北京順義區北石槽中學2021年高三數學理上學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.下列四個命題中:，；:，；:，；:，.其中真命題是(

)(A)， (B)， (C)， (D)，參考答案：D2.若冪函數的圖象經過點，則其定義域為（）A. B.C. D.參考答案：C略3.在等比數列{an}中，若an＞0且a3a7=64，a5的值為（）A．2 B．4 C．6 D．8參考答案：D【考點】等差數列的通項公式．【分析】在等比數列中，第五項是第三項和第七項的等比中項，又有數列是正項數列，所以可直接求得結果．【解答】解：a3a7=a52=64，又an＞0，所以a5的值為8，故選D【點評】對等比中項的考查是數列題目中最常出現的，在解題過程中易出錯，在題目沒有特殊限制的情況下等比中項有兩個值，同學們容易忽略．4.設全集U={1，2，3，4，5，6}，設集合P={1，2，3，4}，Q{3，4，5}，則P∩（CUQ）=A.{1，2，3，4，6}

B.{1，2，3，4，5}C.{1，2，5}

D.{1,2}參考答案：D

Q{3，4，5}，CUQ={1，2，6}，

P∩（CUQ）={1，2}.5.設，則“”是“”的（

）Ａ.充分不必要條件Ｂ.必要不充分條件Ｃ.充要條件

Ｄ.既不充分也不必要條件參考答案：D6.設不等式組所表示的區域為M，函數y=的圖象與x軸所圍成的區域為N，向M內隨機投一個點，則該點落在N內的概率為(

) A． B． C． D．參考答案：B考點：幾何概型；簡單線性規劃．專題：概率與統計．分析：畫出圖形，求出區域M，N的面積，利用幾何概型的公式解答．解答： 解：如圖，區域M的面積為2，區域N的面積為，由幾何概型知所求概率為P=．故選B．點評：本題考查了幾何概型的運用；關鍵是求出區域的面積，利用幾何概型的公式解答．7.的值是

（

）A．2

B．1

C．－2

D．－1

參考答案：B略8.

參考答案：A略9.設集合A={}，B={}，則

A．(2，+∞)

B．[2，+∞)

C．

D．R參考答案：D10.函數的最大值為（

）A．

B．

C．

D.參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為

．參考答案：12.函數的最小正周期為______________.

參考答案：13.如圖放置的正方形,,分別在軸的正半軸上（含坐標原點）且，則的值是

.參考答案：14.如圖，的等腰直角三角形與正三角形所在平面互相垂直，是線段的中點，則與所成角的大小為

參考答案：15.設x，y滿足若目標函數z=ax+y（a>0）的最大值為14，則a=

參考答案：216.已知雙曲線的一個焦點在圓上，則雙曲線的漸近線方程為

．參考答案：17.若等差數列的首項為,公差為，前n項的和為Sn，則數列為等差數列，且通項為．類似地，請完成下列命題：若各項均為正數的等比數列的首項為，公比為，前項的積為Tn，則

