3,b=log36=1+log32；

a+Z?=2+log23+log32>4,ab=2+log23+log32>4,故A,B正確；

2222

(?-l)+(^-l)=(log23)+(log32)>2log23-log32=2,故C錯誤；

122

,：a+y=2+2(log23+log32)+(10g23)+(log32)

>2+4^/log,3-log32+2log,3-log32=8,故D正確

故C.

【點睛】

本題主要考查指數式和對數式的互化，對數的運算，以及基本不等式：a+622J茄和不等式222ab的應用，

屬于中檔題

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.——,0

L2J

【解析】

由已知，“X)在［-2,2)上有3個根，分2>aNl,0<a<l,-l<?<0,一2<。<一1四種情況討論/(x)的單調

性、最值即可得到答案.

【詳解】

由已知，/(力的周期為4,且至多在［-2,2)上有4個根，而［0,2020)含505個周期，所以/(力在12,2)上有3個

根，設g(尤)=2J?+3X2+a,g'(x)=6f+6x,易知g(x)在(-1,0)上單調遞減，在(一》,-1),(1,卡勾)上單調遞增,

又g(—2)=a—4<0,g(l)=a+5>0.

若2>。之1時,〃司在(。,2)上無根，/(力在［-2,0必有3個根，

/(-1)>0。+1>0

則即《八，此時。￡0;

J(0)<0a<0

若0<a<l時,/(x)在3,2)上有1個根，注意到/(0)=。>0,此時/(x)在［-2,0不可能有2個根，故不滿足;

,、［/(-1)>01

若—l<a40時，要使"》)在［-2,0有2個根，只需，解得一

若—2<。4一1時，/(x)在［-2,0上單調遞增，最多只有1個零點，不滿足題意；

綜上，實數。的范圍為一lWaWO.

2

故答案為：一55°

【點睛】

本題考查利用導數研究函數的零點個數問題，涉及到函數的周期性、分類討論函數的零點，是一道中檔題.

--\/3V?+y/3

14.------------，-------------

22

【解析】

LlC2+l

計算得到l〃+Bl=近，c2=y[7\c\cosa-l,解得cosa=F；,根據三角函數的有界性計算范圍得到答案.

【詳解】

___兀,

由（a-c^^Cb-c）=0可得c2=（a+b^c-ab=\a+b1*1c\cosa-lx2cos-=\a+b\*\c\cosa-1,a為〃+B

與的夾角.

再由伍+匕）=a"+b~+2ci*h-1+4+2X1X2COS——7可得+J7>

LC2+l

c2=V7|c\cosa-1,解得cosa=.

J7同

g2+1萬^./o'

???OSa9,-l&osaSl,.?.^^<1,即同？一憶|+仁0,解得~<|c|<V,

山占■.生y/1—y/3y/1+

故答案為一--，一；—.

22

【點睛】

本題考查了向量模的范圍，意在考查學生的計算能力，利用三角函數的有界性是解題的關鍵.

15.逑

3

【解析】

由已知可得AAE尸、APE尸均為直角三角形，且4尸=2及，由基本不等式可得當4E=E尸=2時，△AEb的面積最

大，然后由棱錐體積公式可求得體積最大值.

【詳解】

由B4_L平面A8C,得總_L5C,

又AB_L8C,S.PAnAB=A,ABClYffiPAB,貝！18c_LAE,

又PBA.AE,則AEJ_平面PBC,

于是AELE尸，且AE_LPC,結合條件A尸_LPC,得尸（7_1_平面4￡尸，

.?.△AE尸、APE尸均為直角三角形，由已知得A尸=2及，

而SAAEF=AExEFCAE2+EF2)=—AF2=2,

244

當且僅當AE=EF=2時，取“="，此時AAEF的面積最大，

三棱錐P-AEF的體積的最大值為：

VP.AEF="PF義S.AEF=、2邑2=處.

333

故答案為逑

3

【點睛】

本題主要考查直線與平面垂直的判定，基本不等式的應用，同時考查了空間想象能力、計算能力和邏輯推理能力，屬

于中檔題.

25

16.—71

4

【解析】

先作可行域，根據解三角形得外接圓半徑，最后根據圓面積公式得結果.

【詳解】

由題意作出區域Q,如圖中陰影部分所示，

,又MN=3,設AOMN的外接圓的半徑為R,則由正弦定理

(5Y25

得考=2R,即R=9,故所求外接圓的面積為7X-=2〃.

