《數學史論約》 試題填空1數學史的研究對象是（ ）;）來分期，其一是根據）、（）、（）、2）來分期，其一是根據）、（）、（）、）來分期；3、 17世紀產生了影響深遠的數學分支學科，它們分別是（（）、（）；4、 18世紀數學的發展以（ ）為主線；5、 整數458用古埃及記數法可以表示為（），而萊因特紙草書和莫斯科紙草）時期和（ ）時期;6、 研究巴比倫數學的主要歷史資料是（），而萊因特紙草書和莫斯科紙草）時期和（ ）時期;書是研究古代（ ）的主要歷史資料；7、 古希臘數學發展歷經1200多年，可以分為（&17世紀創立的幾門影響深遠的數學分支學科，分別是笛卡兒和（ ）創立了解析幾何，牛頓和（ ）創立了微積分，（ ）和帕斯卡創立了射影幾何，（ ）和費馬創立了概率論，費馬創立了數論；9、19世紀數學發展的特征是（ ）精神和（ ）精神都高度發揚；TOC\o"1-5"\h\z10、整數458用巴比倫的記數法可以表示為（ ）。，其一11、數學史的研究內容，從宏觀上可以分為兩部分，其一是內史，即（是外史，即（ ）；，其一12、19世紀數學發展的特征，可以用以下三方面的典型成就加以說明:（1） 分析基礎嚴密化和（ ），（2） （ ）和射影幾何的完善，（3） 群論和（ ）；13、20世紀數學發展 “日新月異，突飛猛進”，其顯著趨勢是： 數學基礎公理化，數學發展整體化，（ ）的挑戰，應用數學異軍突起，數學傳播與（ ）的社會化協作，（ ）的導向；14、《九章算術》的內容分九章，全書共（ ）問，魏晉時期的數學家（ ）曾為它作注；15、 整數458用瑪雅記數法可以表示為（ ）。16、 數學史的研究對象是數學這門學科產生、發展的歷史，既要研究其（歷史進程），還要研究其（ ）；17、古希臘數學學派有泰勒斯學派、（畢達哥拉斯學派）、（厄利亞學派）、巧辯學派、柏拉圖學派、歐多克索學派和（ ）；18、阿拉伯數學家（ ）在他的著作（ ）中，系統地研究了當時對一元一次和一元二次方程的求解方法；19、19世紀數學發展的特點，可以用以下三方面的典型成就加以說明： （1）（ ）和復變函數論的創立；（2）非歐幾里得幾何學問世和（ ）；（3）在代數學領域）與非交換代數的誕生。20、整數458用古印度記數法可以表示為（、選擇1、數學史的研究對象是（ ）；A、數學學科知識 B、歷史學科知識 C、數學學科產生、發展的歷史

2、中國傳統數學以(2、中國傳統數學以(A、算籌B、籌算 C、珠算3、阿爾-花拉子模稱為“平方和根等于數”的方程形如( )；222A、X2+2X=3 B、X2+2=3X C、X2=2X+34、《九章算術》的作者( )；A、是劉徽 B、是楊輝 C、不可詳考5、柯西把分析學的基礎建立在( )之上。A、導數論 B、極限論 C、集合論三、 解釋古希臘數學學派阿拉伯數學中國傳統數學方程術印度數學6、《幾何原本》7、阿爾-花拉子模8牟合方蓋9、 籌算10、 不可分量原理大衍求一術12、 超實數域巴比倫楔形文字泥板14?《海島算經》。窮竭法原理開方術四、 求解1、 用幾何直觀的方法證明：正五邊形的邊與其對角線不可以公度。2、 以X2+8X=84為例，說明阿爾-花拉子模求解一元二次方程正根的方法，并給出相應的幾何釋意。以X36^20為例，說明泰塔格利亞和卡丹求解一元三次方程的基本思路和主要成果。4.曲邊四邊形由XY=k(k>0)，X=2，Y=0，X=8所圍成，試用不可分量原理求該曲邊四邊形繞丫軸旋轉一周所成旋轉體體積。用古希臘的“幾何代數法”求解一元二次方程 X2-6X-6=0;用秦九韶的“大衍求一術”求解一次同余式組：N三1(mod7)三2(mod8)三3(mod9)用幾何直觀的方法證明：正方形的邊與其對角線不可以公度。

