勾股定理的十六種證明方法證法1】d此王題相關圖片如下:aaaaaa做8個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b,斜邊長為c,再做三個邊長分別為a、b、c的正方形，把它們像上圖那樣拼成兩個正方形.從圖上可以看到，這兩個正方形的邊長都是a+b,所以面積相等.即a"2+b"2+4*(ab/2)=c"2+4*(ab/2)整理得到：a'2+b'2=c'2。【證法2】以a、b為直角邊，以c為斜邊做四個全等的直角三角形，則每個直角三角形的面積等于ab/2.把這四個直角三角形拼成如圖所示形狀，使A、E、B三點在一條直線上，B、F、C三點在一條直線上，C、G、D三點在一條直線上.JRtAHAE竺RtAEBF,ZAHE=ZBEF.?/ZAEH+ZAHE=90°,ZAEH+ZBEF=90°.ZHEF=180°—90°=90°.四邊形EFGH是一個邊長為c的正方形.它的面積等于「2.JRtAGDH竺RtAHAE,ZHGD=ZEHA.?/ZHGD+ZGHD=90°,ZEHA+ZGHD=90°.又ZGHE=90°,ZDHA=90°+90°=180°.ABCD是一個邊長為a+b的正方形，它的面積等于(a+b)'2..°.(a+b)"2=c"2+4*(ab/2), a"2+b"2=c"2。D此王題相關圖片如下:【證法3】以a、b為直角邊(b>a),以c為斜邊作四個全等的直角三角形，則每個直角三角形的面積等于ab/2.把這四個直角三角形拼成如圖所示形狀.?/RtADAH竺RtAABE,ZHDA=ZEAB.?/ZHAD+ZHAD=90°,ZEAB+ZHAD=90°,ABCD是一個邊長為c的正方形，它的面積等于「2.EF=FG=GH=HE=b—a,ZHEF=90°.EFGH是一個邊長為b—a的正方形，它的面積等于(b-a)辺..°.(b-a)"2+4*(ab/2)=c"2, a"2+b"2=c"2。【證法4】以a、b為直角邊，以c為斜邊作兩個全等的直角三角形，則每個直角三角形的面積等于ab/2.把這兩個直角三角形拼成如圖所示形狀，使A、E、B三點在一條直線上.RtAEAD竺RtACBE,.ZADE=ZBEC.ZAED+ZADE=90°,ZAED+ZBEC=90°.ZDEC=180°—90°=90°..ADEC是一個等腰直角三角形，它的面積等于"2/2.又ZDAE=90°,ZEBC=90°,AD〃BC.ABCD是一個直角梯形，它的面積等于(a+b)A2/2(a+b)"2/2=2*ab/2+c"2/2,aA2+bA2=cA2o【證法5】做四個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b,斜邊長為c.把它們拼成如圖那樣的一個多邊形，使D、E、F在一條直線上.過C作AC的延長線交DF于點P.D、E、F在一條直線上，且RtAGEF竺RtAEBD,ZEGF=ZBED,ZEGF+ZGEF=90°,ZBED+ZGEF=90°,ZBEG=180°—90°=90°.又AB=BE=EG=GA=c,ABEG是一個邊長為c的正方形..ZABC+ZCBE=90°.JRtAABC竺RtAEBD,.ZABC=ZEBD..ZEBD+ZCBE=90°.即ZCBD=90°.又ZBDE=90°,ZBCP=90°,BC=BD=a.BDPC是一個邊長為a的正方形.同理，HPFG是一個邊長為b的正方形.設多邊形GHCBE的面積為S,則a"2+b"2=S+2*ab/2c"2=S+2*ab/2a"2+b"2=c"2。=■此王題相關圖片如下:GHaBGHaB【證法6】做兩個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b(b>a)，斜邊長為c.再做一個邊長為c的正方形.把它們拼成如圖所示的多邊形，使E、A、C三點在一條直線上.過點Q作QP〃BC，交AC于點P.過點B作BM丄PQ，垂足為M；再過點F作FN丄PQ，垂足為N.ZBCA=90°，QP〃BC，ZMPC=90°，BM丄PQ，ZBMP=90°，BCPM是一個矩形，即ZMBC=90°.ZQBM+ZMBA=ZQBA=90°,ZABC+ZMBA=ZMBC=90°,ZQBM=ZABC,又ZBMP=90°,ZBCA=90°,BQ=BA=c,RtABMQ竺RtABCA.同理可證RtAQNF竺RtAAEF.從而將問題轉化為【證法4】（梅文鼎證明）.【證法7】做三個邊長分別為a、b、c的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使H、C、B三點在一條直線上，連結BF、CD.過C作CL丄DE，交AB于點M,交DE于點L.AF=AC,AB=AD,ZFAB=ZGAD，AFAB竺AGAD,?/AFAB的面積等于a'2/2,AGAD的面積等于矩形ADLM的面積的一半，矩形ADLM的面積=a"2.同理可證，矩形MLEB的面積=b'2.?/正方形ADEB的面積=矩形ADLM的面積+矩形MLEB的面積a"2+b"2=c"2。【證法8】如圖，在RtAABC中，設直角邊AC、BC的長度分別為a、b,斜邊AB的長為c,過點C作CD丄AB，垂足是D.在厶ADC和AACB中，ZADC=ZACB=90°，ZCAD=ZBAC，AADCsAACB.AD：AC=AC:AB，即AC"2=AD*AB.同理可證，ACDBsAACB，從而有BC"2=BD*AB.AL2+BC"2=(AD+BD)*AB=AB"2，即a"2+b"2=c"2。曰此王題相關圖片如下:證法9】做兩個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b(b>a)，斜邊長為c.再做一個邊長為c的正方形.把它們拼成如圖所示的多邊形.過A作AF丄AC,AF交GT于F,AF交DT于R.過B作BP丄AF,垂足為P.過D作DE與CB的延長線垂直，垂足為E,DE交AF于H.ZBAD=90°,ZPAC=90°,ZDAH=ZBAC.又ZDHA=90°,ZBCA=90°,AD=AB=c,RtADHA竺RtABCA..DH=BC=a,AH=AC=b.由作法可知,PBCA是一個矩形,所以RtAAPB竺RtABCA.即PB=CA=b,AP=a,從而PH=b—a.JRtADGT竺RtABCA,RtADHA竺RtABCA.RtADGT竺RtADHA.DH=DG=a,ZGDT=ZHDA.又ZDGT=90°,ZDHF=90°,ZGDH=ZGDT+ZTDH=ZHDA+ZTDH=90°,DGFH是一個邊長為a的正方形.GF=FH=a.TF丄AF,TF=GT—GF=b—a.TFPB是一個直角梯形，上底TF=b—a，下底BP=b,高FP=a+(b—a).用數字表示面積的編號（如圖），則以c為邊長的正方形的面積為曰此王題相關圖片如下:F=百十屍十禺十&-比+-存 .把②代入CD,得C2二色十禺十護一區一&十&十&=辭+尿+隔=滬+說JGa2gA536CGa2gA536C證法10】設直角三角形兩直角邊的長分別為a、b(b>a)，斜邊的長為c.做三個邊長分別為a、b、c的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使A、E、G三點在一條直線上.用數字表示面積的編號(如圖).ZTBE=ZABH=90°,ZTBH=ZABE.又ZBTH=ZBEA=90°,BT=BE=b，RtAHBT竺RtAABE..HT=AE=a.GH=GT—HT=b—a.又ZGHF+ZBHT=90°,ZDBC+ZBHT=ZTBH+ZBHT=90°.ZGHF=ZDBC.DB=EB—ED=b—a,ZHGF=ZBDC=90°，RtAHGF竺RtABDC.即S7=S2.過Q作QM丄AG，垂足是M.由ZBAQ=ZBEA=90°，可知ZABE=ZQAM，而AB=AQ=c，所以RtAABE竺RtAQAM.又RtAHBT竺RtAABE.所以RtAHBT竺RtAQAM.即S8=S5.由RtAABE竺RtAQAM，又得QM=AE=a，ZAQM=ZBAE.ZAQM+ZFQM=90°，ZBAE+ZCAR=90°，ZAQM=ZBAE，.ZFQM=ZCAR.又ZQMF=ZARC=90°，QM=AR=a，RtAQMF竺RtAARC.即S4=S6.曰此王題相關圖片如下:

c86aHMGAE5QvRc86aHMGAE5QvR【證法11】在RtAABC中，設直角邊BC=a,AC=b,斜邊AB=c.如圖，以B為圓心a為半徑作圓，交AB及AB的延長線分別于D、E,則BD=BE=BC=a.因為ZBCA=90°，點C在?B上，所以AC是。B的切線.由切割線定理，得5-1F證法12】

在RtAABC中，設直角邊BC=a,AC=b,斜邊AB=c（如圖）.過點A作AD〃CB,過點B作BD〃CA,則ACBD為矩形，矩形ACBD內接于一個圓.根據多列米定理，圓內接四邊形對角線的乘積等于兩對邊乘積之和,有【證法13】在RtAABC中，設直角邊BC=a,AC=b,斜邊AB=c.作RtAABC的內切圓。O,切點分別為D、E、F（如圖），設。O的半徑為r.AE=AF,BF=BD,CD=CE,AC+BC-AB=(AE+CE)+(BD+CD)-(AF-BF)=CE+CD=r+r=2r,曰此王題相關圖片如下:即AE0即c又22怔+b| = +；?'■4(r2+rcI=2戒1+3"+2說占=lab+c2^SlABC=2^占=kJLBU，*用+厲S3中…a十&=2rH-cEkASC~EiiA^L十Eh￡OC十EaA&C-cr十丄時十打r二2一「說十右十c尸2—12r+c+cir二2r2+叱，+A—aa2+2說3=4'r2+rc'+c證法14】過點C作CD丄AB，垂足是如圖，在RtAABC中，設直角邊AC、BC的長度分別為a過點C作CD丄AB，垂足是D.CIF■■■!■■*■■■■■■*曰‘此王題相關圖片如下:

假設屮十護H宀即假設AC2^rBC2AB2,則由AB2=衛月?/月二占3占°十占。'=AS*AD-^-A￡*5D可知AC2AB?AD-或者BC2AB^BD-即AD：AC^AC：￡K或者BD：BC^BC：上在AADG和AAGE中，'■'ZA=ZA, C二若AD：AC^AC：AB,貝UZADC^ZACB.在山CDE和AACE中，'.■ZB=ZB,.■-若ED；BC^BC；AB,貝UZCDB#ZACB_又丁ZACB=90°,.■-ZADC^90°,ZCDB^90°.這與作法CD丄AE矛盾.所以，AC2BC2AB2的假設不能成