2006年入學統一考試數學三試一、填空題：1-6424分，請將答案寫在答題紙指定位置上n1 nn設函數f(x)在x2的某領域內可導,且fxefx,f21,則f2 設函數f(u)可微,且f01,則zf4x2y2在點(1,2)處的全微分 2 1

2,E為2階單位矩陣,矩陣E滿足BAB2E,則B 設 量X與Y相互獨立,且均服從區間0,3上的均勻分布,則PmaxX,Y1設總體X的概率密度為fx1exx,x,x

x2機樣本,其樣本方差S2,則ES2

二、選擇題：9-14432分，下列每小題給出的四個選項中，只有一項yf(xf(x

f(x0，xxx0量，y與dy分別為f(x)在點x0處對應的增量與微分，若x0，則 y0dxy(C)ydy(C)ydyy設函數fxx0處連續,且h

fh2

1,則 f00且f'0存 (B)f01且f'0存(C)f00且f'0存 (D)f01且f'0存若級數an收斂,則級數

收

n1nan

an

收

anan12設非齊次線性微分方程yP(x)yQ(x)有兩個的解y1x,y2x,C為任意常數,則 設fx,y與x,y均為可微函數,且yx,y0,已知x0,y0是fx,y在約束條件x,y0下的一個極值點,下列選項正確的是( fxx0y00,則fyx0y0(C)fxx0y00,則fyx0y0

fxx0y00,則fyx0y0(D)fxx0y00,則fyx0y0(12)設,s均為n維列向量A是 (A)若,s線性相關，則A1,As線性相關(B)若,s線性相關，則A1,(C)若,s線性無關，則A1,(D)若,s線性無關A1,As線性無關A3階矩陣,A21B,B第一列的-12 0 C,記P0 0，則 01

CP1

C

CPT

C設 量X服從正態分布N,2, 量Y服從正態分布N,2, 1

1

1

1三、解答題：15－2394分.請將解答寫在答題紙指定的位置上.解答應寫出文字說(15)(7分 1ysin 設fx,y

x0y0,1

gx

fx,y

limgx(16)(7分計算二重積分D

y2xydxdy,其中Dyxy1x0,所圍成的平面區域(17)(10分證明:當0ab時bsinb2cosbbasina2cosaa(18)(8分XOY坐標平面上,LM10,Pxyx0處的切線斜率與直線OP的斜率之差等于ax(常數a>0)L的方程Lyax8時,確定a的值3(19)(10分求冪級數

1n1n2n

的收斂域及和函數s(x)(20)(13分41a,1,1,1T,22a22T,3,3,3a,3T 44444aTa為何值時1,2,3,4線性相關?當1,2,3,4線性相關時,(21)(13分設3階實對稱矩陣A的各行 和均為3,向量1,2,1T

Ax0的兩個解求正交矩陣Q和對角矩陣,使得QTAQAA及A3E)6,E3階單位矩陣2(22)(13分

21,1x2設隨量X的概率密度為f

x

,0x

令YX2Fxy變量X,Y的分布函數求 (I)Y的概率密度fYy

covX,YF1,4 (23)(13分X

0xfx,,1x

,其中 01,X1,X2,......Xn為來自總體X的簡單隨機樣本,記N為樣本值x1,x2 xn中1的個數求(I)的矩估計(II)的最大似然估計2006年入學統一考試數學三試題解n【詳解】題目數列的極限，由于數列中有(1) u(n1記 n記

2n1

u2n

lim

2n

lim

2n)

u2n1

lim(2nn

lim

)所

【答案】【詳解】題目抽象函數在某點處的高階導數。利用題目已知的函數關系式進行求導便f(xefx)，有fx)(efx)efx)fx)e2f所 f(x)(e2f(x))e2f(x)(2f(x))2e2f(x)f(x)2e3f(x2代入，得f(2)2e3f(22e3【答案】4dx1：由微分形式不變性，有dz

f(4x2y2)d(4x2y2)

f(4x2y2)(8xdx2dz(1,2)f(0)(8dx4dy)4dx-方法 zf(4x2y2)