2⑴4

【點睛】

線性規劃問題，首先明確可行域對應的是封閉區域還是開放區域、分界線是實線還是虛線，其次確定目標函數的幾何

意義，是求直線的截距、兩點間距離的平方、直線的斜率、還是點到直線的距離、可行域面積、可行域外接圓等等，

最后結合圖形確定目標函數最值取法、值域范圍.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

2

17.(1)二+f=](2)是定值，詳見解析

4

【解析】

a=2

(1)根據長軸長為4,離心率e=3,則有<c&/布

—=—求解.

2a2

a2-b2=c2

⑵設P5,為)(%>0,%>0),則4年+婷=4,直線P4:丁=七。一1),令x=0得，%=言，則

y—2—2x

\BM\=\2-y\,直線P8：y-n-x+2,令y=0,得”三彳，則|匈7|=|1-/|，再根據

M%-z

S&PMN—SlMB=~^APAN)—(*^A￡M7V—1^A/WV)=^&MAN~^&BAN求解.

【詳解】

a=2

￡_立

(1)依題意得

a2

a2-b2^c2

a=2

解得《

b=\

v2

則橢圓C的方程上+/=1.

4

(2)設尸((,%)&>0,%>0),則卬+婷二%

直線—

玉)T

-.Vo

令x=0得，坨=

5-1

則忸叫=|2-%|=2+七

直線=+

~2xn

令y=o,得4=一

為一2

I5!||A7V|=|1-XA,|=1+-^-

為一々

..SMMN~=a^MAN~S^PAN)~(^AZ?/W-^^PAN)=~^^BAN

=^\AN\-\BM\=^2+^-

/一1

【點睛】

本題主要考查橢圓的方程及直線與橢圓的位置關系，還考查了平面幾何知識和運算求解的能力，屬于中檔題.

14

18.(1)有75%的把握認為喜歡物理與性別有關；(2)分布列見解析，E(x)=(.

【解析】

(1)根據題目所給信息，列出2x2列聯表，計算《2的觀測值，對照臨界值表可得出結論;

(2)設參加座談會的5人中喜歡物理的男同學有加人，女同學有〃人，則乂=m+〃，確定X的所有取值為1、2、

3、4、5.根據計數原理計算出每個X所對應的概率，列出分布列計算期望即可.

【詳解】

(1)根據所給條件得2x2列聯表如下：

男女合計

喜歡物理6436100

不喜歡物理5644100

合計12080200

犬_200x(64x44—56x36)2_^>1323

'100x100x120x80-3>,’

所以有75%的把握認為喜歡物理與性別有關；

(2)設參加座談會的5人中喜歡物理的男同學有機人，女同學有〃人，則X=m+〃,

由題意可知，X的所有可能取值為1、2、3、4、5.

C\C}Cf_1

P(X=I)

Cl^-20

ClC2ClClC[C2C23

lJc；c；Cc：10

p（X=3）=*.^+^.*+V=，,

v'C；c：c；c；C；.C與；15

p（x=4）=G+G.GG=1,

（）C。；；.殳C；C；C：6'

c3C21

P-5）啥,得

所以X的分布列為:

X12345

1371

p

20io15660

BRI1^3_7.1_114

所以E（X）=1x----F2x-----F3x----F4x—F5x—=—

v72010156605

【點睛】

本題考查了獨立性檢驗、離散型隨機變量的概率分布列.離散型隨機變量的期望.屬于中等題.

丫22

19.⑴菅+Z：=1；（2）（0,473-4],

o

【解析】

（1）連接"，由三角形相似得，。〃=后，7尸=3,進而得出片=6,82=0￡2=。尸+￡72=2,寫出橢圓。的

標準方程;

y=kx+m

⑵由x2y2得，（3左2+l）x?+6A/IV+3m2-6=0,因為直線/：y=Ax+〃?與橢圓C相切于點P,△=（）,

162

-3kmm

解得x=o95,因為點尸在第二象限，所以左>0,m>Q,所以〃2=，6公+2,設直線/'與/垂直

3公+1y-~~3A2+1

交于點Q,貝!J|PQ|是點P到直線/'的距離，設直線r的方程為丁=—則|PQ|="-&,求出△RW面積的取

k

值范圍.

