本文格式為Word版，下載可任意編輯——小學(xué)奧數(shù)圖形的面積

直線型面積計(jì)算（1）

圖形abaahchadhADabaCBb周長(zhǎng)公式周長(zhǎng)=2(a+b)周長(zhǎng)=4a周長(zhǎng)=a+b+cbc周長(zhǎng)=2(a+b)面積公式面積=ab面積=a21面積=ah2面積=ah名稱(chēng)長(zhǎng)方形正方形三角形平行四邊形梯形菱形1周長(zhǎng)=a+b+c+d面積=(a+b)h2周長(zhǎng)=4a1面積=AC?BD2

對(duì)于三角形的面積計(jì)算，我們除了熟練運(yùn)用基本的計(jì)算公式，在技巧性很強(qiáng)的奧數(shù)題中還要根據(jù)相應(yīng)的性質(zhì)和結(jié)論來(lái)解題，下面就是我們小學(xué)奧數(shù)常用的三條性質(zhì)：

①等底等高的兩個(gè)三角形面積相等；

②兩個(gè)三角形高相等，面積比等于它們的底之比；兩個(gè)三角形底相等，面積比等于它們的高之比；

③夾在一組平行線之間的等積變形，如S?ACD?S?BCD；反之，假使S?ACD?S?BCD，則可知直線AB平行于CD．

ABCD

如圖，長(zhǎng)方形ABCD的面積是56平方厘米，點(diǎn)E、F、G分別是長(zhǎng)方形ABCD邊上的中點(diǎn)，H為AD邊上的任意一點(diǎn)，

求陰影部分的面積．

AEBHDGAEBHDG

此題是等底等高的兩個(gè)三角形面積相等的應(yīng)用．

連接BH、CH．∵AE?EB，∴S?AEH?S?BEH．

同理，S?BFH?S?CFH，S?CGH=S?DGH，∴S陰影?12S長(zhǎng)方形ABCD?12?56?28FCFC（平方厘米）．

［鋪墊］你有多少種方法將任意一個(gè)三角形分成：

⑴2個(gè)面積相等的三角形；⑵3個(gè)面積相等的三角形；⑶4個(gè)面積相等的三角形．

［分析］⑴如右圖，D、E、F分別是對(duì)應(yīng)邊上的中點(diǎn)，這樣就將三角形分成了2個(gè)面積相等的三角形；

AEAAFCB

分別是對(duì)應(yīng)線段的中點(diǎn)；答案不唯一；

BDCB是BCC⑵如右圖，D、E的三等分點(diǎn)，F(xiàn)、G

AAFAGBDECBDCBDC

⑶如下圖，答案不唯一，以下僅供參考．

如圖，三角形ABC的面積為1，其中AE?3AB，BD?2BC，三角形BDE的面積是多少？

(1)(2)(3)(4)(5)ABCDEABCDE

連接CE．

∵AE?3AB，∴BE?2AB，S?BCE?2S?ACB．

又∵BD?2BC，∴S?BDE?2S?BCE?4S?ABC?4．

如圖，三角形ABC中，DC?2BD，CE?3AE，三角形ADE的面積是20平方厘米，三角形ABC的面積是多少？

AEB∵CE?3AE，∴AC?4AE,S?ADC?4S?ADE;

又∵DC?2BD,∴BC?32DCDC,S?ABC?32S?ADC?6S?ADE?120（平方厘米）．

［鋪墊］如圖，三角形ABC被分成了甲、乙兩部分，BD?DC?4，BE?3，AE?6，甲部分面積是乙部分面積的幾分之幾？

AAEB甲乙DCEBDC

［分析］連接AD．

∵BE?3,AE?6，

∴BE?13又∵BD?DC?4,

AB,S?BDE?13S?ABD．

∴S?ABD?∴S?BDE?∴S甲?151213S?ABC,

16S?ABCS?ABD?,

S乙．

［拓展］如圖，在三角形ABC中，BC?8厘米，AD?6厘米，E、F分別為AB和AC的中點(diǎn)，那么三角形EBF的面積是多少平

方厘米？

AFEB［分析］∵F是AC的中點(diǎn),

∴S?ABF?12S?ABC12AFECDBC

，，

14?12?8?6?6同理S?BEF?∴S?BEF?14S?ABFS?ABC?（平方厘米）．

如圖，已知三角形ABC面積為1，延長(zhǎng)AB至D，使BD?AB；延長(zhǎng)BC至E，使CE?2BC；延長(zhǎng)CA至F，使AF?3AC，