8?用古希臘的“幾何代數法”求解x^axb^0并給出相應的幾何釋意五、注釋1、“對于給定的兩個數分別加上某個數，使它們成為兩個平方數。［丟番圖方法［丟番圖方法］用現代數學符號可以表示為:I-- 2x+a=y"2x+b=z丟番圖的解題方法是：取a=2,b=3；構成差3-2=1； 取兩數積等于該差:41=1441f4-41f4-41丫4+—42；解得97x=642要求：分析丟番圖解法的要點，并論證其合理性。2、《張丘建算經》卷上第23問：“今有女善織日益功疾初日織五尺今一月日織九匹三丈問日益幾何答曰五寸二十九分寸之十五術曰置今織尺數以一月曰而一所得倍之又倍初日尺數減之余為實以一月曰數初一日減之余為法實如法而一”將題文、術文翻譯成現代漢語，注釋題文、術文，論述其造術原理。3、“求四個數，使這四個數之和的平方加上或減去這四個數中的任意一個數， 所得的仍然是一個平方數。”［丟番圖解法］取四組數（65，52，39）、（65，56，33）、（65，60，25）、（65，63，16），令'4送xi=65匕花=2江52：匯39?=405圧2x2=2漢56匕^33匕=369於2花=2^60：父25?=300厲2*=2漢63馭16：=2016：2將 x^40562,x2=36962, x3=30002, x^20162X1=4056 2代入4'Xi=4'Xi=65，解得i±= 6^4056369630002016Xj（j=1、2、3、4）可求得。要求：分析丟番圖解法的要點，并說明其合理性。4、 “今有人持米出三關外關三而取一中關五而取一內關七而取一余米五斗問持米幾何答曰十斗九升八分升之三術曰置米五斗以所稅者三之五之七之為實以余不稅者二之四之六之為法實如法而一”要求：將題文、術文翻譯成現代漢語，論述其造術原理。5、“已知一個數為兩個平方數之和，把它分成另外兩個平方數之和。 ”［丟番圖解法］ x2+y2=m2+n2取13=2Z32,令x2=牡+2)2， y2=(2?-3)2,由(匕+2)2+(2匕-3)2=13， 解得匕=8/5，故x2=324/25， y2=1/25。要求：分析丟番圖的解法原理，并探討其解法的變化；6、“今有與人錢初一人與三錢次一人與四錢次一人與五錢以次與之轉多一錢與訖還斂聚與均分之人得一百錢問人幾何答曰一百九十五人術曰置人得錢數以減初錢數余倍之以轉多錢數加之得人數”要求：將題文、術文翻譯成現代漢語，分析其造術原理。7.如圖，取KL上任一點Z,使取KL上任一點Z,使DHFTMO_FZNODHFM，則有NOFT⑴有NOFZ二MODH，即GFFZ二CEEX;類似地，可以得到曲邊四邊形AFZK面積Safzk=DEDH (2)要求：用上例說明巴羅已經認識到微分與積分的互逆關系。8、《九章算術》均輸第16問“今有客馬日行三百里。客去忘持衣，日已三分之一，主人乃覺。持衣追及與之而還，至家視日四分之三。問主人馬不休，日行幾何。答曰：七百八十里。術曰：置四分日之三，除三分日之一，半其余以為法。畐悒法，增三分日之一，以三百里乘之，為實。實如法得主人馬一日行。”要求：將題文、術文翻譯成現代漢語，注釋題文、術文，論述其造術原理。《數學史論約》復習題參考答案一、填空（22分）1數學史的研究對象是（數學這門學科產生、發展的歷史），既要研究其歷史進程，還要研究其（一般規律）；2、 數學史分期的依據主要有兩大類，其一是根據（數學學科自身的研究對象、內容結構、知識領域的演進）來分期，其一是根據（數學學科所處的社會、政治、經濟、文化環境的變遷）來分期；3、 17世紀產生了影響深遠的數學分支學科，它們分別是（解析幾何）、（微積分）、（射影幾何）、（概率論）、（數論）；4、 18世紀數學的發展以（微積分的深入發展）為主線；5、 整數458用古埃及記數法可以表示為（刪伯御@@@@）。