【詳解】

I24

解：（1）連接"，由AEOTSAOFT可得OT2=ET.TF=§a.§a=§

a2=6,b2=OE2=OT2+ET2=2,

22

橢圓C的標準方程上+二=1；

62

y=kx+m

⑵由MV得，（3女2+1）尤2+6k虹+3加2-6=0,

二

1-6---1---2--1

因為直線/：丁=丘+〃?與橢圓。相切于點P,

所以△=（6切vf—4（3公+l）（3m2-6）=l2（6/+2—W）=0,即加2=6左2+2,

-3kmm

解得x=

3k2+]

口即r點—p的坐上標一、為,(〔訴-3kmp聲m

因為點P在第二象限，所以攵>0,m>0,

所以=76k2+2?

'3aV2

所以點P的坐標為

73k。+1Y3k2+1,

設直線/'與/垂直交于點。，則|PQ|是點P到直線/'的距離,

設直線/'的方程為)，=-'x,

K

_2亞_2近<2夜2夜

飛.4+J=，

當且僅當3左2=十，即22=4時，歸。有最大值的一J],

所以LAB=1X4V2X|P0|<4^-4,即APAB面積的取值范圍為伍,一可.

【點睛】

本題考查直線和橢圓位置關系的應用，利用基本不等式，屬于難題.

),+l3(n2)

20.(1)an=n,b,,=2n+]；(2)2--

2〃+3

【解析】

方案一：（1）根據等差數列的通項公式及前〃項和公式列方程組，求出可和d,從而寫出數列｛q｝,｛d｝的通項公式;

（2）由第（1）題的結論，寫出數列｛%｝的通項=采用分組求和、等比求和公式以及裂

項相消法，求出數列｛cj的前”項和S”.

其余兩個方案與方案一的解法相近似.

【詳解】

解：方案一：

（1）???數列｛。“｝，｛包｝都是等差數列，且4=3,4=4,

2al+d=3[a,=\

,解得《1

倒+104=9+61[d=\

an=4+(/?-l)d-n,

bn=4+(〃-l)2d=2〃+1

綜上。〃=〃，2=2〃+l

（2）由（1）得:

33/11

g=2W+--------------=2n+-—

〃(2"+1)(2〃+3)2^2/t+l2〃+3

.-.s=(2+22+---+2,,)+-[(---)+(---)+---+(—1—

)1

“235572〃+l2〃+3

2(J2")3(]iA

1-22(32n+3)

=2"+i3("+2)

2〃+3

方案二：

114

（1）?.?數列｛風｝，｛么｝都是等差數列，且4=3,------,

2a,+d=3[a=1

4q(q+d)=d(6+2d)[d=1

an=4+(〃-1)。=〃，

bn=/?,+(n-V)2d=2〃+1.

綜上，an=n,bn=2n+l

(2)同方案一

方案三:

(1)???數列｛q｝，物,｝都是等差數列，且A2=3,&=35.

2%+d=3

=1

cu5x4-V，解得'

3x5d----x2d=35

2

an=a,+(n-1)<7—n,

hn-by+(/?-l)2J=2?+l.

綜上，a“=n也,=2n+l

(2)同方案一

【點睛】

本題考查了等差數列的通項公式、前”項和公式的應用，考查了分組求和、等比求和及裂項相消法求數列的前〃項和,

屬于中檔題.

e+]

21.(1)單調遞增區間是(0,e),單調遞減區間是(e,+8)(2)已0

【解析】

/nr

(1)化簡函數/z(X)=—,求導，根據導數和函數的單調性的關系即可求出

X

(2)函數/(x)恰有兩個極值點Xi,X29則/(x)見=0有兩個正根，由此得到機(X2-Xi)=lnx2-lnx\9

X

2+1

X,Z+l

—,設戶

m(X2+X1)=lnx2+lnxi9消參數機化簡整理可得勿GIM)=Zn—?—力構造函數g⑺=(口)

x}x2

bit,利用導數判斷函數的單調性，求出函數的最大值即可求出XrX2的最大值.

【詳解】

xlnxInx1-lnx

(1)令m=2,函數h(x)

v(x)-x+lX2+X-1-X+1Xx2

令M(x)=0,解得x=c,

，當x￡(0,e)時，hr(x)>0,當x￡(e,-Ho)時，hr(x)<0,

???函數h(x)單調遞增區間是(0,e),單調遞減區間是(e,+oo)

12

(2)f(x)=u(x)-v(x)