銳角三角函數的難題匯編及答案一、選擇題1．如圖，在菱形ABCD中，按以下步驟作圖：①分別以點C和點D為圓心，大于為半徑作弧，兩弧交于點M，N；②作直線MN，且恰好經過點A，與CD交于點E，連接BE，則下列說法錯誤的是（）A． B． C．若AB=4，則 D．【答案】C【解析】【分析】由作法得AE垂直平分CD，則∠AED=90°，CE=DE，于是可判斷∠DAE=30°，∠D=60°，從而得到∠ABC=60°；利用AB=2DE得到S△ABE=2S△ADE；作EH⊥BC于H，如圖，若AB=4，則可計算出CH=CE=1，EH=CH=，利用勾股定理可計算出BE=2；利用正弦的定義得sin∠CBE=．【詳解】解：由作法得AE垂直平分CD，∴∠AED=90°，CE=DE，

∵四邊形ABCD為菱形，

∴AD=2DE，

∴∠DAE=30°，∠D=60°，

∴∠ABC=60°，所以A選項的說法正確；

∵AB=2DE，

∴S△ABE=2S△ADE，所以B選項的說法正確；作EH⊥BC于H，如圖，若AB=4，在Rt△ECH中，∵∠ECH=60°，

CH=CE=1，EH=CH=，在Rt△BEH中，BE=，所以C選項的說法錯誤；sin∠CBE=，所以D選項的說法正確．故選C．【點睛】本題考查了基本作圖：熟練掌握基本作圖（作一條線段等于已知線段；作一個角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點作已知直線的垂線）．也考查了菱形的性質和解直角三角形．2．如圖，點從點出發沿方向運動，點從點出發沿方向運動，同時出發且速度相同，（長度不變，在上方，在左邊），當點到達點時，點停止運動．在整個運動過程中，圖中陰影部分面積的大小變化情況是（）A．一直減小 B．一直不變 C．先減小后增大 D．先增大后減小【答案】B【解析】【分析】連接GE，過點E作EM⊥BC于M，過點G作GN⊥AB于N，設AE=BG=x，然后利用銳角三角函數求出GN和EM，再根據S陰影=S△GDE＋S△EGF即可求出結論．【詳解】解：連接GE，過點E作EM⊥BC于M，過點G作GN⊥AB于N設AE=BG=x，則BE=AB－AE=AB－x∴GN=BG·sinB=x·sinB，EM=BE·sinB=（AB－x）·sinB∴S陰影=S△GDE＋S△EGF=DE·GN＋GF·EM=DE·（x·sinB）＋DE·[（AB－x）·sinB]=DE·[x·sinB＋（AB－x）·sinB]=DE·AB·sinB∵DE、AB和∠B都為定值∴S陰影也為定值故選B．【點睛】此題考查的是銳角三角函數和求陰影部分的面積，掌握利用銳角三角函數解直角三角形和三角形的面積公式是解決此題的關鍵．3．如圖，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，點D是CB延長線上的一點，且BD＝BA，則tan∠DAC的值為（）A．2＋ B．2 C．3＋ D．3【答案】A【解析】【分析】【詳解】設AC=x，在Rt△ABC中，∠ABC=30°，即可得AB=2x，BC=x，所以BD=BA=2x，即可得CD=x+2x=（+2）x，在Rt△ACD中，tan∠DAC=，故選A.4．為了方便行人推車過某天橋,市政府在10m高的天橋一側修建了40m長的斜道(如圖所示),我們可以借助科學計算器求這條斜道傾斜角的度數,具體按鍵順序是()A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】先利用正弦的定義得到sinA=0.25，然后利用計算器求銳角∠A．【詳解】解：因為AC＝40，BC＝10，sin∠A＝，所以sin∠A＝0.25.所以用科學計算器求這條斜道傾斜角的度數時，按鍵順序為故選：A．點睛：本題考查了計算器-三角函數：正確使用計算器，一般情況下，三角函數值直接可以求出，已知三角函數值求角需要用第二功能鍵．5．如圖，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，點D是CB延長線上的一點，且AB＝BD，則tanD的值為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】設AC＝m，解直角三角形求出AB，BC，BD即可解決問題．【詳解】設AC＝m，在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∠ABC＝30°，∴AB＝2AC＝2m，BC＝AC＝m，∴BD＝AB＝2m，DC＝2m+m，∴tan∠ADC＝＝＝2﹣．故選：D．【點睛】本題考查解直角三角形，直角三角形30度角的性質等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．6．如圖，已知圓的內接六邊形的邊心距，則該圓的內接正三角形的面積為（）A．2 B．4 C． D．【答案】D【解析】【分析】連接，過作于，證出是等邊三角形，根據銳角三角函數的定義求解即可．【詳解】解：如圖所示，連接，過作于，∵多邊形是正六邊形，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，∴，∴．∵，∴，∴，∴該圓的內接正三角形的面積，故選：D．【點睛】本題考查的是正六邊形的性質、等邊三角形的判定與性質、三角函數；熟練掌握正六邊形的性質，由三角函數求出是解決問題的關鍵．7．如圖，已知AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，過點C的切線與AB的延長線交于點P，連接AC，若∠A=30°，PC=3，則⊙O的半徑為（）A． B．2 C． D．【答案】A【解析】連接OC，∵OA=OC，∠A=30°，∴∠OCA=∠A=30°，∴∠COB=∠A+∠ACO=60°，∵PC是⊙O切線，∴∠PCO=90°，∠P=30°，∵PC=3，∴OC=PC?tan30°=，故選A8．如圖，是一張頂角是的三角形紙片，現將折疊，使點B與點A重合，折痕DE，則DE的長為（）A．1 B．2 C． D．【答案】A【解析】【分析】作AH⊥BC于H，根據等腰三角形的性質求出BH，根據翻折變換的性質求出BD，根據正切的定義解答即可．【詳解】解：作AH⊥BC于H，∵AB=AC，AH⊥BC，