6、研究巴比倫數學的主要歷史資料是（契形文字泥板），而萊因特紙草書和莫斯科紙草書是研究古代（埃及數學）的主要歷史資料；7、 古希臘數學發展歷經1200多年，可以分為（古典）時期和（亞歷山大里亞）時期；8、 17世紀創立的幾門影響深遠的數學分支學科，分別是笛卡兒和（費馬）創立了解析幾何，牛頓和（萊布尼茨）創立了微積分，（笛沙格）和帕斯卡創立了射影幾何，（帕斯卡）和費馬創立了概率論，費馬創立了數論；9、 19世紀數學發展的特征是（創造）精神和（嚴格）精神都高度發揚；ITHyyyJin10、 整數458用巴比倫的記數法可以表示為（ 「 「）。11、 數學史的研究內容，從宏觀上可以分為兩部分，其一是內史，即（數學內在學科因素促使其發展），其一是外史，即（數學外在的似乎因素影響其發展）；13、19世紀數學發展的特征，可以用以下三方面的典型成就加以說明：（1） 分析基礎嚴密化和（復變函數論創立），（2） （非歐幾里得幾何學問世）和射影幾何的完善，（3） 群論和（非交換代數誕生）；13、20世紀數學發展 “日新月異，突飛猛進”，其顯著趨勢是： 數學基礎公理化，數學發展整體化，（電子計算機）的挑戰，應用數學異軍突起，數學傳播與（研究）的社會化協作，（新理論）的導向；14、 《九章算術》的內容分九章，全書共（246）問，魏晉時期的數學家（劉徽）曾為它作注；15、 整數458用瑪雅記數法可以表示為（三）。16、數學史的研究對象是數學這門學科產生、發展的歷史，既要研究其（歷史進程） ，還要研究其（一般規律）；17、古希臘數學學派有泰勒斯學派、（畢達哥拉斯學派）、（厄利亞學派）、巧辯學派、柏拉圖學派、歐多克索學派和（亞里士多德學派）；18、 阿拉伯數學家（阿爾-花拉子模）在他的著作（《代數學》）中，系統地研究了當時對一元一次和一元二次方程的求解方法；19、19世紀數學發展的特點，可以用以下三方面的典型成就加以說明：（1）（分析基礎嚴密化）和復變函數論的創立；（2）非歐幾里得幾何學問世和（射影幾何的完善）；（3）在代數學領域（群論）與非交換代數的誕生。20、整數458用古印度記數法可以表示為（ ）。、選擇題1數學史的研究對象是（C）;A、數學學科知識 B、歷史學科知識 C、數學學科產生、發展的歷史2、 中國傳統數學以（B）為基礎，以算為主，寓理于算；A、算籌 B、籌算 C、珠算3、 阿爾-花拉子模稱為“平方和根等于數”的方程形如（A）；A、X2+2X=3 B、X+2=3X C、X2=2X+34、 《九章算術》的作者（C）；A、是劉徽 B、是楊輝 C、不可詳考5、 柯西把分析學的基礎建立在（B）之上。A、導數論 B、極限論 C、集合論、解釋（28分）古希臘數學學派一一公元前6世紀~公元前3世紀，是古希臘的古典時期，當時的哲學家也是數學家，先后形成以一兩位杰出人物為中心的組織， 開展學術、或政治、或宗教活動，這類組織被稱為古希臘哲學學派，亦即古希臘數學學派。他們相繼是泰勒斯學派、畢達哥拉斯學派、厄利亞學派、巧辯學派、柏拉圖學派、歐多克索學派和亞里士多德學派，他們為初等數學的開創作出重要貢獻。阿拉伯數學一一公元8世紀~15世紀，在中東、北非和西班牙等地的伊斯蘭國家，以阿拉伯文字書寫為主的數學著作所代表的數學；為阿拉伯數學作出貢獻的人，不止于阿拉伯人，還有希臘人、波斯人、猶太人、甚至有基督徒。阿拉伯數學在世界數學史上有承前啟后的作用，有人稱之為歐洲近代數學的“繼父”。阿拉伯數學的興衰經歷了8~9世紀的初倉9~13世紀的興盛、14世紀以后外傳三個階段。