自主招生數學講義分配

編號內容負責人

1數列遞推公式，求數列通項邵宏宏

2數列求和邵宏宏

3數學歸納法孫雁

4雜數列季風

5三角恒等變換孫雁

6三角不等式王敏杰

7抽象函數倪國紅

8函數與方程張宇

9函數圖像張宇

10向量綜合倪國紅

11直線與圓黃潤育

12圓錐曲線周延軍

13參數方程、極坐標周延軍

14立體幾何季風

15復數綜合黃潤育

16組合雜題王敏杰

說明：

1.建議大家參考發給大家的自主招生試題集，主要是復旦、交大等的試題,

挑選相應內容的中等或中等偏上試題；

2.講義格式，試題數量參考發給大家的講義范例;

3.時間上要求在國慶后交初稿

大學自主招生數學簡明講義

第一講遞推數列求通項...........................................3

第二講數列求和.................................................8

第三講數學歸納法..............................................11

第四講數列雜題................................................16

第五講三角恒等變換............................................19

第六講三角不等式..............................................24

第七講函數性質................................................29

第八講函數與方程..............................................32

第九講函數性質................................................35

第十講向量綜合................................................45

第十一講直線與圓................................................45

第十二講圓錐曲線................................................57

第十三講參數方程、極坐標........................................58

第十四講立體幾何................................................58

第十五講復數綜合................................................64

第十六講組合雜題................................................64

第一講遞推數列求通項

一、公式法

例1、已知無窮數列｛a,,｝的前"項和為S,,,并且4+S“=l(〃eN*),求

｛%｝的通項公式？

反思：利用相關數列｛%｝與⑸｝的關系：4=S1,a“=S”—S“T(〃22)與

提設條件，建立遞推關系，是本題求解的關鍵.

二、歸納猜想法：由數列前幾項用不完全歸納猜測出數列的通項公式，再利

用數學歸納法證明其正確性，這種方法叫歸納法.

例2、已知數列｛%｝中，q=l,=2a?_1+l(n>2),求數列｛%｝的通

項公式.

【解析】：,/a｝-\,an-2a+1(〃>2),4=24+1=3,

%—2%+1=7

猜測勺=2"—1(〃eN*),再用數學歸納法證明.(略)

反思：用歸納法求遞推數列，首先要熟悉一般數列的通項公式，再就是一定

要用數學歸納法證明其正確性.

三、累加法：利用=%+@-％)+…-與-1)求通項公式的方法稱為

累加法。累加法是求型如=《,+/(〃)的遞推數列通項公式的基本方法

(/(〃)可求前〃項和).

例3、已知無窮數列｛a“｝的的通項公式是%=［；］,若數列｛"｝滿足

Y

a=l,bn+｝-bn=-(?>1),求數列也｝的通項公式.

反思:用累加法求通項公式的關鍵是將遞推公式變形為〃的=%+/(〃)O

四、累乘法:利用恒等式4=4"生…里22)求通項公式的方

%a2an-\

法稱為累乘法，累乘法是求型如：=g(")a”的遞推數列通項公式的基本方

法(數列g(〃)可求前n項積)。

反思：用累乘法求通項公式的關鍵是將遞推公式變形為%T=g(〃)a..

五、構造新數列(待定系數法)：將遞推公式=4%+d(q,d為常數，

q=0,4*0)通過(a“+1+x)=q(a“+x)與原遞推公式恒等變成

an+i+-=q(an+-)的方法叫構造新數列，也即是待定系數法。

q-\q-\

例5、已知數列｛?！埃?，4=1，4=2。“_]+1(〃22),求｛6(“｝的通項公式.

反思:構造新數列的實質是通過他用+x)="(a,,+x)來構造一個我們所熟知

的等差或等比數列.