求三角形DEF的面積．

FFABDCEBDACE

此題是性質(zhì)的反復(fù)使用（還可以用燕尾定理，但本講不用這種方法，燕尾定理我們會(huì)放到五年級(jí)春季再講）．

連接AE、CD．

∵

S?ABCS?DBC1?，S?ABC?1，1∴S?DBC?1．

同理可得其它，最終三角形DEF的面積?18．

［拓展］如圖，四邊形EFGH的面積是66平方米，EA?AB，CB?BF，DC?CG，HD?DA，求四邊形ABCD的面積．

HDAECBGHDCBGFAEF

［分析］連接BD.設(shè)S?DCB?S1，S?DAB?S2

∵CB?BF，

CB又∵DC?CG,

∴S?CDF?CB?BFS?CDB?2S?CDB,

∴S?CFG?S?CDF?2S1，

同理S?AEH?2S2，

∴S?CFG?S?AEH?2SABCD

連接AC，同理S?HDG?S?BEF?2SABCD

∴SEFGH?S?CFG?S?AEH?S?HDG?S?BEF?SABCD?5SABCD，SABCD?15SEFGH?1315（平方米）．

［拓展］如圖，已知長(zhǎng)方形ADEF的面積16，三角形ADB的面積是3，三角形ACF的面積是4，那么三角形ABC的面積是多少？

AFCAFCDBEDBE

［分析］連接對(duì)角線AE．∵ADEF是長(zhǎng)方形∴S?ADE?S?AEF?∴∴

DBDE?S?ADBS?ADE?3812S?ADEFFCEF

?S?ACFS?AEF?12，

?5

?12BEDE?DE?DB∴S?BECDE8EF1515????16?2822，

CE?FE?CFEF

∴S?ABC?S?ADEF?S?ADB?S?ACF?S?CBE?132．

［拓展］如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，BE:EC?2:3，DF:FC?1:2，三角形DFG的面積為2平方厘米，求長(zhǎng)方形ABCD的面積．

AGDFCAGDFC

311110S長(zhǎng)方形ABCDBEBE［分析］連接AE，F(xiàn)E．

由于BE:EC?2:3，DF:FC?1:2，所以S?DEF?(??)S長(zhǎng)方形ABCD?532．

16S長(zhǎng)方形ABCD由于S?AED?以長(zhǎng)方形

12ABCDS長(zhǎng)方形ABCD，AG:GF?1210:1?5:1，所以S?AGD?5S?GDF?10，所以S?AFD?12．由于S?AFD?，所

的面積是72平方厘米．

（第八屆小數(shù)報(bào)數(shù)學(xué)競(jìng)賽決賽試題）如下圖，E、F分別是梯形ABCD的下底BC和腰CD上的點(diǎn)，DF?FC，并且甲、

乙、丙3個(gè)三角形面積相等．已知梯形ABCD的面積是32平方厘米．求圖中陰影部分的面積．

A乙DF甲BE丙C12

由于乙、丙兩個(gè)三角形面積相等，底DF?FC．所以A到CD的距離與E到CD的距離相等，即AE與CD平行，四邊形

ADCE是平行四邊形，陰影部分的面積?平行四邊形ADCE的面積的

25?12.8，所以陰影部分的面積?乙的面積?2．從而陰影

部分的面積?32?（平方厘米）．

［拓展］如圖，在平行四邊形ABCD中，BE?EC，CF?2FD．求陰影面積與空白面積的比．

AHFGBECD

14S四邊形ABCD［分析］由于BE?EC，CF?2FD，所以S?ABE?由于AD?2BE，所以AG?2GE，所以S?BGE?13S?ABE?18112，S?ADF?1616S四邊形ABCD．

S四邊形ABCD，S?ABG?23S?ABE?S四邊形ABCD．

同理可得，S?ADH?由于S?BCD?13S四邊形ABCDS四邊形ABCD，S?DHF?124S四邊形ABCD．

12?112?124?16?18)S四邊形ABCD?23S四邊形ABCD12S四邊形ABCD，所以空白部分的面積?(，所以陰影部分的面積是

．

12:?1:2，所以陰影面積與空白面積的比是1:233．

如下圖，四邊形ABCD與AEGF都是平行四邊形，請(qǐng)你證明它們的面積相等．

FABGDECDEAFBGC此題主要是讓學(xué)生了解并會(huì)運(yùn)用等底等高的兩個(gè)平行四邊形面積相等和三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積