中國傳統數學一一從遠古到明代，在中國獨立產生、發展起來的數學知識體系。它以籌算為基礎，以算為主，寓理于算，廣泛應用。它有明顯的算法化、模型化、程序化、機械化的特征。方程術——載于《九章算術》卷八方程章，按現代數學的觀點，方程術是指多元線性方程組的求解方法。方程術采用線性方程組系數的增廣矩陣，通過“遍乘”、“直除”的方法，即矩陣的初等行變換，將矩陣化為三角陣，逐一求解各變量的值。這種方法與 19世紀德國數學家高斯的方法完全一致，只是矩陣的書寫是豎式，轉置后與現代的表達完全一樣。而且，3世紀的劉徽在注釋方程術時，還明確指出方程組有解的條件，即“行之左右無所同存，且為有所據而言耳。”印度數學一一6世紀一12世紀，印度文明古國的數學與歷法都受婆羅門宗教的影響而發展起來，同阿拉伯、中國都有來往，但記載不詳。在印度ganita（計算）載于宗教書，年代不詳，公元后該字被分為 Pati-ganita（算術），Bija-ganita（代數），Krestra-ganita（幾何）。“因明”似與邏輯學同義，與數學關系不明，古希臘似的幾何論證并不發展，先進的十進位值制，使用記號的代數卻發展起來。這個時期有著名的數學家：Arya-Bhatta（476~550）阿利阿伯哈塔Brahmagupta（598~660）婆羅摩及多“梵藏”Bhaskara—Acharya（1114~1185）婆什迦羅

6、《幾何原本》一一公元前3世紀，古希臘數學家歐幾里得的巨著。版本：目前可見最早的是888年希臘文抄本， 最早的中譯本是1607年徐光啟筆譯,后來1857年李善蘭續中譯本，1925年T.LHeath英譯本比較權威，1990年有中譯本。內容：原版13卷，后人有擴充成15卷的版本。13卷的內容包括：［1］直線形，［2］幾何代數法，［3］圓，［4］多邊形，［5］比例論［6］相似形，［7］［8］［9］數論，［10］不可公度比， ［11］立體圖形，［12］求積術，［13］正多面體；這些數學知識可以追溯到古希臘古典時期的數學學派，乃至巴比倫和古埃及。特征：1?大量引用古希臘古典時期數學家的數學成就；2?采用獨特的編寫方式：先給出定義，公設，公理，再由簡到繁，由易到難地證明一系列命題；首次用公理化方法建立數學知識邏輯演繹體系，成為后世西方數學的典范。7、阿爾-花拉子模 (約780~840,—說850)(A-Khowarizmi，MohammedibnMusa)曾擔任巴格達“智慧宮”的主持人，著有《代數學》、《AI-jabrW'almuqabala》《Algebra》，意為“復原”與“化簡” ；其中，討論一元一次、二次方程求解：用“數”、“根”、“平方”分別表示：常數、x、x2,研究以下形式的方程：ax2=bx ax2=c譬如x2ax2=bx ax2=c譬如x2+10x=39求出“根”和“平方”其解法的合理性。稱之為“平方和根等于數”型，對于每一種方程給出解法，兩個結果，但是一般只有正根，另外給出幾何“證明”，以示&牟合方蓋一一一個正方體用它的兩個中心軸線互相垂直的內切圓柱貫穿，所得到的相貫體；它是公元3世紀的劉徽在注“開立圓術”時提出的概念，并認識到它與其內切球的體積之比為4:二，但是不會計算它的體積；6世紀的祖暅用“緣幕勢既同，則積不容異”的原理，求出了它的體積，進而求出了球體積。9、 籌算一一在中國傳統數學中，把生產、生活中的實際問題轉換成一定的數學模型，采用算籌表示數，按照特定“術文”進行運算，從而解決實際問題。籌算具有明顯的算法化、模型化、程序化、機械化的特征。籌算以算為主，寓理于算，廣泛應用。10、不可分量原理意大利數學家Cavalieri，FrancescoBonaventure(1598~1647)在《用新的方法推進連續體的不可分量的幾何學》(1635)提出“不可分量原理”：線段是無數個等距點構成，面積是無數個等距平行線段構成，體積是無數個等距平行平面構成，這些點、線段、平面是長度、面積、體積的“不可分量”。Cavalieri利用這種“不可分量”，進行長度、面積、體積的計算及其相關的推理，但是，