六、倒數變換：將遞推數列凡“=*一(CH0,4Y0),取倒數變成

%+d

-=-的形式的方法叫倒數變換。然后就轉變為第五種情況，此時

%+icanc

將數列1看成一個新的數列，即再利用“構造新數列”的方法求解。

例6、已知數列｛4｝(〃GN*)中，卬=1,。用=—^―,求數列｛4｝的通項

2a“+1

公式.

反思:倒數變換有兩個要點需要注意:一是取倒數.二是一定要注意新數列的首

項,公差或公比變化了。

七、特征根法：形如遞推公式為%+2=/%,川+9%(其中P，q均為常數)。

對于由遞推公式a“+2=pan+i+qan,有ax=a,a2=/3給出的數列

｛%｝，方程-px—q=0,叫做數列｛a“｝的特征方程。

若否,彳2是特征方程的兩個根，

當王工￡時，數列｛%｝的通項為a“=Ax7+&7，其中A,B由

-1

a｝=a,a2=ft決定(即把a”的,x”乙和〃=1,2，代入a“=Axf+,

得到關于A、B的方程組)：

當占=/時，數列｛a“｝的通項為=(A+8〃)X：T,其中A,B由

'

-a,a2-p決定(即把q，出,％”%和"=1,2,代入%=(A+Bn)x"",

得到關于A、B的方程組)。

例7:數列｛a,J滿足3a“+2-5a“+]+2a“=0(〃20,”eN),a,=a,a2-b,

求a“

反思：本題解題的關鍵是先求出特征方程的根。再由初始值確定出A,B的

用己知量a,b表示的值，從而可得數列｛an｝的通項公式。

八、不動點法

若A,BW0且AD-BCW0,解x=4“上°，設。〃為其兩根

Cx+D

I、若a。力，數列｛a，,一0｝是等比數列;

a“一B

11、若。=(3,數列｛—*—｝是等差數歹I」。

a?-a

7a-2

例8、已知數列｛aj滿足an+i=L~7，a1=2,求數列

2an+3

｛an｝的通項公式。

金,、3x—1

反思：本題解題的關鍵是先求出函數f(x)=；；——三的不動點，即方程

4x+7

7x-211,2

x=5二3的根*=1'進而可推出其從

而可知數列｛；P為等差數列，再求出數列｛；f｝的通項公式，最

后求出數列｛an｝的通項公式。

九、換元法即是將一復雜的整體用一個新的符號來表示，從而使遞推數

列看起來更簡單，更易找到解決的方法。

例9、已知數列｛aS滿足

a

n+i=白(1+4an+Jl+24an),a1=1,求數列｛an｝的

10

通項公式。

反思：本題解題的關鍵是通過將護Wa：的換元為bn,使得所給遞推

,_1,3

關系式轉化Dn+l=2bn+'形式，從而可知數列｛bn-3｝為等比數

列，進而求出數列｛bn-3｝的通項公式，最后再求出數列｛@n｝的通項

公式。

十、取對數法：形如an+[=pan(p>0,an>0)

這種類型般是等式兩邊取對數后轉化為%t=pan+q,再利用構造新

數列(待定系數法)求解。

例10：已知數列｛%｝中，q=1,%+](a>0),求數列

a

｛%的通項公式

十一、周期型：由已知遞推式計算出前兒項，尋找周期。此題型一般是在不

能運用以上各種方法的情況下可考慮到這種方法，具有一定的探索性，雖然

比較簡單，但也是一種很重要的數學思想，需要好好掌握。

2?,?(0<??<1)

例11：若數列｛/｝滿足%M，若q=—，則出0的值

2??<1)

為___________

反思：此題的關鍵在于觀察遞推數列的形式，取一些特定的n的值，求出數

列的前幾項的值，從而找到其周期，這樣問題就迎刃而解了。

第二講數列求和

1.公式法

等差數列前n項和：

_"伍1+許).n(n+l)

_-----------HUj---------U.

