本文格式為Word版，下載可任意編輯——固體物理習題答案(5固體物理習題

一、固體電子論基礎

1．已知金屬銫的EF=1.55eV，求每立方厘米的銫晶體中所含的平均電子數。(提醒:常溫下EF與EF相差不大，可以令EF?EF)

00解：由于常溫下費米能級EF與絕對零度時的費米能級EF相差不大，可令EF≈EF。金屬中的電子可近似地按自由電子氣處理，在E～E+dE能量區間內的電子態數(計及自旋)為:

00dZ?4?V?2m?2h333311E2dE?CE2dE

1其中：C?4?V?2m?2h由于電子遵循費米分布，于是在能量區間E～E+dE中的電子數為：dN?f(E)dZ?Cf(E)EdE

式中f(E)是費米分布函數。由于在絕對零度時有：

0?1(E?E)?Ff(E)??

0??0(E?EF)因此電子總數為：

E2，V為金屬的體積，m為電子的質量。

N???0?Cf(E)EdE?C?3EF000EdE3233h單位體積內的電子數為：V3h代入有關數據得到：n?8?3.143?(6.63?1021?27?3C(E)0F2?8?V3

(2mEF)2n?N?8?33(2mEF)2

30)3?(2?9.1?10?28?1.55?1.6?10?12)2

?8.7?10

(cm)02．證明：在T=0K時，費米能級EF處的能態密度為：N(EF)?為金屬中的自由電子數。

03N2E0F，式中N

??證明：在K空間中，在周期性邊界條件下，以K?K為半徑的球內，電子的

數目為（記及自旋）：

4?3n?2V?K

32因此：dn?V?8?KdK（1）已知自由電子的能量為：E?3hK2m22，代入（1）式得：

dn?4?V(2m)231h因此電子依照能量分布的狀態密度：

3E2dE（2）

N(E)?dndEh當T=0K時，全部電子處于費米球內。設費米球半徑為KF，則電子總數為：

3?4?V(2m)231E2（3）

N?2V?

4?3K3F04??2mEF??2V?23?h?0?2???（4）

3h用（4）式除（3）式，并稍加整理便得到下式：

1?8?V?2mEF3?323N?E?2?0?N(E)?0?2EF?EF??上式是以電子的費米能級為參量的能態密度表達式。當E=EF時即得：N(E)?02E3．已知絕對零度時銀的費米能為5.5eV，試問在什么溫度下，銀的電子摩爾比熱和晶格摩爾比熱相等？（銀的德拜溫度是210K）。解：一個電子對比熱的貢獻為：

2?kBT????kB?CV?0??2?EF?這個比熱只是在低溫條件下才重要。在低溫條件下，依照德拜模型，晶格振動對比熱的貢獻為：

0F3N0F

4?T??kB????5??D?式中?D是晶體的德拜溫度。由于1mol銀中包含有N0=6.023×1023個原子,每個銀原子貢獻一個電子,因而,銀的電子摩爾比熱為:

???CV123?TR??C??5?D上式中,R?N0kB為氣體常數.

eV???N0CV124????3令：CV?CV得：

11ea?5kB?3DT????24?2E0?F

?2?5?(8.62?10?5)?2103?2?????1.75K2?24?3.14?5.5???04．假使具有bcc結構的Li晶體的晶格常數為：a?3.5?，計算其費米能(EF)、費米溫度及每個價電子的平均動能。

解：由習題1可知，在三維自由電子氣系統中，系統內的總電子數為：

N?

?0?Cf(E)EdE?C?30EF00EdE（1）

?C(EF)23因此有：

2222222??3?N?3??3N?302?????3?n?3（2）EF?????2m?VC?2m?2C?對于具有體心立方結構的單價金屬Li，每個立方晶胞內含有兩個原子，每個原

2子有一個價電子，故自由電子的濃度為：n?3，a為晶格常數。將相應的數值

a代入（2）式中，得：

E0F??1.055?10?2m?3422?6?2?3?a??3??7.58?10?19J?4.74eV??平均動能：

30Ee?EF?2.84eV

504費米溫度為：TF?EF/kB?5.46?10K

5．已知某種具有面心立方結構的金屬中自由電子氣的費米球半徑為：

12?0(12?)3，其中a為晶格參數，每個原子的原子量為63.5，晶體的質量KF?a33密度為D?8.94?10kg/m，試求：（1）該金屬的原子價???（2）

