第2課時兩條直線垂直的條件學習目標1.掌握兩條直線垂直的條件.2.會利用兩條直線的垂直關系，求參數或直線方程.3.能解決一些簡單的對稱問題．知識點兩條直線垂直的條件思考直線l1：y＝－eq\r(3)x＋1，直線l2：y＝eq\f(\r(3),3)x＋1，那么l1與l2相互垂直嗎？為什么？答案如圖，∵l1的傾斜角為120°，l2的傾斜角為30°，∴l1⊥l2.梳理兩條直線垂直對坐標平面內的任意兩條直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0，有l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.如果B1B2≠0，則l1的斜率k1＝－eq\f(A1,B1)，l2的斜率k2＝－eq\f(A2,B2).又可以得出l1⊥l2?k1k2＝－1.1．如果兩條直線l1與l2垂直，則它們的斜率之積一定為－1.(×)2．已知直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0，(A1，B1，C1，A2，B2，C2為常數)，若直線l1⊥l2，則A1A2＋B1B2＝0.(√)3．若點A，B關于直線l：y＝kx＋b(k≠0)對稱，則直線AB的斜率等于－eq\f(1,k)，且線段AB的中點在直線l上．(√)類型一兩條直線垂直的判定例1分別判斷下列兩直線是否垂直．(1)直線l1經過點A(3,4)，B(3,7)，直線l2經過點P(－2,4)，Q(2,4)；(2)直線l1的斜率為eq\f(1,3)，直線l2與直線2x＋3y＋1＝0平行．解(1)直線l1的斜率不存在，故直線l1與x軸垂直，直線l2的斜率為0，故直線l2與x軸平行，所以l1與l2垂直．(2)直線l1的斜率為k1＝eq\f(1,3)，直線l2的斜率為k2＝－eq\f(2,3)，k1×k2＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))＝－eq\f(2,9)≠－1，所以直線l1與l2不垂直．反思與感悟(1)若所給的直線方程都是一般式方程，則運用條件：l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0判斷．(2)若所給的直線方程都是斜截式方程，則運用條件：l1⊥l2?k1·k2＝－1判斷．(3)若所給的直線方程不是以上兩種情形，則把直線方程化為一般式再判斷．跟蹤訓練1(1)下列直線中與直線2x＋y＋1＝0垂直的是()A．2x－y－1＝0B．x－2y＋1＝0C．x＋2y＋1＝0D．x＋eq\f(1,2)y－1＝0答案B解由斜率之積為－1，得B正確．(2)已知定點A(－1,3)，B(4,2)，以A，B為直徑作圓，與x軸有交點C，求交點C的坐標．解設C(x,0)，由題意知CA⊥CB，則kCA×kCB＝－1，即eq\f(3－0,－1－x)×eq\f(2－0,4－x)＝－1，解得x＝1或2，∴C(1,0)或C(2,0)．類型二兩條直線垂直關系的應用例2(1)與直線y＝2x＋1垂直，且在y軸上的截距為4的直線的斜截式方程是()A．y＝eq\f(1,2)x＋4B．y＝2x＋4C．y＝－2x＋4D．y＝－eq\f(1,2)x＋4(2)直線(2－m)x＋my＋3＝0與直線x－my－3＝0垂直，則m的值為________．答案(1)D(2)－2或1解析(1)因為所求直線與y＝2x＋1垂直，所以設直線方程為y＝－eq\f(1,2)x＋b.又因為直線在y軸上的截距為4，所以直線的斜截式方程為y＝－eq\f(1,2)x＋4.(2)由直線方程可知，當一條直線的斜率不存在時，不存在m使兩直線垂直，所以兩直線的斜率都存在．由k1·k2＝－1，可得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2－m,m)))·eq\f(1,m)＝－1，解得m＝－2或m＝1.反思與感悟(1)與直線Ax＋By＋C＝0垂直的直線方程可設為Bx－Ay＋m＝0(m為參數)．(2)與直線y＝kx＋m平行的直線方程可設為y＝kx＋b(b≠m)；與它垂直的直線方程可設為y＝－eq\f(1,k)x＋n(k≠0)．跟蹤訓練2求與直線4x－3y＋5＝0垂直，且與兩坐標軸圍成的△AOB的面積為3的直線方程．解設與直線4x－3y＋5＝0垂直的直線方程為3x＋4y＋m＝0.令x＝0，得y＝－eq\f(m,4)，則Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(m,4)))；令y＝0，得x＝－eq\f(m,3)，則Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(m,3)，0)).因為S△AOB＝3，所以eq\f(1,2)|OA|·|OB|＝eq\f(1,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(m,4)))·eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(m,3)))＝3.所以m2＝72，所以m＝±6eq\r(2).故所求直線方程為3x＋4y＋6eq\r(2)＝0或3x＋4y－6eq\r(2)＝0.