特別的，當前n項的個數為奇數時，S2k+i=(2攵+1)4+1，即前n項和為中

間項乘以項數。這個公式在很多時候可以簡化運算。

等比數列前n項和：

q=l時，S"—na^

“1W)

q于1,S“=」-----特別要注意對公比的討論。

其他公式：

n1a1

1、S“=Zk=7(〃+D2、S“=2二=工"("+1)(2〃+1)

y2y6

3、S?=￡/=［］(〃+1)『

攵=12

一1

［例1］已知log?x=---------,求x+V+x'd-------xn-\—的前n項和.

log?3

*S

［例2］設Sn=l+2+3+...+n,nGN,求/(〃)=-----=-----的最大值.

(n+32)S?+1

2.錯位相減法

這種方法是在推導等比數列的前n項和公式時所用的方法,這種方法主要

用于求數列｛a0?b”｝的前n項和，其中｛%｝、｛%｝分別是等差數列和等比

數列.

23,,_,

［例3］求和：Sn=l+3x+5x+7x+---+(2n-l)x

［例4］求數歹I」*2,三46三2,n…前n項的和.

222232〃

練習：

n-,

求：Sn=l+5x+9x?+..+(4n-3)x

3.反序相加法求和

這是推導等差數列的前n項和公式時所用的方法,就是將一個數列倒過來

排列(反序)，再把它與原數列相加，就可以得到n個(％+6,).

［例5］求sin2f+sin22°+sin23°+…+sin288°+sin289°的值

4.分組法求和

有一類數列，既不是等差數列，也不是等比數列，若將這類數列適當拆

開，可分為幾個等差、等比或常見的數列，然后分別求和，再將其合并即可.

［例6］求數列的前n項和：1+1,—F4,——+!,???,+3n—2,...

aa2an~'

［例7］求數列｛n(n+l)(2n+l)｝的前n項和.

練習：求數列1±2±3±-、5+口,…的前n項和。

2482"

5.裂項法求和

這是分解與組合思想在數列求和中的具體應用.裂項法的實質是將數列

中的每項(通項)分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和

的目的.通項分解(裂項)如：

(1)an=/(n+1)-/(?)

?［o

(2)-------=tan(/2+1)°-tan

cosn°cos(7i+1)°

“n(n+1)nn+1

,、(2")2,1/11、

4a"=(277-l)(2n+l)=+22n-l-2n+l

(5)an=-----i-----=-[-...........------]

〃(幾-1)(〃+2)2n(n+1)(〃+1)(〃+2)

(6)

一士22.2(〃+1)-〃_________咻-1_一1—

n(n+1)2"〃(〃+1)2"n-T-'(〃+1)2"'、"(〃+1)2"

［例9］求數列」■尸，二廣,?-\---,???的前n項和.

1+V2J2+J3+l

1。0

[例10]在數列伯口中，an=----1---------1-----1——,又么=--------

〃+1n+1〃+1an-a“+[

求數列｛bn｝的前n項的和.

[例U]求證：-----J-------+--------!--------+…+---------!----------=駕1

cos00cosl°cosl°cos20cos88°cos89°sin~l°

練習：求13,115,135,163之和。

6.合并法求和

針對一些特殊的數列，將某些項合并在一起就具有某種特殊的性質，因此,

在求數列的和時，可將這些項放在一起先求和，然后再求

[例12]求cosl°+cos2°+cos3°+?,?+cosl78°+cosl79°的值.

解：設Sn=cosl°+cos2°+cos3°+???+cosl780+cosl79°

???cosn0=-cos(180°-n°)(找特殊性質項)

Sn=(cosl°+cosl79°)+(cos20+cosl78°)+(cos3°+cosl77°)

+???+(cos89°+cos91°)+cos900(合并求和)

=0

［例13］數列｛%｝：%=1,。2=3,。3=2,a“+2=a“+i-a“，求S2002.

【例14］在各項均為正數的等比數列中，若a,a6=9,求

log,a,+log,a2+…+k>g34o的值.