zf(4x2y2)(2y)x1y2,f(01，代入dzzdxzdy便得如上結果 【答案】BAB2EBA2EBBAE)2E,兩邊取行列式,得B(AE)2E4EA

1 2 0 1A

112

2E22EB

22【答案】1

max{X,Y}1X1,Y1X 量X與Y均從區間[03PX111dx1PY111dy1.X與Y

0

0 Pmax(x,y)1Px1,Y1Px1PY111 【答案】E(S2DXDX即可Xf(xxf(xEX)xf(x)dx所 E(S2)D(X)E(X2)[E(X)]2E(X2000x2f(x)dx2x2f(x)dxx2exdx000 x2ex| exdx2x2ex| 0x2ex|2xex| 0

exdx0020(1)1：圖示法.f(x)f(xx2

f(xf(x)

f(x

x0yyOx0dyyydy

f(x0

f(x0)f(x0

f(

xf(x0)

x x0x0

x,x0f(x00

ydy0.又由于dyf(x0

x0，故選方法3：用拉格朗日余項一階泰 .泰勒f(x

f(n)(xf(x)

f(x)f(x)(xx) 0(xx)2 0(xx)nR f(n1)(x

其中R 0(xx)n.此時n取1代入，可 (n ydyf(xx)f(x)f(x)x1f()(x)2 又由dyf(x0)x0，選A)【答案】【詳解】題目該抽象函數在0點處的函數值，及0點處的左右導數，計算如下：xh2，由題設可得f

f(h2

f(x)1x于

f(x)

x10xf(xx0f(0

f(x)01

f(x)

f(x)f(0)f(0)

x f(00f(0)存在.故應選(C) 因為a收斂，所以

也收斂，所以(a

)收斂，從而

anan1也收斂.n

nn

nn

an ，則an收斂.但

，(pp2級數發散

(pp1級數發散)D.nnnn1 解；2.線性非齊次微分方程的兩個解的差是對應的齊次微分方程的解.y1(xy2(x，所以y1(xy2(xC數，所以Cy1(xy2x是對應的齊次微分方程的通解.再加上原非齊次方程的一個特解，便得原非齊次方程的通解，[B].1已知(x0y00，由(xy0（x0y0yy(xy(x0)

dy （x0y0)

f(x,

在條件(xy)

xx0zf(xy(xf(x,y)f(x,y) 0

f(x,y)f(x,y)(x,y x x

(x,yx

x

xfx(x0y00fy(x0y00，或x(x0y00，因此不選A(Bf(xy0f(xy0(

0).因此選

dxx2：用拉格朗日乘子法.F(xyf(xy(xy Ff(x,y)(x,y) F(x,y)因為(xy0，所以fy(x0y0)，代入(1)

(x,y f(x,y)fy(x0,y0)x(x0,y0

(x,y fx(x0y00fy(x0y00，選方法1：若1,2, ,s線性相關,則由線性相關定義存在不全為0的數k1,k2 ,ks使k11k22 kss ,As的形式，用A左乘等式兩邊,k1A1k2A2 ksAs 于是存在不全為0的數k1,k2, ,ks使得①成立，所以A1,A2, 方法2：如果用秩來解,則更加簡單明了.只要熟悉兩個基本性質,它們是:1.1,2, ,s線性相關 ,s)s

r(AB)r(B)矩陣(A1, ,As) ,s),設B(1,2 ,s)，則r(AB)r(B)得r(A1, ,s)s.所以答案應該為(AA21B

0 B 0A記 1 0 將B的第1列的-1倍加到第2列得C，即CB 0記 1 0 0 因為PQ 0 0E，故QP1E 1 從而CBQBP1

,故選BX與YP{|X1|1P{|Y2|1的大小與參數關系.如果將其標準化后就可以方便地進行比較了。 量標準化，有X

~N(0,1，且其概率密度函數是偶函數.P(X

1)

X1

12[

(0)]2

1X X

(

(PY

1)2(1)