他未能對“不可分量”作出嚴格的論述。數學家們對此褒貶不一。 1644年,Cavalieri本人發現了關于“不可分量”的悖論。11、大衍求一術一一“大衍求一術”起源于5世紀的《孫子算經》卷下第26問“物不知其數”，世紀秦九韶的《數書九章》(1247年)總結出該算法，現在國際上稱之為“中國剩余定理”。秦九韶的工作可以用現代數學術語表示如下：對于一般的一次同余式組N三Ri(modAi)i= 1,2,3,；n給出大衍總數術”，它包括兩部分：將｛Ai｝，化為｛ai｝，使(a,aj)=1,i-j，得到等價問題 N-Ri(modai)i=1,2,3,…n此為化“問數”為“定數”。求解kixgi三1(moda)i=1,2,3, …n得到ki。從而，N=、RiKi(M/ai)-pM，i=1,2,3, …n其中M=二a,gi：：：ai,為mi=M/ai累減a所得余，p為適當的非負整數，使N:::M；此為“大衍求一術”。12、超實數域 在美國數學家Robinson,Abraham(1918~1974)創立非標準分析中，假設存在實數域R的一個有序域正真擴張R*，R*的元素稱之為超實數。若xR*，-r0rR，有兇:r，貝Ux稱為無窮小；若x、yR*，x-y是無窮小，貝Ux、y為無限接近，記為xy。對于每一個有限超實數x，存在唯一實數r，使r:-x，則這個唯一的r為x的標準部分，記為r=St(x)。Vx^R*，在r=St(x)周圍有與x相差為無窮小的單子的集合。在此基礎之上，建立超實數域上的微積分，把無窮小作為一個邏輯實體，又有求標準部分的方法，為微積分的運算和推理帶來了方便。巴比倫楔形文字泥板一一現在我們研究巴比倫數學知識的積累最可靠的資料，它是用截面呈三角形的利器作筆，在將干而未干的膠泥板上斜刻寫而成的，由于字體為楔形筆畫，故稱之為楔形文字泥板書。從19世紀前期至今，相繼出土了這種泥板有50萬塊之多。其中，大約有300至400塊是數學泥板，數學泥板中又以數表居多，據推測這些數表是用來運算和解題的。這些古老的泥板，現在散藏于世界各地許多博物館內，并且被一一編號。在這些泥板書中，記錄了巴比倫人當時的數學成就。14?《海島算經》一一劉徽注釋《九章算術》勾股之后，感到意猶未盡，又自撰了九問附于勾股之后，皆為重差術之題。因此，有的《九章算術》版本把它作為第十章，稱為重差。后來，還是將它獨立出來成為《海島算經》。15.窮竭法原理如果從任何量中減去不小于其一半的量， 從余下的量中再減去不小于其一半的量，如此類推，那么最后余下的量將小于任何事先給定的同類量。16.開方術一一最早載于《九章算術》少廣第12問的開平方術，還有開帶從平方，以及開立方和開帶從立方術，后來又演變成增乘開方法，可以開任意次方，并且算法規范，人們都認為,中國傳統數學中的“開方術”與高次方程數值解相關。四、求解(24分)3、用幾何直觀的方法證明：正五邊形的邊與其對角線不可以公度。解:r2a=r1+，rn=rn+1a=r1+只有當rn=0時，a與b才能公度，而這是不可能的。4、以X2+8X=84為例，說明阿爾-花拉子模求解一元二次方程正根的方法，并給出相應的幾何釋意解：o(8/2)2+84-(8/2)>10-4=6>62=36