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，三棱臺ABC-EFG的底面是正三角形，平面ABC⊥平面BCGF，．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）若，求三棱錐的體積．參考答案：(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ)8.【分析】(Ⅰ)取的中點為，根據等腰三角形性質得，再根據平行四邊形性質得，即得，最后根據面面垂直性質定理以及線面垂直性質定理得結果，(Ⅱ)先根據(Ⅰ)得平面，再根據三棱錐體積公式得結果.【詳解】（I）取的中點為，連結.由是三棱臺得，平面平面，從而.，，四邊形為平行四邊形，.，為的中點，，.平面平面，且交線為，平面，平面，而平面，.(Ⅱ)連結.由是正三角形，且為中點得，.由(Ⅰ)知，平面，.【點睛】本題考查三棱錐體積、面面垂直性質定理以及線面垂直性質定理，考查基本分析論證與求解能力，屬中檔題.19.(本小題滿分12分)如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，于點．（1）求證：；（2）求直線與平面所成的角的余弦值.參考答案：20.設函數，其中a≠0．（Ⅰ）若函數y=g（x）圖象恒過定點P，且點P關于直線的對稱點在y=f（x）的圖象上，求m的值；（Ⅱ）當a=8時，設F（x）=f′（x）+g（x+1），討論F（x）的單調性；（Ⅲ）在（Ⅰ）的條件下，設，曲線y=G（x）上是否存在兩點P、Q，使△OPQ（O為原點）是以O為直角頂點的直角三角形，且斜邊的中點在y軸上？如果存在，求a的取值范圍；如果不存在，說明理由．參考答案：【考點】利用導數研究函數的單調性；函數與方程的綜合運用．【專題】函數的性質及應用；導數的綜合應用．【分析】（I）先得出點P關于直線的對稱點（1，0），由題意可得f（1）=0，求出m的值；（II）先求函數定義域，然后對函數求導，再對字母m分類討論：當m≥0時，當m＜0時．分別解f′（x）＞0，f′（x）＜0，求解即可．（III）對于存在性問題，可先假設存在，即假設曲線y=G（x）上存在兩點P、Q，滿足題意，則P、Q只能在y軸的同側，再利用△OPQ是以O為直角頂點的直角三角形，求出a的取值范圍，若出現矛盾，則說明假設不成立，即不存在；否則存在．【解答】解：（I）令ln（x﹣1）=0，得x=2，∴點P關于直線的對稱點（1，0），∴f（1）=0，m+4+m=0，m=﹣3．（II）F（x）=f′（x）+g（x+1）=mx2+2（4+m）x+8lnx，（x＞0）．∴F′（x）=2mx+（8+2m）x+==，∵x＞0，∴x+1＞0，∴當m≥0時，8+2mx＞0，F′（x）＞0，此時，F（x）在（0，+∞）上是增函數，當m＜0時，由F′（x）＞0得0＜x＜﹣，由F′（x）＜0得x＞﹣，此時，F（x）在（0，﹣）上是增函數，在（﹣，+∞）上是減函數，綜上所述，m≥0時，8+2mx＞0，F′（x）＞0，此時，F（x）在（0，+∞）上是增函數，當m＜0時，由F′（x）＞0得0＜x＜﹣，由F′（x）＜0得x＞﹣，此時，F（x）在（0，﹣）上是增函數，在（﹣，+∞）上是減函數，（III）由條件（I）知，，假設曲線y=G（x）上存在兩點P、Q，滿足題意，則P、Q只能在y軸的同側，設P（t，G（t））（t＞0），則Q（﹣t，t3+t2），∵△OPQ（O為原點）是以O為直角頂點的直角三角形，∴=0，即﹣t2+G（t）（t3+t2）=0，①（1）當0＜t≤2時，G（t）=﹣t3+t2，此時方程①為﹣t2+（﹣t3+t2）（t3+t2）=0，化簡得t4﹣t2+1=0，無解．滿足條件的P、Q不存在；（2）當t＞2時，G（t）=aln（t﹣1），此時方程①為﹣t2+aln（t﹣1）（t3+t2）=0，化簡得=（t+1）ln（t﹣1），設h（x）=（t+1）ln（t﹣1），則h′（x）=ln（t﹣1）+，當t＞2時，h′（x）＞0，h（x）在（2，+∞）上是增函數，h（x）的值域為（h（2），+∞），即（0，+∞）．∴當a＞0時，方程①總有解．綜上所述，存在滿足條件的P、Q，a的取值范圍（0，+∞）．【點評】本題考查利用導數研究函數的極值及單調性，解題時若含有參數，要對參數的取值進行討論，而分類討論的思想也是高考的一個重要思想，要注意體會其在解題中的運用．21.在平面直角坐標系xoy中，以O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，直線l的極坐標方程為θ=，曲線C的參數方程為．（1）寫出直線l與曲線C的直角坐標方程；（2）過點M平行于直線l1的直線與曲線C交于A、B兩點，若|MA|?|MB|=，求點M軌跡的直角坐標方程．參考答案：【考點】直線與圓錐曲線的綜合問題；簡單曲線的極坐標方程；參數方程化成普通方程．【專題】圓錐曲線的定義、性質與方程．【分析】（1）利用極坐標與直角坐標方程的互化，直接寫出直線l的普通方程，消去參數可得曲線C的直角坐標方程；（2）設點M（x0，y0）以及平行于直線l1的直線參數方程，直線l1與曲線C聯立方程組，通過|MA|?|MB|=，即可求點M軌跡的直角坐標方程．通過兩個交點推出軌跡方程的范圍，【解答】解：（1）直線l的極坐標方程為θ=，所以直線斜率為1，直線l：y=x；曲線C的參數方程為．消去參數θ，可得曲線…（2）設點M（x0，y0）及過點M的直線為由直線l1與曲線C相交可得：，即：，x2+2y2=6表示一橢圓…取y=x+m代入得：3x2+4mx+2m2﹣2=0由△≥0得故點M的軌跡是橢圓x2+2y2=6夾在平行直線之間的兩段弧…【點評】本題以直線與橢圓的參數方程為載體，考查直線與橢圓的綜合應用，軌跡方程的求法，注意軌跡的范圍的求解，是易錯點．22.（本小題滿分12分）計算機考試分理論考試與實際操作考試兩部分進行，每部分考試成績只記“合格”與“不合格”，兩部分考試都“合格”者，則計算機考試“合格“并頒發”合格證書“.甲、乙、丙三人在理論考試中“合格”的概率依次為，在實際操作考試中“合格”的概率依次為，所有考試是否合格相互之間沒有影響。（Ⅰ）假設甲、乙、丙3人同時進行理論與實際操作兩項考試，誰獲得“合格證書”的可能性大？（Ⅱ）求這3人進行理論與實際操作兩項考試后，恰有2人獲得“合格證書”的概率；（Ⅲ）用X表示甲、乙、丙3人計