類型三對稱問題命題角度1中心對稱問題例3(1)求點P(x0，y0)關于點A(a，b)的對稱點P′的坐標；(2)求直線3x－y－4＝0關于點(2，－1)的對稱直線l的方程．解(1)根據題意可知點A(a，b)為PP′的中點，設點P′的坐標為(x，y)，則根據中點坐標公式，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(x＋x0,2)，,b＝\f(y＋y0,2)，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2a－x0，,y＝2b－y0.))所以點P′的坐標為(2a－x0,2b－y0)．(2)方法一設直線l上任意一點M的坐標為(x，y)，則此點關于點(2，－1)的對稱點為M1(4－x，－2－y)，且M1在直線3x－y－4＝0上，所以3(4－x)－(－2－y)－4＝0，即3x－y－10＝0.所以所求直線l的方程為3x－y－10＝0.方法二在直線3x－y－4＝0上取兩點A(0，－4)，B(1，－1)，則點A(0，－4)關于點(2，－1)的對稱點為A1(4,2)，點B(1，－1)關于點(2，－1)的對稱點為B1(3，－1)．可得直線A1B1的方程為3x－y－10＝0，即所求直線l的方程為3x－y－10＝0.反思與感悟(1)點關于點的對稱問題若兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)關于點P(x0，y0)對稱，則P是線段AB的中點，并且eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝\f(x1＋x2,2)，,y0＝\f(y1＋y2,2).))(2)直線關于點的對稱問題若兩條直線l1，l2關于點P對稱，則：①l1上任意一點關于點P的對稱點必在l2上，反過來，l2上任意一點關于點P的對稱點必在l1上；②若l1∥l2，則點P到直線l1，l2的距離相等；③過點P作一直線與l1，l2分別交于A，B兩點，則點P是線段AB的中點．跟蹤訓練3與直線2x＋3y－6＝0關于點(1，－1)對稱的直線方程是()A．3x－2y＋2＝0B．2x＋3y＋7＝0C．3x－2y－12＝0D．2x＋3y＋8＝0答案D解析由平面幾何知識易知所求直線與已知直線2x＋3y－6＝0平行，則可設所求直線方程為2x＋3y＋C＝0.在直線2x＋3y－6＝0上任取一點(3,0)，關于點(1，－1)的對稱點為(－1，－2)，則點(－1，－2)必在所求直線上，∴2×(－1)＋3×(－2)＋C＝0，解得C＝8.∴所求直線方程是2x＋3y＋8＝0.命題角度2軸對稱問題例4點P(－3,4)關于直線x＋y－2＝0的對稱點Q的坐標是()A．(－2,1)B．(－2,5)C．(2，－5)D．(4，－3)答案B解析設對稱點的坐標為(a，b)，由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a－3,2)＋\f(b＋4,2)－2＝0，,\f(b－4,a＋3)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝5，))即Q(－2,5)．反思與感悟(1)點關于直線的對稱問題求P(x0，y0)關于Ax＋By＋C＝0的對稱點P′(x，y)，利用eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y－y0,x－x0)·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(A,B)))＝－1，,A·\f(x0＋x,2)＋B·\f(y0＋y,2)＋C＝0))可以求點P′的坐標．(2)直線關于直線的對稱問題若兩條直線l1，l2關于直線l對稱，則：①l1上任意一點關于直線l的對稱點必在l2上，反過來，l2上任意一點關于直線l的對稱點必在l1上；②過直線l上的一點P且垂直于直線l作一直線與l1，l2分別交于點A，B，則點P是線段AB的中點．跟蹤訓練4求直線m：2x＋y－4＝0關于直線n：3x＋4y－1＝0對稱直線b的方程．解方法一設直線b上的動點P(x，y)，直線m上的點Q(x0,4－2x0)，且P，Q兩點關于直線n：3x＋4y－1＝0對稱，則有：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x＋x0,2)×3＋\f(4－2x0＋y,2)×4－1＝0，,\f(y－4－2x0,x－x0)＝\f(4,3)，))消去x0，得2x＋11y＋16＝0.方法二由直線m：2x＋y－4＝0知A(2,0)，B(0,4)為直線m上的點，設A，B關于直線n的對稱點為A′(a，b)，B′(a′，b′)，則有：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3×\f(a＋2,2)＋4×\f(b,2)－1＝0，,\f(b,a－2)＝\f(4,3)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(4,5)，,b＝－\f(8,5)，))即A′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，－\f(8,5))).eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3×\f(a′＋0,2)＋4×\f(b′＋4,2)－1＝0，,\f(b′－4,a′)＝\f(4,3)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a′＝－\f(18,5)，,b′＝－\f(4,5)，))即B′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(18,5)，－\f(4,5))).