以上一個6種方法雖然各有其特點，但總的原則是要善于改變原

數列的形式結構，使其能進行消項處理或能使用等差數列或等比數列的

求和公式以及其它已知的基本求和公式來解決，只要很好地把握這一規

律，就能使數列求和化難為易，迎刃而解。

第三講數學歸納法

【基礎知識】

1.數學歸納法可以證明與正整數n有關的命題，可以是數列通項，數列求和,

也可以是不等式證明，整除問題等.自主招生中不等式的證明較常見.

2.數學歸納法證明的格式特別要注意，第一步對初始值的驗證必須做，第二

步假設n=k時命題成立，證明n=k+l時命題也成立.第二步的證明需要用

到歸納假設，還需要從題設中利用遞推關系從n=k得到n=k+l時的表達

式.兩個步驟都非常重要.

3.數學歸納法的關鍵在與如何得到?個普遍適用的遞推關系，如何從n=k證

明n=k+l時命題仍成立，有時候歸納的技巧比較高.

【典型例題】

例題1：設斐波那契數列<=力=1,/用=/“+￡i（〃N2,〃eN*），求證：f4n

是5的倍數.

【分析】：這是整除問題，關鍵是如何利用歸納假設.〃=人到〃=k+l,其

實質是將/軟+4表示成和另外5的倍數的形式，利用遞推公式可得.

例題2：設正數數列｛%｝的前n項的和為S“，且S”=」（%+」-）,試猜想

2%

出并證明數列｛*｝的通項公式.

【分析】：數學歸納法在數列中求通項、求和時是基本的方法之一.猜測、歸

納、證明，完整的解答需要這三個方面.

【解答】：n=l時，a]=S]=—（a,+—）,所以q=l；

2ax

n=2時，S2=4]+〃2=—（。2~1---）?所以a]+2。2—1=0，%=—1

2a2

（負值已舍）;

n=3時，S3=%+4+。3=—（“3---），所以—1=0，

2%

%=V3-V2.

猜想-下面用數學歸納法證明.

（1）當n=l,2,3時命題已證.

（2）假設n=k時，有氏=尿\成立.則當n=k+l時，

ak+]=SHI—s女，即

11、1/1、

4+1=T（z%+1+-----）-T（%+一）

24+12ak

所以。M+2阮心]-1=0,所以%猜想也成立.

綜上得，對一切〃wN,%=五一J7一1總成立.

例題3：證明：1+/+提+…+與<2-」(”22,neN*)

【分析】：這是數學歸納法證明不等式，利用歸納假設和不等式證明的基本方

法是關鍵.不等式證明的常用方法有比較法，放縮法，公式法，分析法，綜

合法，反證法等.

【證明】：①當〃=2時，左邊=3<2-4=右邊，即不等式成立；

42

②假設〃=燈攵22)時不等式成立，即1+提+"+…+￡<2—：

則〃=攵+1左邊

,11111cl1cl

=1+—+—+???+—+----r<2——+-----<2——+-----=2-----

2232k2伏+iyk(k+l)2kA(&+1)k+\

故，”=k+l時不等式也成立.

由①、②知，原不等式成立.

例題4：證明不等式(])">“！>(g)",當自然數論6時成立.

【分析】：由于是兩個不等式，證明時要注意歸納假設也是兩個不等式.

【證明】：①當〃=6時，不等式變形為(g)6=729>6!=120>(g)6=64,

顯然成立；

②假設〃=以左26)時不等式成立，BP(1/>A!〉(g)*

L4.1k+1

則〃=左+1時要證(下一)E>伏+1)!>(亍)e；

根據歸納假設，(Z+l)!=(k+l)M!<(k+l)-(1y；

伙+1).()<(胃產o2<(1+)，

22k

而/伙)=(1+3”單調遞增，且2=/Xl)W/(Q<e<3,故

（中產〉伏+1）!成立

同理，（左+1）!=伏+1）4！〉伏+i>（1y,

（%+1）?（￡“）〃>（-A+1/+,=13>（i+也成立

33k

b1L1

故〃=4+1時不等式（寸+>（A+1）!〉（中+也成立.

