旋轉曲面的面積第1頁，共19頁，2023年，2月20日，星期五

通過對不均勻量（如曲邊梯形的面積，變速直線運動的路程）的分析，采用“分割、近似代替、求和、取極限”四個基本步驟確定了它們的值，并由此抽象出定積分的概念，我們發現，定積分是確定眾多的不均勻幾何量和物理量的有效工具。那么，究竟哪些量可以通過定積分來求值呢？

一定積分的元素法(或微元法)

第2頁，共19頁，2023年，2月20日，星期五為了說明微元法，我們先來回顧一下曲邊梯形面積轉化為定積分的計算過程。step1.

分割：任意劃分[a,b]為n個小區間step2.

近似：微元法第3頁，共19頁，2023年，2月20日，星期五step3.

求和：step4.

取極限：分析：在上述問題注意到:所求量(即面積)A滿足：1。與區間[a,b]及[a,b]上連續函數f(x)有關;2。對[a,b]具有可加性，3。實際上，引出A的積分表達式的關鍵步驟是第二步，因此求解可簡化如下：微元法第4頁，共19頁，2023年，2月20日，星期五step1:選取積分變量及積分區間（如x屬于[a,b]）step2:取微區間[x,x+dx]求出

step3:這種方法稱為定積分的元素法或微元法。微元法第5頁，共19頁，2023年，2月20日，星期五一般的，如果某一實際問題中所求量Q符合條件:1。Q是與某一變量x的變化區間[a,b]有關的量；2。Q對于[a,b]區間具有可加性；3。局部量那么，將Q用積分來表達的步驟如下:step1.

選取積分變量及積分區間step2.

取微區間[x,x+dx]，求出step3.

微元法第6頁，共19頁，2023年，2月20日，星期五求Ｕ的步驟分割用分點將

區間分成n個小區間以直線代曲把Ｕ在小區間上的局部量用某個函數

f(x)在的值與之積代替求和

把局部量的近似值累加得到總量的近似值,即設量Ｕ非均勻地分布[a,b]上第7頁，共19頁，2023年，2月20日，星期五

由此可知，若某個非均勻量Ｕ在區間[a,b]上滿足兩個條件：

（1）總量在區間上具有可加性，即把區間分成幾個小區間時總量就等于各個小區間上的局部量之和，（2）局部量可用近似表示它們之間只相差一個的高階無窮小不均勻量Ｕ就可以用定積分來求得這是建立所求量的積分式的基本方法求極限第8頁，共19頁，2023年，2月20日，星期五1求微元寫出典型小區間

上的局部量

的近似值這就是局部量的微元2求積分即把微元

在區間[a,b]上作積分表達式，求它在[a,b]上的定積分，即這就是微元法

“無限積累”起來，相當于把

第9頁，共19頁，2023年，2月20日，星期五例解:（圖一）弧長微元第10頁，共19頁，2023年，2月20日，星期五xyo旋轉曲面的面積為二旋轉曲面的面積第11頁，共19頁，2023年，2月20日，星期五第12頁，共19頁，2023年，2月20日，星期五第13頁，共19頁，2023年，2月20日，星期五第14頁，共19頁，2023年，2月20日，星期五第15頁，共19頁，2023年，2月20日，星期五例3第16頁，共19頁，2023年，2月20日，星期五解由對稱性,有由對稱性,有第17頁，共19頁，2023年，2月20日，星期五由對稱