的一半．

證明：連接BE．（我們通過(guò)?ABE把這兩個(gè)看似無(wú)關(guān)的平行四邊形聯(lián)系在一起．）

∵在平行四邊形ABCD中，S?ABE?∴S?ABG?12S?ABCD1212?AB?AB邊上的高，

（也就是等積變換的重要依據(jù)③的特別狀況）．

，∴平行四邊形ABCD與AEGF面積相等．

同理，S?ABE?S?AEGF

［拓展］如下圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8厘米，長(zhǎng)方形EBGF的長(zhǎng)BG為10厘米，那么長(zhǎng)方形的寬為幾厘米？

EAFDGCBFDAEB

［分析］此題主要是讓學(xué)生會(huì)運(yùn)用等底等高的兩個(gè)平行四邊形面積相等（長(zhǎng)方形和正方形可以看作特別的平行四邊形）．三角形面

積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半．

證明：連接AG.（我們通過(guò)?ABG把這兩個(gè)長(zhǎng)方形和正方形聯(lián)系在一起）．

∵在正方形ABCD中，S?ABG?∴S?ABG?12S?ABCD1212?AB?ABGC邊上的高，

（三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半）

同理，S?ABG?SEFGB．

∴正方形ABCD與長(zhǎng)方形EFGB面積相等.長(zhǎng)方形的寬?8?8?10?6.4（厘米）．

如圖，正方形ABCD和正方形CEFG，且正方形ABCD邊長(zhǎng)為10厘米，求圖中三角形BFD的面積為多少平方厘米？

ADGHFADGHFBCEBCE連接CF．

∵BD，CF都是正方形的對(duì)角線

∴?DBC??FCE?45?，BD∥CF．

∴?BFD與?BCD同底等高，S?BFD?S?BCD?12

?10?10?50(平方厘米)．

（03年西城某重點(diǎn)中學(xué)小升初分班考題）右圖是由大、小兩個(gè)正方形組成的，小正方形的邊長(zhǎng)是4厘米，求三角形ABC的面積．

ABGEDF4CABGEDF4C

這道題似乎缺少大正方形的邊長(zhǎng)這個(gè)條件，實(shí)際上此題的結(jié)果與大正方形的邊長(zhǎng)沒(méi)關(guān)系．連接AD（見(jiàn)右上圖），可以看

出，三角形ABD與三角形ACD的底都等于小正方形的邊長(zhǎng)，高都等于大正方形的邊長(zhǎng)，所以面積相等．由于三角形AGD是三角形ABD與三角形ACD的公共部分，所以去掉這個(gè)公共部分，根據(jù)差不變性質(zhì)，剩下的兩個(gè)部分，即三角形ABG與三角形GCD面積依舊相等．根據(jù)等量代換，求三角形ABC的面積等于求三角形BCD的面積，等于4?4?2?8．

［拓展］（小學(xué)數(shù)學(xué)夏令營(yíng)五年級(jí)組試題）如圖，四邊形ABCD和四邊形DEFG都是正方形，已知三角形AFH的面積為6平方厘米，

求三角形CDH的面積．

AFHGB

［分析］尋常求三角形的面積，都是先求它的底和高．題目中沒(méi)有一條線段的長(zhǎng)度是已知的，所以我們只能通過(guò)創(chuàng)造等積的方法來(lái)

求．

直接找三角形HDC與三角形AFH的關(guān)系還很難，而且也沒(méi)有利用“四邊形ABCD和四邊形DEFG是正方形〞這一條件．我

們不妨將它們都補(bǔ)上梯形DEFH這一塊．尋覓新得到大三角形CEF和大直角梯形DEFA之間的關(guān)系．經(jīng)過(guò)驗(yàn)算，可以知道它們的面積是相等的．從而得到三角形HDC與三角形AFH面積相等，也是6平方厘米．

如右圖，在平行四邊形ABCD中，直線CF交AB于E，交DA延長(zhǎng)線于F，若S?ADE?1，求?BEF的面積．

EDCCEDABCEFDAB［分析］此題主要是讓學(xué)生并會(huì)運(yùn)用等底等高的兩個(gè)三角形面積相等（或夾在一組平行線之間的三角形面積相等）和等量代換的思