由①、②知，原不等式成立.

例題5：對于任意〃eN,X],/,…x,均為非負實數，且玉+々+…+x.,

試用數學歸納法證明：（1—看）（1—》2）…（1一五）之；成立.

【分析】：如何利用已知條件中的關于n的表達式，是歸納假設的關鍵.

證明：①顯然，〃=1時，%,<^-=>1-x,當〃=2時，xt+x2<,

又西,々為正數，故（1一司）（1一々）=1-（陽+%2）+%》22^+王/2,,不等

式成立；

②假設當"=左時，不等式成立，即正數玉,々,彳3,…次，

若X|+尤2+曰?+----+,xk<—,則（1—X]）（1-々）（1—X3）…（1—X*）2萬.

于是，當〃=攵+1時，正數玉,z2，毛,…,々，X"|

有玉+x2+x3H----1-xk+X&+14—,根據歸納假設，

有（1一國）（1一》2）（1一%3>-（1-4-4+1）25成立.

故只需證明（1_4）（1_XkI）21_/_七+1成立即可.

顯然，（l_xj（l_x*+1）_（l_x*_4+]）=44+120成立，故〃=k+]時

不等式也成立.

綜合①、②得，原命題成立.

,,（ny

例題6：已知對任意“eN*,有?！?gt;0,且,求證：an=n

i=[\i=\7

【分析】：本題歸納假設時稍有不同，需假設之前的都成立

【證明】：①當〃=1時，〃：=〃；，又冊>0,故％=1；

②假設〃<Z（ZN1）時均有%=左，則〃=左+1時

<ky/k\2k

+2%Eq+a2i

I/=iJk/,=17f=l

即瘋=2-14+吭，又%>°及歸納假設得ta：=幺宇

?=1i-1幺

得a；+i--k(k+1)=0=>%]=k+1,即n=女+1時也有aM=Zr+1成立.

由①、②知，原命題成立.

【鞏固練習】

1.若其中n為非負整數,求證：11".?十時向是133的倍數.

2.已知數列｛4｝的前n項和S“=-q,—（；）"T+2（n為正整數），猜測并證

明｛4“｝的通項公式.

3.證明不等式:1+3+<2M，￡N*)

V2"V3。4n

i〃1

4.已知數列｛斯｝，冊=-----------7=(n￡N*),求證：\ak<2(1——方——)

(〃+&=]"幾+1

5.設4n=J1.2+j2.3+?.?+Jn(n+1)(〃wN“)，

證明不等式也a.〈呼對所有的正整數n都成立.

22

」、、丁3572n+l/------/.、

6.求證：------------->A/〃+1,(neN

2462n')

7.已知正數九”％2，13,…%，求證：'+"+一-y]X\X2，，，Xn

n

第四講數列雜題

【典型例題】

例題1：在｛4｝中，q=4,an-7%+6,

①求證：,"一3|<；\an_｝-3|②求liman。

例題2：口袋中有4個白球，2個黃球，一次摸2個球，摸到的白球均退回口

袋，保留黃球，到第〃次兩個黃球都被摸出，即第〃+1次時所摸出的只能是

白球，則令這種情況的發生概率是匕，求鳥,巴,鳥。

例題3：數列｛%｝滿足勺+|+(-1)"勺=2〃-1,則｛4｝的前60項和為。

例題4：設(1+啦)"=%+%、巧，其中X,,%為整數，求〃T8時，主的極

%

限.

例題5：數列｛%｝滿足條件：％=1,%=1+」一（〃22）

1<<1(?>2)

試證明：⑴l<an<2(neN*)⑵

32

【鞏固練習】

1.下列正確的不等式是.