BH=BC=3，∵∠BAC=120°，AB=AC，

∴∠B=30°，

∴AB==2，由翻折變換的性質可知，DB=DA=，∴DE=BD?tan30°=1，

故選：A．【點睛】此題考查翻折變換的性質、勾股定理的應用，解題關鍵在于掌握翻折變換是一種對稱變換，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等．9．如圖，是的弦，直徑交于點，若，，則的長為()A． B．4 C．6 D．【答案】D【解析】【分析】連接．證明是等邊三角形即可解決問題．【詳解】如圖，連接．∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴是等邊三角形，∵，∴，故選D．【點睛】本題考查圓周角定理，勾股定理，垂徑定理，解直角三角形等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．10．如圖，Rt△AOB中，∠AOB=90°，AO=3BO，OB在x軸上，將Rt△AOB繞點O順時針旋轉至△RtA'OB'，其中點B'落在反比例函數y=﹣的圖象上，OA'交反比例函數y=的圖象于點C，且OC=2CA'，則k的值為（）A．4 B． C．8 D．7【答案】C【解析】【詳解】解：設將Rt△AOB繞點O順時針旋轉至Rt△A'OB'的旋轉角為α，OB=a，則OA=3a，由題意可得，點B′的坐標為（acosα，﹣asinα），點C的坐標為（2asinα，2acosα），∵點B'在反比例函數y=﹣的圖象上，∴﹣asinα=﹣，得a2sinαcosα=2，又∵點C在反比例函數y=的圖象上，∴2acosα=，得k=4a2sinαcosα=8.故選C.【點睛】本題主要考查反比例函數與幾何圖形的綜合問題，解此題的關鍵在于先設旋轉角為α，利用旋轉的性質和三角函數設出點B'與點C的坐標，再通過反比例函數的性質求解即可.11．某同學利用數學知識測量建筑物DEFG的高度．他從點出發沿著坡度為的斜坡AB步行26米到達點B處，用測角儀測得建筑物頂端的仰角為37°，建筑物底端的俯角為30°，若AF為水平的地面，側角儀豎直放置，其高度BC=1.6米，則此建筑物的高度DE約為(精確到米，參考數據：，)（）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】C【解析】【分析】如圖，設CB⊥AF于N，過點C作CM⊥DE于M，根據坡度及AB的長可求出BN的長，進而可求出CN的長，即可得出ME的長，利用∠MBE的正切可求出CM的長，利用∠DCM的正切可求出DM的長，根據DE=DM+ME即可得答案．【詳解】如圖，設CB⊥AF于N，過點C作CM⊥DE于M，∵沿著坡度為的斜坡AB步行26米到達點B處，∴，∴AN=2.4BN，∴BN2+（2.4BN）2=262，解得：BN=10（負值舍去），∴CN=BN+BC=11.6，∴ME=11.6，∵∠MCE=30°，∴CM==11.6，∵∠DCM=37°，∴DM=CM·tan37°=8.7，∴DE=ME+DM=11.6+8.7≈26.7（米），故選：C．【點睛】本題考查解直角三角形的應用，正確構造直角三角形并熟練掌握三角函數的定義及特殊角的三角函數值是解題關鍵．12．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=2，以AB的中點為圓心，OA的長為半徑作半圓交AC于點D，則圖中陰影部分的面積為()A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】連接OD，過點O作OH⊥AC，垂足為H，則有AD=2AH，∠AHO=90°，在Rt△ABC中，利用∠A的正切值求出∠A=30°，繼而可求得OH、AH長，根據圓周角定理可求得∠BOC=60°，然后根據S陰影=S△ABC-S△AOD-S扇形BOD進行計算即可.