o4x4xx24x4xx24x x23.以x3(x=20為例，說明泰塔格利亞和卡丹求解一元三次方程的基本思路和主要成果。泰塔格利亞的解法：設x=m-n,考慮到(m—n)33mn(m—n)=m3—n3，則有-a>-a>3mn=6m匯(_n)=_23 3 T*m3-n3=20-3 3 T?、m3+(-n)3=20 、對于這個方程組用巴比倫人的方法可以求解:m3(-n)3--8m3 (-n)3二20即 鄉「汀汀⑴)「歲」)煜v?m3二爭+膽料-(-8)可求出 222 ，開立方后，x二m-n即得。(-n宀升梅)十8)卡丹的工作：用y=x?〔變換，化x3ax2b^c為x3?px二q型三次方程，再用3泰塔格利亞的方法求解，此后他還對這種方法給出了幾何證明。如圖，考慮兩個正方體AE，CL，其體積之差值為20。若令ACXCK=2，能作出BC=CK，貝UAB=AC-BC為所求。為此，在正方體AE中劃分出正方體DC，使Vdc=Vcl，于是產生以下分割：Vdc=BC3,Vdf=AB3,Vde=BCXAB2，Vda=ABXBC2，Vae=AC3,BC3=CK3。由圖，可見 AC3-BC3=3Vda+3Vde+Vdf (1)由于ACXCK=2，所以ACX3CK=6,即有ABXACX3CK=6AB，3ABXACXBC=6AB (2)而ABXACXBC=Vda+Vde，所以6AB=3ABXACXBC=3XDA+3XDE

將(3)代入(1)得AC3-BC3=6AB+Vdf，即有AB3+6AB=20，故AB=AC-BC.4.曲邊四邊形由XY=k(k>0),X=2,Y=0,X=8所圍成，試用不可分量原理求該曲邊四邊形繞丫軸旋轉一周所成旋轉體體積。解：取0A=22k,任取垂直于y軸的截面MN,可有：S側=2二OL-LM=2k?:,S截=二(OA/2)2=2k?;一一對應，兩兩相等，由不可分量原理，得 V=2km:。5、用古希臘的“幾何代數法”求解一元二次方程 X2-6X-6=0;解：將方程化為 X2-6X-42=0;如圖，取AB=6,AP=PB，作BC垂直于AB，取BC=4，以P為圓心，以PC為半徑，劃弧，交AB的延長線于D，則有向線段AD或DB為所求的解。CA P BD用秦九韶的“大衍求一術”求解一次同余式組： N-1(mod7)2(mod8)=3(mod9)解：求“定數”789ai=7a2=8a3=9aia2a3為Ai的最小公倍數，且a|Ai，即得N三1(mod7)三2(mod8)三3(mod9)求“衍母”M=7x8x9=504求“衍數”mi=72m2=63m3=56求“奇數”gi=2g2=7g3=2求“乘率”kix2三1(mod7)k2x7三1(mod8)k3x2三1(mod9)ki=4k2=7k3=5求“泛用”kimi=288k2m2=441k3m3=280故得N三ix288+2X441+3X280(mod7X8x9)N=2010-3X504=498用幾何直觀的方法證明：正方形的邊與其對角線不可以公度。如上圖，正方形ABDC的邊AB=a，對角線AD=b，由A作/BAD的平分線交BD于E,

過E作EB 1AD 交AD于 B',過E作/B'ED的平分線交B'D于E',過E'作E'B"丄BD 交BC于B",過E'作￡"E'D的平分線交B"D于E",BE=ri,B'E'=5。通過簡單的幾何證明，就可以得到如下的關系式：b=a-r1,^2r1“山=2“-“ G=2^i&.2…,其中的rn可以無窮無盡地寫下去，所以正方形的邊a與對角線b之比成為不可公度比，即無法找到一個單位能夠分別把a和b量盡。用古希臘的“幾何代數法”求解x2-ax?b2=0并給出相應的幾何釋意。如圖，設AB=如圖，設AB=a,AH=x,HB=(a—x),應有2x(a-x)二b,即解方程x2-axb2=0。