A.16<<17；B.18<<19；

C.20<<21；D.22<<23.

7T

2.設函數/(x)=2x-cosx,｛%｝是公差為g的等差數歹U,

8

/3)+/@)+…+/應)=5乃，則"(生)了一的3=<)

c12c12132

A^0B、—7tC、—71D、一TC

16816

3.1?1!+2,2!+3?3!H---!■〃?〃！=.\

4.在正項等比數列｛氏｝中，。5=；，。6+。7=3，則滿足

6+的+…+?！保?。避2…?！钡淖畲笳麛怠ǖ闹禐?/p>

2x-l

5.已知函數力（x）=一丁，對于〃=1,2,…，定義。+|。）=工（0（幻），若

力5（1）二八0），則人8（X）=?

「a1

Xn+[—1

6.設。為正整數，數列｛%｝滿足斗=a,x?+1=[—產]現有

下列命題：

①當a=5時，數列｛xj的前3項依次為5,3,2；

②對數列｛%｝都存在正整數k,當nNk時總有％=；

③當〃21時，xn>4a-1；

④對某個正整數左，若先+小4，則乙=[6]。

其中的真命題有。(寫出所有真命題的編號)

HTT

7.數列｛%｝的通項公式%=〃cos5-+l,前〃項和為S“，則S2012=—。

|x|

8.設函數〃x)=U,則S=1+2/(X)+3/2(X)+-+4"T(X)=

x

9.已知數列｛%｝、｛a,｝滿足?！?1=-?！?2仇，，且仇,+[=6%+6仇，，又

at=2,4=4,求⑴an,bn；(2)lim—.

bn

10.設〃=｛3,4｝為部分正整數組成的集合，數列｛4｝的首項q=1,前〃

項和為S“，已知對任意整數攵eM,當整數〃>k時，

5“+*+品=2(9+&)都成立,求4

11.已知數列｛a“｝中，4=3,a“=3""T,求證，an=4m+3(m是非負整

數)

12.數列｛x,J滿足：X=0,x“+]=-x；+x“+c(〃eN*)

(I)證明：數列｛x.｝是單調遞減數列的充分必要條件是c<0

(II)求c的取值范圍，使數列｛x,J是單調遞增數列。

13A,5兩人輪流擲一個骰子，第一次由A先擲，若A擲到一點，下次仍由

A擲：若A擲不到一點，下次換B擲，對B同樣適用規則。如此依次投擲,

記第〃次由A擲的概率為4。

(1)求4+1與4的關系；(2)求limA“。

>00

14.求證：(1+-)"<(1+—),,+1(ne2V*)

n〃+1

第五講三角恒等變換

【基礎知識】

1.三角問題主要包括三角化簡求值，解三角形和三角恒等式證明.通常都要

用到三角公式，正余弦定理，三角形中相關的定理等.自主招生中對三角

變換要求較高.

2.要熟練運用三角恒等式變換，需要熟悉半角公式、和差化積、積化和差等

公式.

0sin81—cos0

tan—=-----------=-；-------

21+cos0sin，

sin20=cos26-sin?0=2cos2。-1=l-2sin20；

a+Ba-B

sina+sin/?=2sin-------cos--------

22

a+Ba-0

cosa+cosB=2cos------cos......-

22

sina?cos尸=；[sin(a+尸)+sin(a—/7)]；

cosa?cos；[cos(a+￡)+cos(a—/?)]

3.三角恒等變換是代數變換，選擇公式前要注意觀察，通常觀察已知條件和

結論中代數式形的變化，觀察角的變化，觀察三角比名稱的變化，觀察代

數式次數的變化等，然后根據變化選擇合適的公式.

【典型例題】

34,

例題1：已知sina+sin/=—,cosa+cosy=—,求cosa?cosy的值.