【詳解】連接OD，過點O作OH⊥AC，垂足為H，則有AD=2AH，∠AHO=90°，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=2，tan∠A=，∴∠A=30°，∴OH=OA=，AH=AO?cos∠A=，∠BOC=2∠A=60°，∴AD=2AH=，∴S陰影=S△ABC-S△AOD-S扇形BOD==，故選A.【點睛】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，扇形面積，解直角三角形等知識，正確添加輔助線，熟練掌握和靈活運用相關知識是解題的關鍵.13．如圖，等邊邊長為，點是的內心，，繞點旋轉，分別交線段、于、兩點，連接，給出下列四個結論：①形狀不變；②的面積最小不會小于四邊形的面積的四分之一；③四邊形的面積始終不變；④周長的最小值為．上述結論中正確的個數是（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【解析】【分析】連接OB、OC，利用SAS證出△ODB≌△OEC，從而得出△ODE是頂角為120°的等腰三角形，即可判斷①；過點O作OH⊥DE，則DH=EH，利用銳角三角函數可得OH=OE和DE=OE，然后三角形的面積公式可得S△ODE=OE2，從而得出OE最小時，S△ODE最小，根據垂線段最短即可求出S△ODE的最小值，然后證出S四邊形ODBE=S△OBC=即可判斷②和③；求出的周長=a＋DE，求出DE的最小值即可判斷④．【詳解】解：連接OB、OC∵是等邊三角形，點是的內心，∴∠ABC=∠ACB=60°，BO=CO，BO、CO平分∠ABC和∠ACB∴∠OBA=∠OBC=∠ABC=30°，∠OCA=∠OCB=∠ACB=30°∴∠OBA=∠OCB，∠BOC=180°－∠OBC－∠OCB=120°∵∴∠BOC∴∠FOG－∠BOE=∠BOC－∠BOE∴∠BOD=∠COE在△ODB和△OEC中∴△ODB≌△OEC∴OD=OE∴△ODE是頂角為120°的等腰三角形，∴形狀不變，故①正確；過點O作OH⊥DE，則DH=EH∵△ODE是頂角為120°的等腰三角形∴∠ODE=∠OED=（180°－120°）=30°∴OH=OE·sin∠OED=OE，EH=OE·cos∠OED=OE∴DE=2EH=OE∴S△ODE=DE·OH=OE2∴OE最小時，S△ODE最小，過點O作OE′⊥BC于E′，根據垂線段最短，OE′即為OE的最小值∴BE′=BC=在Rt△OBE′中OE′=BE′·tan∠OBE′=×=∴S△ODE的最小值為OE′2=∵△ODB≌△OEC∴S四邊形ODBE=S△ODB＋S△OBE=S△OEC＋S△OBE=S△OBC=BC·OE′=∵=×∴S△ODE≤S四邊形ODBE即的面積最小不會小于四邊形的面積的四分之一，故②正確；∵S四邊形ODBE=∴四邊形的面積始終不變，故③正確；∵△ODB≌△OEC∴DB=EC∴的周長=DB＋BE＋DE=EC＋BE＋DE=BC＋DE=a＋DE∴DE最小時的周長最小∵DE=OE∴OE最小時，DE最小而OE的最小值為OE′=∴DE的最小值為×=∴的周長的最小值為a＋=，故④正確；綜上：4個結論都正確，故選A．【點睛】此題考查的是等邊三角形的性質、全等三角形的判定及性質、銳角三角函數、三角形的面積公式和垂線段最短的應用，掌握等邊三角形的性質、全等三角形的判定及性質、銳角三角函數、三角形的面積公式和垂線段最短是解決此題的關鍵．