1 2因為(x)P{|X

2(1)12(11，即1

1，所以

1 【詳解】題目二元函數的極限，求g(x)時，可以將y視為常

g(x)

f(x,y)

lim

1y y]

y1

arctanx0，所以limysinxlimyx

1 1所以g(x)

y1

y1 y 1

limg(x)lim(

)

x0

12 2lim1 limx22x2

2(1x2【詳解】題目二重積分的計算，畫出積分區域，化為累次積分即可以很容易求出。D如下圖所示.D{(xy)0y10xy}

y2xydxdy1dy

y2xydx2

3y(y

ydy2

y2dy21 31

3 f(x)xsinx2cosxx，只需證明0x時f(x)單調增加(嚴格f(x)sinxxcosx2sinxxcosxsinxf(x)cosxxsinxcosxxsinxf

f(cos0，故0xf(x0f(x單調增加(嚴格由ba有f(b)f 得【詳解】(I)yy(xP(xyyOP的斜率yax(a0x0)yyax,并且有初始條件 y(1)0.解之，按一階線性微分方程解的，y

[

1dx

dxC]elnx[axelnxdxC]x[adxC]x(ax(以上1dx不寫成lnx而可以寫成lnxy(10，x取在1xx0x1x0x0,因此lnx可以寫成lnx再由y(1)0定出Ca，于是所求的曲線方程 yax(x1),a0(II)yaxyax(x1的交點(00)與(22a.yaxyax(x1S(a)2[axax(x1)]dx2[2axax2]dx4 4a8，故a2 (n1)(2n1)n-記un

n-n(2n-

x21x1x21x10n- .

nn(2n-

x

n-

fx)

n-f(

n-

n-

n

n(2n-

n(2n-

f(

n-n-n-

2(-nx2n2(x2）n 1x2

f(x)

f(0)xf(t)dt0x2dt2arctan 01t f(x)f(0)xf(t)dt02xarctan 02[arctant0

x2dt]2xarctantln(1x2) 于

n(2n-

arctantx

),1x1x1x1x1處上式s(x)

2arctanxxln(1x2

1x方法1：A[1,2,3,4]，|A

12341234123123412341234123410234102341023410234123412341234(10a123412341234(10a)a00123400a012 000a線性相關的定義：存在一組不等于零的數k1,k2,k3,k4使得k11k22k33k440成立，則1,2,3,4線性相關.于是當A0時方程組k11k22k33k440有非零解，此時滿足線性相關義.(a10)a30，解得當a0a10時，1,2,3,4線性相關a0時，1為1,2,3,4的一個極大線性無關組，且221,331,441a10時,A作初等行變換343421 230400230400

A

1

44 0

22

0[ 0

1,2,3 可以看出由于2341234的一個極大線性無關組，且1234，故2,3,4為1,2,3,4的一個極大線性無關組，且1234.方法2：A[1,2,3,4]，對A施以初等行變換， 2A 23000023000000 當a0時，B 得rArB1，因而1,2,3,4線性相關, 時1為1,2,3,4的一個極大線性無關組，且221,331,441a0B12341234100010001B如果a10C4，故1,2,3,4線性無關；如果a10C31,2,3,4線性相關.由于2,3,41,2,3,4的一個極大線性無關123

2,3

是1,2,3

1234的特征向量，又因為1,2線性無關，故0A的二重特征值.A的每行元3，所以有A(1,1,1)T333)T3(1,1,1)T，由特征值、特征向量的定義，1,1,1)TA的特征向量,特征值為3k,k0 向量，從而知0是二重特征值A的特征值為3003的特征向量k11k22k1k2不都為0

3 k33,k300的特征向量先將單位化,得(3 3,

)T 對,作施密特正交化,得0,

2

)T

6,

6,

)T

300作Q,,,則Q是正交矩陣,并且QTAQQ-1AQ000 由QTAQ，其中QT6622626

000 AQQT 6262(A3E)6(QQT3E)6(Q(3E)QT)6Q(3E)6

6

Q

Q1Q

QT

3 3 ()()(E

2

2()()

3 3

YyFYy,f

是分段函數，所以在計算PX2y分段討論.F(14)PX1,Y4PX1X24)X F(xy的函數FyPYyPX2yy0Fy0Y0y當0y1時，FY(y) Xy

1dxyy

4y1dx 44y當1y4時，FY(y) Xyy4FYy

y)

01dxy1 y

1dx1 4 4

yF(y)PYyPX2