【分析】：已知條件平方和后可以得到cos(a-力，結論中用積化和差，還需

要cos(a+/),需要從條件中再用和差化積.

【解答】:sina+siny=2sin"+7cos里―

225

-a+ya-y4

cosa+cosy=2cos------cos-------=—

225

兩式平方和得，4cos2~~~=2[1+cos(cr一y)]=1=>cos(a-/)=一；，

勿

兩式相除得，tanae+U=±3ncos(a+/)=」7-

2425

故cosa-cosy=—[cos(a+/)+cos(a-/)]=-.

例題2：在A4BC中，若2asin4=(2/>+c)sin8+(2c+b)sinC,求A的大小.

【分析】：解三角形通常利用正、余弦定理化為邊或者角的運算.

【解答】：利用正弦定理化為邊，則

2a2=(2b+c)b+(2c+b)c=>a2=b2+c2+be

12%

再對照余弦定理，得cosA=——=>A=—.

23

例題3：試推導三角形面積公式一海倫秦九韶公式：5=而匚而萬兩，其

中p=/(a+/?+c).

【解答】：S=gabsinC=；6z/?Vl-cos2C=；abyjfl+cosC)(l-cosC)

E「a2+/72-c2,_(tz+/?)2-c2(Q+6+C)(Q+0-C)

又cosC=---------------=>1+cosC=----------------=---------------------------

2ah2ah2ah

i_c2_(a_6)2_(c+"/?)(c_a+ZO

1-COSCx——

2ab2ah

(c+Q+b)(a+Z?+c)(c+o—b)(c-a+b)

2ah2ah

即S={P(p-a)(p-b)(p-c)

例題4：化筒：cos2a+cos2/?-2cosacosJ3cos(a+/3)

【分析】：三角比中sina,cosa可以看成對偶式，利用這種關系構造對偶式求

解.

【解答］：令M=cos2a+cos2/?-2cosacos(3cos(<z+/?)

N=sin2a+sin2y5-2sinasinpcos(a+P)

則A/+N=2-2cos2(a+/)=2sin2{a+0)

M-N=cos2a+cos2尸一2cos(a—0cos(a+/?)=0

故M=N=sin2(a+/)

即cos2a+cos2/?-2cosacos0cos(a+4)=sin?(a+/3)

實際上，也化簡了

sin2a+sin2/7-2sinasin/?cos(a+/?)=sin2(?+/?)

例題5：設為銳角，且sin?a+sirj2(3-sin(a+0),求證：a+〃='

【分析】：作為等式的證明，各種方法都要考慮，本題可以用反證法.

［解答］：根據題意得sin?a+sin'夕=sinacos(3+cosasinJ3

即sina(sina-cosJ3)=sin6(cosa-sin〃)............①

7/77TT

因為a,尸為銳角，若&+n—4>0,根據正余弦函數的

單調性，則sina-cos0>sin(--/?)-cos/?=0

.7C.

cosa—sin,<cos(y一尸)一sin'=0

此時①式兩邊一正一負，不成立，與已知條件矛盾；

同理，若a+°=0<a<%-/3<三

Ji

則sina-cos(5<sin(—一夕)一cos尸=0

JI.

cosa—sin/?>cos(y-°)-sin/?=0

此時①式兩邊仍然一正一負，不成立，與已知條件矛盾；

7T

故只有a+￡=,

例題6：求證：sin3。=4sin6sin(60°-6)sin(60°+。)

【分析】：注意觀察兩邊的角的變化，式的變化，利用積化和差公式即可.

[證明]：右邊=2sin6[cos20-cos120°]=sin30+sin(-6)+sin6=sin36

故等式成立.

ARC

例題7：在AABC中，求證：一r=4sin—sin—sin—

R222

【分析】：和差化積與積化和差公式在復雜的三角化簡中很重要.

