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文檔簡介

實例:

變力沿曲線所作的功第二節對坐標的曲線積分一、對坐標的曲線積分的概念與性質設一質點受如下變力作用在平面內從點沿光滑曲線弧移動到點.求移動過程中變力所作的功.“分割，近似代替，求和，取極限”定義：設為面內從點到點的一條有向光滑曲線弧，函數在上有界.在上沿的方向任意插入一點列把分成個有向小弧段設，點為上任意取定的點.如果當各小弧段長度的最大值

時，的極限總存在，則稱此極限為函數在有向曲線弧上對坐標的曲線積分，記作類似地，如果總存在，則稱此極限為函數在有向曲線弧上對坐標的曲線積分，記作即其中叫做被積函數，叫做積分弧段.第二類曲線積分●當在有向光滑曲線弧上連續時，第二類曲線積分存在組合形式：其中推廣：空間有向曲線弧對坐標的曲線積分的性質：性質1：設為常數，則性質2：若有向曲線弧可分成兩段光滑的有向曲線弧和，則性質3：設是有向光滑曲線弧，是的反向曲線弧，則二、對坐標的曲線積分的計算法定理：設

在有向曲線弧上有定義且連續，的參數方程為當參數單調地由變到時，點從的起點沿運動到終點，在以及為端點的閉區間上具有一階連續導數，且則曲線積分存在，且特殊情形：(1)若由方程給出，起點為，終點為(2)若由方程給出，起點為，終點為例1

計算，其中為拋物線上從點到點的一段弧.例2

計算，其中為(1)半徑為，圓心為原點，按逆時針方向繞行的上半圓周；(2)從點沿軸到點的直線段.推廣：空間曲線的參數方程則例3

計算，其中是從點到點的直線段.例4

計算，其中為(1)拋物線上從到的一段弧；(2)拋物線上從到的一段弧；(3)有向折線，這里依次是點三、兩類曲線積分之間的聯系設有向曲線弧的參數方程為曲線弧的切向量的方向余弦不妨設起點和終點分別對應參數類似地，空間曲線上的兩類曲線積分之間有如下聯系：例5

設為曲線上相應于從0變到1的曲線弧，把對

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