∴kb＝eq\f(－\f(4,5)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8,5))),－\f(18,5)－\f(4,5))＝－eq\f(2,11)，∴所求直線b的方程為y＋eq\f(8,5)＝－eq\f(2,11)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(4,5)))，即2x＋11y＋16＝0.1．若直線l1的斜率k1＝eq\f(3,4)，直線l2經過點A(3a，－2)，B(0，a2＋1)，且l1⊥l2，則實數a的值為()A．1B．3C．0或1D．1或3答案D解析∵l1⊥l2，∴k1×k2＝－1，即eq\f(3,4)×eq\f(a2＋1－－2,0－3a)＝－1，解得a＝1或a＝3.2．直線(m＋1)x＋my＋1＝0與直線(m－1)x＋(m＋1)y－10＝0垂直，則m的值為()A．－1B.eq\f(1,2)C．－eq\f(1,3)D．－1或eq\f(1,2)答案D解析由兩直線垂直，可得(m＋1)(m－1)＋m(m＋1)＝0，解得m＝－1或eq\f(1,2).3．直線l過點(－1,2)且與直線2x－3y＋4＝0垂直，則l的方程是()A．3x＋2y－1＝0B．3x＋2y＋7＝0C．2x－3y＋5＝0D．2x－3y＋8＝0答案A解析∴l的方程是3x＋2y－1＝0.4．已知點P(3,2)與點Q(1,4)關于直線l對稱，則直線l的方程為________．答案x－y＋1＝0解析線段PQ的垂直平分線就是直線l，則kl·kPQ＝kl·eq\f(4－2,1－3)＝－1，得kl＝1又PQ的中點坐標為(2,3)，∴直線l的方程為y－3＝x－2，即x－y＋1＝0.5．一條光線從點A(3,2)發出，到x軸上的M點后，經x軸反射通過點B(－1,6)，則反射光線所在直線的斜率為__________．答案－2解析如圖所示，作點A關于x軸的對稱點A′，所以點A′在直線MB上．由對稱性可知A′(3，－2)，所以光線MB所在直線的斜率為kA′B＝eq\f(6－－2,－1－3)＝－2.故反射光線所在直線的斜率為－2.1．判斷兩直線垂直：(1)如果斜率都存在，只判斷k1k2＝－1；如果一條直線的斜率不存在，則另一條直線的斜率必等于零，從斜率的角度判斷，應注意上面的兩種情況；(2)利用A1A2＋B1B2＝0判斷．2．求點關于直線的對稱點：(1)設P(x0，y0)，l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，若點P關于l的對稱點為Q(x，y)，則l是PQ的垂直平分線，即①PQ⊥l；②PQ的中點在l上，解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y－y0,x－x0)·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(A,B)))＝－1，,A·\f(x＋x0,2)＋B·\f(y＋y0,2)＋C＝0))可得出點Q的坐標．(2)點A(x，y)關于直線x＋y＋C＝0的對稱點A′的坐標為(－y－C，－x－C)，關于直線x－y＋C＝0的對稱點A″的坐標為(y－C，x＋C).一、選擇題1．設點P(－4,2)，Q(6，－4)，R(12,6)，S(2,12)，下面四個結論：①PQ∥SR；②PQ⊥PS；③PS∥QS；④PR⊥QS.其中正確的個數是()A．1B．2C．3D．4答案C解析由斜率公式知，kPQ＝eq\f(－4－2,6＋4)＝－eq\f(3,5)，kSR＝eq\f(12－6,2－12)＝－eq\f(3,5)，kPS＝eq\f(12－2,2＋4)＝eq\f(5,3)，kQS＝eq\f(12＋4,2－6)＝－4，kPR＝eq\f(6－2,12＋4)＝eq\f(1,4)，∴PQ∥SR，PQ⊥PS，PR⊥QS.而kPS≠kQS，∴PS與QS不平行，①②④正確，故選C.2．點Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))關于y軸的對稱點A′的坐標為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－1))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－1))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))答案D3．以A(－2,1)，B(4,3)為端點的線段的垂直平分線的方程是()A．3x－y＋5＝0B．