【解答】：S=—(4+Z?+c)r=1a，sinC=?r=""，吊。

22(a+b+c)

Ssin^sin^sm￡cos^cos^cos^

r_absinC2sinAsinBsinC222222

sinA+sin8+sinCA+8A—BCC

R(a+b+c)sin----cos-+-s-i-n-—cos—

2222

B8sin&in4inCcos&osO

8sin-sin-sin-cos-cos

2222222222

A-B.CA-BA+B

cos-----1-sinCOS----------FCOS

2222

rARC

即等式一=4sin—sin—sin一成立.

R222

【鞏固練習】

a~-b'sin(A-B)

l.Z\ABC中，求證:

-sinC

2.在aABC中，設a+c=2b,A-C=60°,求sinB的值

3.化簡：cos3a-cos3a+sin3a-sin3a

AC

4.在△ABC中,已知tanA:tanB:tanC=l:2:3,求-——

AB

5.化簡：cos36=4cos6cos(60°-3)cos(600+3)

6.化簡：tan30=tan-tan(60°-0)-tan(600+0)

、上國sinl0+sin20+sin30d---1-sin440

7?計算：——--------------------------

cos1+cos2+cos3+…+cos44°

【提示解答】

第六講三角不等式

【基礎知識】

1.三角形不等式包括三角形中的不等關系和三角函數的最值，這兩個方

面在處理方法上在同小異，并互為所用，并且代數與幾何的相關知識常常練

習在一起.

2.三角不等式首先是不等式，因此，不等式的有關性質和證明方法在這

里都用得上.其次它含三角函數，因此三角函數的單調性、有界性（或極值）,

正負區間，圖像特征都是處理三角不等式的銳利武器.

3.三角形內的不等式是一類特殊的三角不等式，無論在結構上還是在證

法上都有特別之處，需要加倍注意.熟記一些基本的不等關系.

..71.

A>Bo〃>b<=>sinA>sinB；若xE（0,—）,則sinx<x<tanx

【典型例題】

TTTT

例題1：已知函數/（x）=tanx,xw（0,5）,若玉,々￡（°，萬）且工尸％2，求

證：

【分析】：這是求證正切函數的凸性，不能用圖像說明，必須用代數證明.

.X+x

sin----?-

【證虹協j+『⑷”（詈）t翳+黜）

>2

x+方

cos----

2

.X]+工2

n

1sin（』+%2）>"2。cos2M+Z

>cosx}?cosx2

2cos%cos犬2cos?+工22

2

<=>；[1+COS（X[+x2）]>；[COS（X]+X2）+C0S（王一/）]=1>COS（Xj-x2）

故不等式成立

例題2：在銳角△ABC中，求證：

sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC

【證明】：因為△ABC是銳角三角形，故A+8>」n2>A>上—8>0

222

兀

所以，sinA>sin（--fi）=cosB,同理有sinB>cosC,sinC>cosA

于是,sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC

7T

例題3：若夕6(0,萬)，求證：smO<0<tan9

【分析】：本題是經典的數形結合問題，如果利用導數，結合函數單調性也可

以解決.

【證明】：方法一，利用單位圓

如圖，單位圓與x軸交于點A,角。的終邊與單位圓

交于點B,0B的延長線與過A的切線相交與C,則比較

△A08,扇形A05及△A。。的面積，化簡后即得到

sin8<6<tan0

方法二，利用導數，利用函數單調性

JT1

考慮/'(X)=tanx-x,xG[0,—),/'(%)=----彳-----1>0,

2cosx

即/(%)單調遞增，于是/(x)>/(0)=0=>tanJ>x

TT

考慮函數g（x）=x-sinx,x￡[0,—）g'（x）=l-cosx>0，

即/(X)單調遞增，于是g(x)〉g(0)=0=X>sinX

綜上得原不等式成立.

例題4：求證：2sin4x+3sin2xcos2x4-5cos4x<5

證明：設4=2sin4x+3sin2xcos2x+5cos4x,

B=2cos4x