遂寧市高2023屆第二次診斷性考試數學（理工類）注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、座位號和準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知，則（）A． B． C． D．2．設全集為R，集合，，則（）A． B． C． D．3．某鄉鎮為推動鄉村經濟發展，優化產業結構，逐步打造高品質的農業生產，在某試驗區種植了某農作物．為了解該品種農作物長勢，在實驗區隨機選取了100株該農作物苗，經測量，其高度（單位：cm）均在區間內，按照，，，，分成5組，制成如圖所示的頻率分布直方圖，記高度不低于16cm的為“優質苗”．則所選取的農作物樣本苗中，“優質苗”株數為（）A．20 B．40 C．60 D．886．數學與音樂有著緊密的關聯，我們平時聽到的樂音一般來說并不是純音，而是由多種波疊加而成的復合音．如圖為某段樂音的圖象，則該段樂音對應的函數解析式可以為（）A． B．C． D．4．已知，，則（）A． B． C． D．6．一個四棱臺的三視圖如圖所示，其中正視圖和側視圖均為上底長為2，下底長為4，腰長為2的等腰梯形，則該四棱臺的體積為（）A． B． C． D．567．已知實數a，b滿足，則下列各項中一定成立的是（）A． B． C． D．8．已知四棱柱的底面是正方形，，，點在底面ABCD的射影為BC中點H，則直線與平面ABCD所成角的正弦值為（）A． B． C． D．9．已知函數．給出下列結論：是的最小值；②函數在上單調遞增；③將函數的圖象上的所有點向左平移個單位長度，可得到函數的圖象．其中所有正確結論的序號是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③10．已知直線l：與拋物線交于點A，B，以線段AB為直徑的圓經過定點，則（）A．4 B．6 C．8 D．1011．在菱形ABCD中，，，將繞對角線BD所在直線旋轉至BPD，使得，則三棱錐的外接球的表面積為（）A． B． C． D．12．若存在，使不等式成立，則a的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，，，則實數______．14．已知的展開式中含項的系數為-60，則______．15．已知O為坐標原點，直線與雙曲線C：的兩條漸近線從左往右順次交于A，B兩點．若，則雙曲線C的離心率為______．16．中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．若，且，則周長的最大值為______．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生依據要求作答。（一）必考題：共60分。17．（12分）某商店銷售某種產品，為了解客戶對該產品的評價，現隨機調查了200名客戶，其評價結果為“一般”或“良好”，并得到如下列聯表：一般良好合計男20100120女305080合計50150200（1）通過計算判斷，有沒有99%的把握認為客戶對該產品的評價結果與性別有關系？（2）該商店在春節期間開展促銷活動，該產品共有如下兩個銷售方案．方案一：按原價的8折銷售；方案二：顧客購買該產品時，可在一個裝有4張“每滿200元少80元”，6張“每滿200元少40元”共10張優惠券的不透明箱子中，隨機抽取1張，購買時按照所抽取的優惠券進行優惠．已知該產品原價為260（元/件）．顧客甲若想采用方案二的方式購買一件產品，估計顧客甲需支付的金額；你認為顧客甲選擇哪種購買方案較為合理？附表及公式：0.150.100.050.0250.0102.0722.7063.8415.0246.635其中，．18．（12分）已知數列是公差為2的等差數列，．是公比大于0的等比數列，，．（1）求數列和的通項公式；（2）若數列滿足，求的前n項和．19．（12分）如圖，在三棱錐中，H為的內心，直線AH與BC交于M，，．（1）證明：平面平面ABC；（2）若，，，求二面角的余弦值．20．（12分）已知橢圓E：經過，兩點，M，N是橢圓E上異于T的兩動點，且，直線AM，AN的斜率均存在，并分別記為，．（1）求證：為常數；（2）求面積的最大值．21．（12分）已知函數有兩個極值點，．（1）求a的取值范圍；（2）若，求λ的取值范圍．（二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分。22．[選修4-4：坐標系與參數方程]（10分）在直角坐標系xOy中，直線l的參數方程為（t為參數）．