14．如圖，在中，，則的長為（）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】先利用相似三角形的相似比證明點D是AB的中點，再解直角三角形求得AB，最后利用直角三角形斜邊中線性質求出DF．【詳解】解：∵，∴，∵，∴點D是AB的中點，∵，，∴∠B＝30°，∴，∴DF=3，故選：D．【點睛】此題主要考查相似三角形的判定與性質、解直角三角形和直角三角形斜邊中線性質，熟練掌握性質的運用是解題關鍵．15．如圖，矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，AB：BC＝2：1，且BE∥AC，CE∥DB，連接DE，則tan∠EDC＝（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】過點E作EF⊥直線DC交線段DC延長線于點F，連接OE交BC于點G．根據鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可判斷四邊形OBEC是菱形，則OE與BC垂直平分，易得EF=x，CF=x．再由銳角三角函數定義作答即可．【詳解】解：∵矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，AB：BC＝2：1，∴BC＝AD，設AB＝2x，則BC＝x．如圖，過點E作EF⊥直線DC交線段DC延長線于點F，連接OE交BC于點G．∵BE∥AC，CE∥BD，∴四邊形BOCE是平行四邊形，∵四邊形ABCD是矩形，∴OB＝OC，∴四邊形BOCE是菱形．∴OE與BC垂直平分，∴EF＝AD＝x，OE∥AB，∴四邊形AOEB是平行四邊形，∴OE＝AB＝2x，∴CF＝OE＝x．∴tan∠EDC＝＝＝．故選：B．【點睛】本題考查矩形的性質、平行四邊形的判定與性質、菱形的判定與性質以及解直角三角形，解題的關鍵是熟練掌握矩形的性質和菱形的判定與性質，屬于中考?？碱}型．16．如圖，一艘輪船從位于燈塔C的北偏東60°方向，距離燈塔60nmile的小島A出發，沿正南方向航行一段時間后，到達位于燈塔C的南偏東45°方向上的B處，這時輪船B與小島A的距離是()A．nmile B．60nmile C．120nmile D．nmile【答案】D【解析】【分析】過點C作CD⊥AB，則在Rt△ACD中易得AD的長，再在直角△BCD中求出BD，相加可得AB的長．【詳解】過C作CD⊥AB于D點，∴∠ACD=30°，∠BCD=45°，AC=60．在Rt△ACD中，cos∠ACD=，∴CD=AC?cos∠ACD=60×．在Rt△DCB中，∵∠BCD=∠B=45°，∴CD=BD=30，∴AB=AD+BD=30+30．答：此時輪船所在的B處與燈塔P的距離是（30+30）nmile．故選D．【點睛】此題主要考查了解直角三角形的應用-方向角問題，求三角形的邊或高的問題一般可以轉化為解直角三角形的問題，解決的方法就是作高線．17．如圖，已知⊙O上三點A，B，C，半徑OC=1，∠ABC=30°，切線PA交OC延長線于點P，則PA的長為（）A．2 B． C． D．【答案】B【解析】【分析】連接OA，由圓周角定理可求出∠AOC=60°，再根據∠AOC的正切即可求出PA的值.【詳解】連接OA，∵∠ABC=30°，∴∠AOC=60°，∵PA是圓的切線，∴∠PAO=90°，∵tan∠AOC=,∴PA=tan60°×1=.故選B.【點睛】本題考查了圓周角定理、切線的性質及銳角三角函數的知識，根據圓周角定理可求出∠A