想.連接AC．

∵AB∥CD，∴S?ADE?S?ACE．同理AD∥BC，∴S?ACF?S?ABF．BA又S?ACF?S?ACE?S?AEF，S?ABF?S?BEF?S?AEF，∴S?ACE?S?BEF，即

S?BEF?S?ADE?1．

F

（小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克決賽試題）右圖中，ABCD是7?4的長(zhǎng)方形，

10?2的長(zhǎng)方形，求三角形BCO與三角形EFO的面積之差．

直接求出三角形BCO與三角形EFO的面積之差，不太簡(jiǎn)單做到．如

性質(zhì)，將所求面積之差轉(zhuǎn)化為另外兩個(gè)圖形的面積之差，而這兩個(gè)差簡(jiǎn)單求出，那么問(wèn)題就解決了．法1：連結(jié)BE（見(jiàn)右圖）．三角形BCO與三角形EFO都加上三角形化為求三角形BEC與三角形BEF的面積之差．所求為4?(10?7)?2?2?(10?7)?2?3．

法2：連結(jié)CF（見(jiàn)右圖）．三角形BCO與三角形EFO都加上三角形化為求三角形BCF與三角形ECF的面積之差．所求為4?(10?7)?2?2?(10?7)?2?3．

法3：延長(zhǎng)BC交GF于H（見(jiàn)右圖）．三角形BCO與三角形EFO都來(lái)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求三角形BHF與矩形CEFH的面積之差．所求為(4?2)?(10?7)?2?2?(10?7)?3．

法4：延長(zhǎng)AB，F(xiàn)E交于H（見(jiàn)右圖）．三角形BCO與三角形EFO原來(lái)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求矩形BHEC與直角三角形BHF的面積之4?(?10?7?)(?．4???

如右圖所示，在長(zhǎng)方形內(nèi)畫(huà)出一些直線，已知邊上有三塊面積分

49．那么圖中陰影部分的面積是多少？

DGADGADGADGCOBEFDEFG是

COBEFBEO果利用差不變圖形的面積之，則原來(lái)的問(wèn)題轉(zhuǎn)

CBCOEFCFO，則原來(lái)的問(wèn)題轉(zhuǎn)

加上梯形COFH，則原

OEFADGBHCOHEF都加上梯形BHEO，則差．所求為

別是13，35，

A4935DEB13

三角形ABC的面積?三角形CDE的面積?(13?35?49)?長(zhǎng)方形面積?陰影部分面積；又由于三角形ABC的面積?三角形

CDEC的面積?12長(zhǎng)方形面積，所以可得：

陰影部分面積?13?35?49?97．

1．如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，Y是BD的中點(diǎn)，Z是DY的中點(diǎn)，假使AB?24厘米，BC?8厘米，求三角形ZCY的面積．

DZAYCB

1212?12?DB∵Y是BD的中點(diǎn)，Z是DY的中點(diǎn)，∴ZY?又∵ABCD是長(zhǎng)方形，∴S?ZCY?

14S?DCB?14?，S?ZCY?14S?DCB，

S?ABCD?24(平方厘米)．

2．如圖，三角形ABC中，AB是AD的5倍，AC是AE的3倍，假使三角形ADE的面積等于1，那么三角形ABC的面積是

多少？

ADB連接BE.∵AE?又∵AD?

15ABAEC13ECDB∴S?ABE?15S?ABE?1EC31S?ABC.S?ABC

∴S?ADE?15，∴S?ABC?15S?ADE?15.

3．兩個(gè)正方形組成右圖所示的組合圖形．已知組合圖形的周長(zhǎng)是52厘米，DG?4厘米，求陰影部分的面積．

ADGFE

組合圖形的周長(zhǎng)并不等于兩個(gè)正方形的周長(zhǎng)之和，由于CG部分重合了．用組合圖形的周長(zhǎng)減去DG，就得到大、小正方

形邊長(zhǎng)之和的三倍，所以?xún)蓚€(gè)正方形的邊長(zhǎng)之和等于(52?4)?3?16（厘米）．又由兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)之差是4厘米，可求出大正方形邊長(zhǎng)?(16?4)?2?10（厘米），小正方形邊長(zhǎng)?(16?4)?2?6（厘米）．陰影部分面積