以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為．（1）求C的直角坐標方程；（2）設直線l與曲線C交于A，B，求．23．[選修4-5：不等式選講]（10分）設函數．（1）解不等式；（2）令的最小值為T，正數x，y，z滿足，證明：．參考解答及評分參考一、選擇題1．答案：A解析：．命題意圖：本小題設置課程學習情境，設計基礎性問題，主要考查復數的乘法與除法運算等基礎知識；考查運算求解能力．2．答案：C解析：由解得，所以，．命題意圖：本小題設置課程學習情境，設計基礎性問題，主要考查集合的補集與交集運算等基礎知識；考查運算求解能力，應用意識．3．答案：C解析：該農作物苗高度在，的頻率分別為0.4，0.2，則“優質苗”株數為（株）．命題意圖：本小題以鄉村振興、農業生產為命題情境，以直方圖為載體考查概率統計問題，考查概率統計思想和應用意識．4．答案：A解析：由題可知，該樂音對應的函數為奇函數，A，B選項中的函數為奇函數，選項C中的函數為非奇非偶函數；D選項中的函數為偶函數，排除C，D．對于選項B，當時，，不符合題意，故選A．命題意圖：本小題以音樂與數學為應用型情境，以函數圖象為載體，考查函數圖象的應用，考查數形結合思想；考查直觀想象素養．5．答案：D解析：由有，因為，所以且，代入解得．命題意圖：本小題設置課程學習情境，設計基礎性問題，主要考查二倍角與同角三角函數關系等基礎知識；考查運算求解能力，邏輯推理能力，應用意識．6．答案：A解析：四棱臺的下底面為邊長是4的正方形，上底面為邊長是2的正方形，高為，故四棱臺的體積．命題意圖：本小題設置課程學習情境，設計基礎性問題，主要考查四棱臺的直觀圖與三視圖的轉化、棱臺的體積等基礎知識，考查空間想象能力，數學運算核心素養．7．答案：D解析：因，則，于是有，則A選項不正確；對于B，可知，則在區間上沒有單調性，則不一定有，B選項不正確；由得，則有，故，C選項不正確；由，知函數在R上單調遞減，函數在上單調遞增，則，D選項正確．命題意圖：本小題以指數式與對數式為知識探索情境，以指數式、對數式大小比較為載體，考查函數性質綜合應用，考查化歸與轉化、數形結合思想；考查抽象概括、推理論證能力；考查邏輯推理、直觀想象素養．8．答案：C解析：由已知，面ABCD，，在中，．即點到平面ABCD的距離是．過作直線BC的垂線，垂足為E，則，，在中，．由于，故直線與平面ABCD所成角等于直線BC?與平面ABCD所成角，即，顯然．命題意圖：本小題設置課程學習情境，設計綜合性問題，以斜四棱柱為載體，考查直線與平面的位置關系及線面所成的角，主要考查空間想象能力和數學運算、邏輯推理素養．9．答案：B解析：，是的最小值，故①正確；在上單調遞減，在上單調遞增，故②錯誤；將函數的圖象上的所有點向左平移個單位長度，得到函數的圖象，即函數的圖象，故③正確．綜上，所有正確結論的序號是①③．命題意圖：本小題設置課程學習情境，設計綜合性問題，考查兩角和差的三角函數公式，三角函數學數的最值問題，單調性，圖象的平移變換，誘導公式等基礎知識；考查運算求解能力，化歸與轉換思想，數形結合思想，應用意識．10．答案：C解析：設，，由得．由得，此時，，從而．由得，于是，解得，．命題意圖：本小題設置課程學習情境，設計綜合性問題，主要考查直線、圓及拋物線的方程，直線與拋物線的關系等基礎知識，考查數形結合、化歸與轉化思想，考查邏輯推理、數學運算核心素養．11．答案：B解析：由，．取BD的中點為M，則，，故．又因為，故面ABD．設三棱錐的外接球球心為O，半徑為R，的外接圓圓心為，則面ABD，故．連接OP，則在直角梯形中，，，，．又因為，所以，．故三棱錐的外接球表面積為．命題意圖：本小題設置課程學習情境，設計綜合性問題，主要考查幾何圖形的旋轉、三棱錐的外接球及球的表面積等基礎知識，考查空間想象能力，考查邏輯推理、數學運算等核心素養．12．答案：D解析：由于，則原不等式等價于，則有，令，則原不等式化為，令，，因為，，如圖可知，當時，則有，則有，所以，由已知，存在，使得不等式成立，則，解得．命題意圖：本小題是由包含指數、對數式的不等式等構成的知識探索情境，以存在性問題為載體，主要考查函數性質、不等式以及導數綜合應用等知識；考查推理論證、運算求解等數學能力；考查函數與方程、化歸與轉化、數形結合等數學思想；考查數學抽象、邏輯推理、數學運算等素養．二、填空題13．答案：2解析：由，，解得．命題意圖：本小題設置課程學習情境，設計基礎性問題，主要考查向量的減法與向量的模等基礎知識；考查運算求解能力，方程思想．14．答案：解析：展開式中含項為，由，解得．