3x－y－5＝0C．3x＋y－5＝0D．3x＋y＋5＝0答案C解析AB的中點坐標為(1,2)，kAB＝eq\f(3－1,4－－2)＝eq\f(1,3)，AB的垂直平分線的斜率為－3，∴所求直線的方程為y－2＝－3(x－1)，即3x＋y－5＝0.4．已知M(0，－1)，點N在直線x－y＋1＝0上，且直線MN與直線x＋2y－3＝0垂直，則點N的坐標是()A．(－2，－3)B．(2,1)C．(2,3)D．(－2，－1)答案C解析設點N的坐標為(x，x＋1)，∵直線MN與直線x＋2y－3＝0垂直，∴kMN·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－1，∴kMN＝2，即eq\f(x＋1－－1,x－0)＝2，解得x＝2，故點N的坐標為(2,3)．5．以A(－1,1)，B(2，－1)，C(1,4)為頂點的三角形是()A．銳角三角形B．鈍角三角形C．以點A為直角頂點的直角三角形D．以點B為直角頂點的直角三角形答案C解析kAB＝eq\f(1－－1,－1－2)＝－eq\f(2,3)，kAC＝eq\f(4－1,1－－1)＝eq\f(3,2)，∵kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC，∴△ABC是以點A為直角頂點的直角三角形．6．設A，B是x軸上的兩點，點P的橫坐標為2，且|PA|＝|PB|，若直線PA的方程為x－y＋1＝0，則直線PB的方程為()A．x＋y－5＝0B．2x－y－1＝0C．2y－x－4＝0D．2x＋y－7＝0答案A解析由已知得A(－1,0)，P(2,3)，由|PA|＝|PB|，得B(5,0)，由兩點式得直線PB的方程為x＋y－5＝0.7．已知直線mx＋4y－2＝0與2x－5y＋n＝0垂直，垂足為(1，p)，則m＋n＋p的值為()A．24B．20C．0D．－4答案D解析由兩直線垂直，得2m－20＝0，m＝10.將(1，p)代入直線10x＋4y－2＝0中，得p＝－2.將(1，－2)代入到直線2x－5y＋n＝0中，得n＝－12，所以m＋p＋n＝－4.8．點P(a，b)關于直線l：x＋y＋1＝0對稱的點仍在l上，則a＋b等于()A．－1B．1C．2D．0答案A解析∵點P(a，b)關于l：x＋y＋1＝0對稱的點仍在l上，∴點P(a，b)在直線l上，∴a＋b＋1＝0，即a＋b＝－1.二、填空題9．點P(2,5)關于直線x＋y＝1的對稱點的坐標是____________．答案(－4，－1)解析設對稱點的坐標為(x0，y0)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y0－5,x0－2)×－1＝－1，,\f(x0＋2,2)＋\f(y0＋5,2)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝－4，,y0＝－1.))∴P(－4，－1)．10．已知點A(2,3)，B(1，－1)，C(－1，－2)，點D在x軸上，則當點D坐標為________時，AB⊥CD.答案(－9,0)解析設點D(x,0)，因為kAB＝eq\f(－1－3,1－2)＝4≠0，所以直線CD的斜率存在．則由AB⊥CD知，kAB·kCD＝－1，所以4·eq\f(－2－0,－1－x)＝－1，解得x＝－9.11．經過兩直線2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交點且與直線3x＋y－1＝0垂直的直線l的方程為________．答案5x－15y－18＝0解析由方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－3y－3＝0，,x＋y＋2＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(3,5)，,y＝－\f(7,5).))又所求直線與直線3x＋y－1＝0垂直，故k＝eq\f(1,3).∴直線方程為y＋eq\f(7,5)＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,5))).即5x－15y－18＝0.三、解答題12．已知直線l1：ax＋2y＋6＝0和l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0(a≠1)，試求a為何值時，(1)l1∥l2；(2)l1⊥l2.解(1)∵l1∥l2，∴eq\f(1,a)＝eq\f(a－1,2)≠eq\f(a2－1,6)，解得a＝－1.(2)∵l1⊥l2，∴a＋2(a－1)＝0，解得a＝eq\f(2,3).13．已知四邊形ABCD的頂點A(m，n)，B(5，－1)，C(4,2)，D(2,2)，求m和n的值，使四邊形ABCD為直角梯形．解(1)當∠A＝∠D＝90°時，如圖(1)所示，∵四邊形ABCD為直角梯形，∴AB∥DC且AD⊥AB.易求得m＝2，n＝－1.(2)當∠A＝∠B＝90°時，如圖(2)所示，∵四邊形ABCD為直角梯形，∴AD∥BC且AB⊥BC.∴kAD＝kBC，kAB·kBC＝－1，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(n－2,m－2)＝－3，