?S?BDG?S?BFG?4?10?2?6?6?2?38（平方厘米）．

BC

4．在右圖中，平行四邊形ABCD的邊BC長(zhǎng)10厘米，直角三角形ECB的直角邊EC長(zhǎng)8厘米．已知陰影部分的總面積比三角

形EFG的面積大10平方厘米，求平行四邊形ABCD的面積．

EAFGD

［分析］由于陰影部分比三角形EFG的面積大10平方厘米，都加上梯形FGCB后，根據(jù)差不變性質(zhì)，所得的兩個(gè)新圖形的面積差

不變，即平行四邊行ABCD比直角三角形ECB的面積大10平方厘米，所以平行四邊形ABCD的面積等于10?8?2?10?50平方厘米．

5．右圖中，CA?AB?4厘米，三角形ABE比三角形CDE的面積大2平方厘米，求CD的長(zhǎng)．

BC

DCEAB

連結(jié)CB．三角形DCB的面積為4?4?2?2?6平方厘米，CD?6?2?4?3厘米．

直線型面積計(jì)算（2）

在小學(xué)的學(xué)習(xí)中幾何是一個(gè)很重要的部分，每一個(gè)幾何圖形都十分美好，幾何圖形的美好不僅來(lái)源于它的外形，更重要的是在幾何模型上出現(xiàn)的那些美好的規(guī)律，下面我們就一起來(lái)看看幾個(gè)美好的幾何模型：

模型一：任意四邊形中的比例關(guān)系(“蝴蝶定理〞)：

DAS2BS1OS3C

①S1:S2?S4:S3或者S1?S3?S2?S4②AO:OC??S1?S2?:?S4?S3?

蝴蝶定理為我們提供了解決不規(guī)則四邊形的面積問(wèn)題的一個(gè)途徑．通過(guò)構(gòu)造模型，一方面可以使不規(guī)則四邊形的面積關(guān)系與四邊形內(nèi)的三角形相聯(lián)系；另一方面，也可以得到與面積對(duì)應(yīng)的對(duì)角線的比例關(guān)系．

模型二：梯形中比例關(guān)系(“梯形蝴蝶定理〞)：

aADS1S2S4OS4S3BbC

①S1:S3?a2:b2

②S1:S3:S2:S4?a2:b2:ab:ab；③S的對(duì)應(yīng)份數(shù)為?a?b?．

梯形蝴蝶定理給我們提供了解決梯形面積與上、下底之間關(guān)系相互轉(zhuǎn)換的渠道，通過(guò)構(gòu)造模型，直接應(yīng)用結(jié)論，往往在題目中有事半功倍的效果．

模型三：相像三角形性質(zhì)：

2AEAFDDB①

ADAB?AEACFG?DEBC?ECAFAG

BGC

；

②S△ADE：S△ABC?AF2:AG2．

所謂的相像三角形，就是形狀一致，大小不同的三角形(只要其形狀不改變，不管大小怎樣改變它們都相像)，與相像三角形相關(guān)

的常用的性質(zhì)及定理如下：

⑴相像三角形的一切對(duì)應(yīng)線段的長(zhǎng)度成比例，并且這個(gè)比例等于它們的相像比；⑵相像三角形的面積比等于它們相像比的平方；

⑶連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線．

三角形中位線定理：三角形的中位線長(zhǎng)等于它所對(duì)應(yīng)的底邊長(zhǎng)的一半．

相像三角形模型，給我們提供了三角形之間的邊與面積關(guān)系相互轉(zhuǎn)化的工具．在小學(xué)奧數(shù)里，出現(xiàn)最多的狀況是由于兩條平行線而出現(xiàn)的相像三角形

如圖，四邊形被兩條對(duì)角線分成4個(gè)三角形，其中三個(gè)三角形的面積已知，求：⑴三角形BGC的面積；⑵AG:GC?？

A2B1G3DC⑴根據(jù)蝴蝶定理，S?BGC?1?2?3，那么S?BGC?6；

⑵根據(jù)蝴蝶定理，AG:GC??1?2?:?3?6??1:3．

(2023年南京智力數(shù)學(xué)冬令營(yíng))如下圖，梯形ABCD的AB∥CD，對(duì)角線AC，BD交于O，已知?AOB與?BOC的

面積分別為25平方厘米與35平方厘米，那么梯形ABCD的面積是________平方厘米．

A25OD35B根據(jù)梯形蝴蝶定理，S?AOB:S?BOC?a2:ab?25:35，可得a:b?5:，再根據(jù)梯形蝴蝶定理，

S?AOB:S?DOC?a:b?5:7?25:49，所以S?DOC?49(平方厘米)．那么梯形ABCD的面積為25?35?35?49?144(平方

2222C厘米)．

［鋪墊］梯形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，已知梯形上底為2，且三角形ABO的面積等于三角形BOC面積的