命題意圖：本小題是以二項式定理為情景設置的系數探索問題，主要考查二項式定理及其應用等基礎知識，考查運算求解等數學能力．15．答案：解析：因為，所以，設，則，因為，所以，即，即，所以，．命題意圖：本小題設置課程學習情境，設計綜合性問題，主要考查雙曲線的方程和離心率、直線與雙曲線的關系等基礎知識，考查數形結合、化歸與轉化思想，考查邏輯推理、數學運算核心素養．16．答案：解析：由已知根據正弦定理得，即，所以，所以，由正弦定理得，所以，，其中，故，因為，所以當時，的周長取得最大值．命題意圖：本小題設置課程學習情境，設計綜合性問題，主要考查正（余）弦定理，兩角和差的三角函數，三角函數求最值等基礎知識；考查運算求解能力，化歸與轉化思想，函數思想，應用意識．三、解答題17．解析：（1）由題，得，…………………2分因此，有99%的把握認為客戶對該產品的評價結果與性別有關系…………4分（2）顧客甲若想采用方案二的方式購買一件產品，設可能支付的金額為X，X的值可能為180，220…5分由題；，……7分則（元），顧客甲若采用方案二的方式購買一件產品，需支付金額的估計值為204（元）．……………9分顧客甲若采用方案一的方式購買一件產品，需支付金額為（元）…………11分所以，該顧客采用方案二的方式購買較為合理…………………12分命題意圖：本小題考查統計案例、卡方分布、離散型隨機變量分布列等基礎知識；考查統計與概率思想；考查運算求解、數據處理以及應用意識．18．解析：（1）由已知，所以，所以數列的通項公式為．?????????????????????2分設等比數列的公比為q，由，則，即，解得，（舍去），所以數列的通項公式為．?????????????????????5分（2）由（1）得，所以①………7分②?????????8分①-②得，所以，??????????10分即，所以．?????????????????????12分命題意圖：本小題設置課程學習情境，設計綜合性問題，主要考查等差數列和等比數列的通項公式，錯位相減法求差比數列之和與等比數列求和等基礎知識；考查運算求解能力，化歸與轉化思想，方程思想，推理論證能力，應用意識．19．解析：（1）證明：設平面ABC于點N，過N作于E，于F，連接PE，PF．因為平面ABC，平面ABC，所以．又因為，所以平面PNE，所以，同理．…………2分在，中，，，故，所以．在，中，，，故，所以．…………4分即N到AB，AC的距離相等，同理N到BC，AC的距離相等，故N為的內心，N與H重合．所以平面ABC．又因為平面APM，所以平面平面ABC．………………6分（2）由于，故可以以B為坐標原點，BC為x軸，BA為y軸建立如圖所示空間直角坐標系，則，，．………7分設的內切圓半徑為r，則，故．所以，，，故．所以，，設平面AHP的法向量，則令，故平面AHP的一個法向量為…………………9分同理，，設平面ACP的法向量，則令，故平面ACP的一個法向量為．?????????????????10分所以，故二面角的余弦值為．………12分命題意圖：本小題設置課程學習情境，設計綜合性問題，主要考查空間線面位置關系、平面與平面的位置關系、二面角等基礎知識，考查空間想象能力、化歸與轉化思想，考查邏輯推理、數學運算等核心素養．20．解析：（1）橢圓經過點A，T，代入橢圓E的方程，得解得所以橢圓E的方程為：．………2分由知AM與AN關于直線AT：對稱，在AM上任取一點，則關于直線對稱的點為，……3分從而，，于是．………………4分（2）設點，，AM：，由得，所以，從而．同理．由（1）有，故，……………6分為方便，記，并不妨設，則于是???????????????????????8分?????????????????????10分（其中），當且僅當，即時取等．所以，面積的最大值為．…………12分命題意圖：本小題設置課程學習情境，設計探索性問題，主要考查橢圓的方程、直線的斜率、直線與橢圓的關系等基礎知識，考查數形結合、化歸與轉化思想，考查邏輯推理素養、數學運算核心素養．21．解析：（1）由題得，因為函數有兩個極值點，所以方程有兩個不同實數根，即方程有兩個不同實數根，設，則，知時，，則單調遞增，時，，則單調遞減，所以，時，取得極大值，又時，，時，，且時，，所以，方程有兩個不同實數根時，有．即有兩個極值點時，的取值范圍是．………5分（2）由（1）可知，的兩個極值點，是方程的兩根，且，，則有，，兩式相除，得，則有．????????????????6分由得，所以，令，………………7分令，則需恒成立，，令，則，?????????????????8分令，在上遞增，可知，，則存在，使得，當時，，則即單調遞減，當時，，即單調遞增，又，，所以