EF??eV

解，（1）由習題4可知，0K下的費米能為：

2222222?3??203??????3?nKF?2m2m?0??3?N?3N?30?EF????2m??2C??VC由此得費米球半徑為：K0F?2

?3?n?2?13（1）

對于fcc結構，原子的體積密度為：??的體積密度為：n???4a3，假使原子價為：?，那么電子

4a3，代入（1）式，得：

1a與已知條件對照，可知??1，即每個原子的價電子數為1。（2）由于原子的體積密度為：??為：n????KF?(3?02?43??)3

DNMaA，Ma是原子量，自由電子的體積密度

?DNMaA，故0K下電場費米能為：

223E0F??22m?3?n?20?3??DN??2m?Ma???1822A?3???代入有關數據得：EF?1.14?10

J?7.12eV

二、金屬的電導理論

1．已知金屬銅的費米能EF?7.12eV,在273K溫度下電阻率??1.58?10?8??cm，

求（1）銅中電子的費米速度，（2）平均自由時間?和平均自由程?。解：由于費米球半徑為：

KF?1??2mEF?2

111故費米面上的電子速率為：vF??KFm*??KFme2?2EF???me??2?7.12?1.6?10?19?2?????31?9.1?10???2??1.58?106m/s??

（2）對于自由電子等能面為球的金屬，其電導率表示為：

??ne?m*2?ne?m*vF?1?

式中?是KF的函數，即???(KF)。因此平均自由程為：

??m*vFne?0EF322

??2由于：

0F32m?3n??232323，因此有：

n??2m*E?3??2??2m*EF?23????2?9.1?10?312?7.12?1.6?10?19?323?3.14?31?1.055?10??343??8.6?1028m?3

那么電子的平均自由程為：

??mv2Fne??8.6?109.1?1028?1.58?10?1926?1.6?10???4.2?10?8?8m?4.2?102?

?1.58?10平均自由時間為：

?F??vF13?4.2?10?861.58?10?2.7?10?14s

2．證明對于具有球形費米面的金屬，其電導率可以表示為：??evF?Fg?EF22?

D(EF)VC式中e為電子電量；vF、?F為費米面上電子的速度和馳豫時間（或平均自由時間）；

g(EF)為費米面附近單位晶體體積的能態密度，因此g(EF)?，其中D(EF)是晶體的能態密度。證明：由于：

12?4?VCD(EF)?C?EF?2m?2h3312EF（1）

所以：g(EF)?D(EF)VCh另外由“固體電子論基礎〞的習題1可知，晶體中自由電子的濃度可以由下式表示：n??4??2m?23312（2）EFNV3h3h（3）式除以（2）式得：

n2?EF（4）

g(EF)3所以：n??8?33(2mEF)2?08?33(2mEF)2（3）

23EFg(EF)（5）?KF22上式中：EF?m2m2（6）式代入（5）式得：

21122n??mvF?g(EF)?mvFg(EF)（7）

323對于各向同性的球形電子等能面的金屬晶體來說，其電導率可以表示為：???1mvF（其中：vF?2?KF）（6）

ne?F2m將（7）式代入（8）式即得：

122??evF?Fg(EF)

3

03．設鈉為各向同性的金屬晶體，已知鈉的費米能EF在T=0K時測知其電?3.2eV。導率為2.1×1017(??cm)?1，求該溫度下鈉電子的馳豫時間?。解：由于鈉為各向同性的金屬晶體，所以有：????（8）

ne?m2

m?ne2。（1）

由上題可知：n?8?33h（2）式代入（1）式得：

?2mE?0F32（2）

??3??m?e2mEF?9232?0?32?3hm23?12?8?e2EF?0???9.1?10?2.1?10??8?3.14??1.6?10???2?3.2?1.6?10?36.63?10?273?28?21732?122?12?132?2.9?10s

三、固體的介電性能

1．定性說明固體電介質極化的三種微觀過程及其對外加電場頻率的依靠關系。2．何謂洛倫茲有效場理論？該理論作了哪些基本假設？有哪些局限性？3．何謂介質極化馳豫？它對介質的介電性質有何影響？4．何謂介質損耗，引起介質損耗的原因是什么？

四、固體的磁性

1．自由原子的磁矩的主要來源是什么？

2．試用洪德規則確定離子Ce3+、Er3+的基態，并用原子狀態的光譜表示法（即LJ）表示。

3．說明鐵磁性、亞鐵磁性、反鐵磁性的區別。