形AOD與三角形BOC的面積之比．

23，求三角

ADO

BC

［分析］根據(jù)梯形蝴蝶定理，S?AOB:S?BOC?ab:b2?2:3，可以求出a:b?2:3，

再根據(jù)梯形蝴蝶定理，S?AOD:S?BOC?a2:b2?22:32?4:9．

通過(guò)利用已有幾何模型，我們輕松解決了這個(gè)問(wèn)題，而沒(méi)有像以前一樣，為了某個(gè)條件的缺乏而千辛萬(wàn)苦進(jìn)行構(gòu)造假設(shè)，

所以，請(qǐng)同學(xué)們一定要牢記幾何模型的結(jié)論．

四邊形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O(如下圖)．假使三角形ABD的面積等于三角形BCD的面積的，DO?3，那么CO的長(zhǎng)度是DO的長(zhǎng)度的_________倍．

13，且

AO?2AOBDAHOCBDG

ABCD在此題中，四邊形為任意四邊形，對(duì)于這種“不良四邊形〞，無(wú)外乎兩種處理方法：⑴利用已知條件，向已有模型C

靠攏，從而快速解決；⑵通過(guò)畫(huà)輔助線來(lái)改造不良四邊形．看到題目中給出條件S?ABD:S?BCD?1:3，這可以向模型一蝴蝶定理靠攏，于是得出一種解法．又觀測(cè)題目中給出的已知條件是面積的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，可以得到其次種解法，但是其次種解法需要一個(gè)中介來(lái)改造這個(gè)“不良四邊形〞，于是可以作AH垂直BD于H，CG垂直BD于G，面積比轉(zhuǎn)化為高之比．再應(yīng)用結(jié)論：三角形高一致，則面積之比等于底邊之比，得出結(jié)果．請(qǐng)老師注意比較兩種解法，使學(xué)生體會(huì)到蝴蝶定理的優(yōu)勢(shì)，從而主觀上愿意把握并使用蝴蝶定理解決問(wèn)題．解法一：∵AO:OC?S?ABD:S?BDC?1:3，∴OC?2?3?6，

∴OC:OD?6:3?2:1．

解法二：作AH?BD于H，CG?BD于G．∵S?ABD?∴AH?1313S?BCD，

CG13，，

∴S?AOD?1S?DOC∴AO?CO，

3∴OC?2?3?6，

∴OC:OD?6:3?2:1．

在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，BE?2EC，DF?2FC．求四邊形ABGD的面積．

ABABGDFECDGFEC題目要求四邊形ABGD的面積，可以發(fā)現(xiàn)這個(gè)四邊形是個(gè)“不良四邊形〞，需要對(duì)它進(jìn)行改造．尋常在一個(gè)四邊形中畫(huà)輔

助線，會(huì)想到畫(huà)對(duì)角線，又注意到E、F都是三等分點(diǎn)，假使連接EF，由于EF∥BD，則可以構(gòu)造一個(gè)梯形，從而應(yīng)用梯形蝴蝶定理快速求解．

由于BE?2EC，DF?2FC，所以BD:EF?3:1．

根據(jù)梯形蝴蝶定理可以知道，等腰梯形BDFE四部分面積比為1:3:3:9；而等腰梯形BDFE的面積為：?1?1?2112?13?13?49，

所以S?BDG?SBDFE?91?3?3?912?14，

14?34得SABGD?S?ADB?S?BDG?