AM=MB,PM=b,PH*2x呂Jfa「AM=MB,PM=b,PH*2\l2丿五、注釋（26分）1、“對于給定的兩個數分別加上某個數，使它們成為兩個平方數。［丟番圖方法［丟番圖方法］用現代數學符號可以表示為:x+a=y2M+b=z2丟番圖的解題方法是：取a=2,b=3；構成差3-2=1;取兩數積等于該差:；設14--42241；設14--422414；解得97x=64要求：分析丟番圖解法的要點，并論證其合理性。［分析］上面我們看到的是不定方程，如何求解？上述解法合理嗎？我們知道解方程一般原理是消元、降次，但是丟番圖是如何消元、降次的呢，他確實是很有講究的。［評論］我們不妨設ba我們不妨設ba，=(zy)(z-y)=uv；2u_v' I<2丿關鍵在于/<2u+v'關鍵在于/<2u+v' I\、2丿u-v i22I三uvo2、《張丘建算經》卷上第23問：“今有女善織日益功疾初日織五尺今一月日織九匹三丈問日益幾何答曰五寸二十九分寸之十五術曰置今織尺數以一月曰而一所得倍之又倍初日尺數減之余為實以一月曰數初一日減之余為法實如法而一”將題文、術文翻譯成現代漢語，注釋題文、術文，論述其造術原理。［譯文］今有一女子善長織布，一天比一天快。第一天織 5尺，一個月織9匹3丈。問：她每天比前一天多織多少？答：5寸15/29寸。［解法］(9匹3丈/30)2，5尺2，(9匹3丈/30) 2-5尺2，30-1，［(9匹3丈/30)2-5尺2］/(30-1)［造術原理］按現代數學的觀點，這是關于等差數列的問題。已知：首項ai，前n項的和Sn，求：公差d;解法：Sn=［(ai+ch)n］/2，而an=ai+(n-1)d，Sn=［(a1+ai+(n-1)d)］/2，d=(Sn2-2a1)/ (n-1)這與以上解法的表達完全一樣，可見中國古代數學中已經有關于等差數列的求解問題。3、“求四個數，使這四個數之和的平方加上或減去這四個數中的任意一個數， 所得的仍然是

個平方數。”［丟番圖解法］取四組數(65,52,39)、(65,56,33)、(65,60,25)、(65,63,16),令嚴4sXi=65匕X,=2漢52E漢39匕=405崖222X2=2x56^x33^=369&2x,=2漢60：漢25?=300岸2x,=2x63^16匕=2016匕2將 Xi=40562, X2=36962,x^30002, x^20162xi=4056 2代入 65 4056369630002016X 65 4056369630002016Xj（j=1、2、3、4）可求得。要求：分析丟番圖解法的要點，并說明其合理性。［分析］丟番圖解法的合理性，關鍵在于巧妙地取了四組勾股數。在直角三角形中，斜邊c與兩直角邊a,b有c2=a2b2,所以c2二2ab二a2?b2二2ab=（a二b）2，故能滿足「二Xi二Xj二a：。⑺丿所以，能確保結論的正確。5、“今有人持米出三關外關三而取一中關五而取一內關七而取一余米五斗問持米幾何答曰十斗九升八分升之三術曰置米五斗以所稅者三之五之七之為實以余不稅者二之四之六之為法實如法而一”要求：將題文、術文翻譯成現代漢語，論述其造術原理。［譯文］今有一人帶米出關，外關收取所帶米的三分之一，中關收取五分之一，內關收取七分之一，最后剩米五斗。問：原帶米多少？ 答：10斗9升3/8升。［解法］5斗汶3漢5疋7,246,（5斗357）/（246）［造術原理］按現代數學的觀點，可以列方程如下：設原帶米x,則有：x（1-1/3） （1-1/5） （1-1/7）=5斗即：x漢（2/3）（4/5）（6/7）=5斗x= （5斗357）/（246）這與上述解法的表達完全一樣，可見造術原理。5、“已知一個數為兩個平方數之和，把它分成另外兩個平方數之和