?1?1?．

如圖，正方形ABCD面積為1，M是AD邊上的中點(diǎn)．求圖中陰影部分的面積．

BCGADM

12由于M是AD邊上的中點(diǎn)，所以AM?2，可得S梯形AMCB?234，

由于AM:BC?1:2，根據(jù)梯形蝴蝶定理可以知道

S?AMG:S?ABG:S?MCG:S?BCG?1（:1?2）（:1?2）:2?1:2:2:4，

2?24344913所以陰影部分面積占梯形面積的

如圖，在長(zhǎng)方形

1?2?2?49ABCD中，AB?6，AD?2?，所以S陰影???．

，AE?EF?FB，求陰影部分的面積．

AEOFBAEOFB

如圖，連接DE，DE將陰影部分的面積分為兩個(gè)部分，其中三角形AED的面積為2?6?3?2?2．

由于EF:DC，根據(jù)梯形蝴蝶定理，S?DEO:S?EFO?3:1，所以S?DEO??1:3S?DEODCDC34S?DEF，而S?DEF?S?ADE?2，所以

?34，陰影部分的面積為2?1.5?3.5?2?1.5．

相像三角形性質(zhì)

在圖中的正方形中，A，B，C分別是所在邊的中點(diǎn)，?CDO的面積是?ABO面積的幾倍？

CFCBOADBOAD連接BC，易知OA∥EF，根據(jù)相像三角形性質(zhì)，可知OB:OD?AE:AD，且OA:BE?DA:DE?1:2，所以?CDO的面

積等于?CBO的面積；由OA?3倍．

如圖，線段AB與BC垂直，已知AD?EC?4，BD?BE?6，那么圖中陰影部分面積是多少？

12BE?14ACE可得CO?3OA，所以S?CDO?S?CBO?3S?ABO，即?CDO的面積是?ABO面積的

ADADADOOB解法一：這個(gè)圖是個(gè)對(duì)稱(chēng)圖形，且各邊長(zhǎng)度已經(jīng)給出，不妨連接這個(gè)圖形的對(duì)稱(chēng)軸看看．

作輔助線BO，則圖形關(guān)于BO對(duì)稱(chēng)，有S?ADO?S?CEO，S?DBO?S?EBO，且S?ADO:S?DBO?4:6?2:3．設(shè)?ADO的面積為2份，則?DBO的面積為3份，直角三角形ABE的面積為8份．

由于S?ABE?6?10?2?30，而陰影部分的面積為4份，所以陰影部分的面積為30?8?4?15．

?4，BD?BE?6，所以DE∥AC，根據(jù)相像三角形性質(zhì)，可知解法二：連接DE、AC．由于AD?ECDE:AC?BD:BA?6:10?3:5，

根據(jù)梯形蝴蝶定理，S?DOE:S?DOA:S?COE:S?COA?32:?3?5?:?3?5?:52?9:15:15:25，所以

ECBECBECS陰影:S梯形AD??E?1C?5?12?1?5?6?6=32?:??915S陰影1，即?1532155S梯形AD25；EC3215:32又S梯形ADEC?

12?10?10?，所以S陰影?S梯形ADEC?15．

13右圖中正方形的面積為1，E、F分別為AB、BD的中點(diǎn)，GC?FC．求陰影部分的面積．

ADADEFGEFG

題中條件給出的都是比例關(guān)系，由此可以初步推斷陰影部分的面積要通過(guò)比例求解，而圖中出現(xiàn)最多的就是三角形，那么

首先想到的就是利用相像三角形的性質(zhì)．

陰影部分為三角形，已知底邊為正方形邊長(zhǎng)的一半，只要求出高，便可求出面積．可以作FH垂直BC于H，GI垂直BC于I．

根據(jù)相像三角形性質(zhì)，CI:CH?CG:CF?1:3，又由于CH?HB，所以CI:CB?1:6，即BI:BC??6?1?:6?5:6，所以

S?BGE?12?12?56?524BCBHIC．

OE垂直AD于E，如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，交AF于O，已知AH?5cm，AF與BE、BD分別交于G、E為AD的中點(diǎn)，H，

HF?3cm，求AG．

AGEDOHFCB由于AB∥DF，利用相像三角形性質(zhì)可以得到AB:DF?AH:HF?5:3，

又由于E為AD中點(diǎn)，那么有OE:FD?1:2，

所以AB:OE?5:而AO?12AF?1232?10:3，利用相像三角形性質(zhì)可以得到AG:GO?AB:OE?10:3，

1013?4013??5?3??4?cm?，所以AG?4??cm?．

ABCD是平行四邊形，面積為72平方厘米，E、F分別為AB、BC的中點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積為＿＿＿＿平方厘