習題 A與B互斥,P(A)=p,P(B)=q,則PAB)(等于 )(A) p) (B)pq (C)q (D)p答一批產品的廢品率為0.01,從中隨機抽取10件,則10件中是2件的概率為( (A)C2(0.01)2(C)C8答如果A,B為任意,下列命題正確的是 如果A,B互不相容如果AB相互獨立,則,AB相容則BA也相容答

B.打靶3發,A1表示

Ai

i發”

至少一發

至多一發(C)恰答

必有一發假 足

確的是 答

A是必

B.B答設,BA滿則下列各式中成立的是 (C)P答

|)(PBAP(();AP

P

p1,p2,p3,則加工該種零件的成品率為 (A)

p1p2p3

(B)

p2

p3(C) 答

p3

(D)

p1p2已知P(B)P(A1)P( 則

A2)|

P(A2|B

P(

A2

P(

P(A2

P{B|(

A2)

P(B|

P(B|

P( A2

P(A2答若隨機試驗E

012,3,45, CC11 CC11

25將3個球隨機地放入4個盒子中,記A表示:“三個球恰在同一盒中”.則P(A)等于 1.設A,B是兩個互不相容的隨機,且)(4

,B),,2 34

設打靶中率為0.7,2次的概率為

現獨立地重復射

次,5則恰好命答01323從1,2, ,10共10個數字中任取一個,然后放回

先后取出5數字,則所得5個數字全不相同的的概率等于

9

設A與B互不相容

13

1,則條件概4答49

P(

|B :

,,C ,,C 解(1)(2)

ABCABC ABCABC{A,B,C恰有1個發生}是一個較復雜 ,它以分解為{A發生,而BC不發生},{B發生,而AC不發生{C發生,而A,B不發生},它們可以分別表示為ABC,ABCABC.這3個是互不相容的,它們的和即為所要示的所述可以分解為{A發生,B,C不發生},{B發生,C不發生},{C發生,A,B不發生AB,C都不發生它們分別表示它們的

ABC

ABC

ABC

ABC A3

ABC ABCABC隨機試驗E的三個相互獨立的,且 APAP)(,)(,)( “A1發生且A2,A3至少有一個發生的概率是 ) [

答

11 答

An

是兩兩互不相容的隨機,n AP.(nn由概率的定義,可知概率的可列可加性是指 ,是兩兩互不相容的隨n AP.(nn隨機試驗E是連續檢驗某種產果出兩個廢品,就停止檢驗,但檢查總次數不超過5次,(即檢驗到第五次,即使未查出兩個廢品也停止檢驗).試寫出E的樣本空間.設隨機試驗為:擲三顆

若隨

A為“三顆中最的點數為3”;隨機B為;“點數之和為n”,如果A和B互不相容,n應滿足怎樣的條件?答如果A出現,即每一點數至少為3,故點數之和至少為9,因此,AB不同時出現

點數之和應小9

即" 任取一自然數m,設A={m為偶數},B={m為5的倍數C 20},D 10},具體寫出下列各式表示的集合AB (2)BC

AD

AC答(1)A

20

10n NB

5,

15,20A A 1,3,5,7,9A

2

N,

11向一目標連續射擊直到兩次為止

第k目標”(k=)1,,2,

試用Ak表示下列“射擊次數為3”記為B (2)“射擊次數超過3”記為C解(1)

A1A2A3C

A1

A2A3如 531電路開關,用B表示"電路接通"的,表示第i個開關閉合,請用Ai表示B345 A從一批產品中任意取5件

Ai"發現有i件次品

B表"次品不多于三件 B B

0.4

P(

0.3,PAB)PAB

BAP

((),BAP

B))0.1,這說

又無包含關系

而是一般的相容關系因此,由加法,又

P((B),故 P

B)))P

所 00.)05.(... B))BAP

AB

解法

B從

(()(B)BPBAP

B))BPB)AAB B,PAPB

B))((

B)P所 P

B)))P

于

B))BAP

AB

某城市中2種報紙A,B.經,在這2種報紙的訂戶中,A報的45%,訂閱B報的35%,同時訂閱2種報A,B的有10%.求:A報的概率只訂1種報紙的概率解(1)記A {訂閱A報},B {訂閱B報},則{只訂閱A報}(2){只訂1種報

AB

又這2 ,

BPPB)()()()5個男兵和2個女兵排成一列從10名隊員3名參加比賽

試求共有多少種選法如隊長必須被選上有多少種選法

如某運動員甲不被考慮選上

有多少種選法解

C C

120C 36 C

84 1204件次品有且僅有一件

在抽樣檢查時,在房間里有10人,4解A表示“的基本數C3420名運動員中有秀選手分在同解A表“2名優秀選A所包含的基本28 1828II和III環形區域的解A為沒有命I,II,IIIP 由此得 P箱中放了5個黑球放回.求黑球和任意將10本書放卷,4求: 這是一古典起起

B4D“P(AB某教研室共有11解法一A則 P(A

P(

P(A 之間,求E解設此二真分數分別為x,y(x,y)的一切可能值對應著正方形OACB.E對應著圖中陰影部分G的面積.故1 1 GE)(G

8 . A 已知PA

0.

P(B

0.

P(A|

0.2(1)P(AB);(2) PPA

PBPAP P

0.06PB

PPPABP

P 甲,乙兩個盒子里各裝10只螺釘個盒子的螺釘中各 由全概2 i15有

水災.率為

當甲河該時期內這個當乙河流泛濫解A“甲河

由題意

該地P( B

P(0.

P(AB)P(AB P(BA

B,C三個輸出為其他一字CCCC之一輸入信已知輸出為ABCA在18盒同類電子盒是丙廠生產次為0.8,0.70.6現是 i

4,,2,1(一盒產品屬于甲,乙,丙,丁廠生產B:“所取一個元件為不合格品”,5 18

18

18

18A1 由全概

A2 4

A3

由貝葉

ii10 16

Ai24故該盒產品由乙廠生產的可能性最大已知5%的和0.25%女人是色盲患者,假設和女人各一半,現隨機挑選一求此人是色盲的概若已知此人不是色盲,求該人 設A“選出的是”,則

“選出的是女

B“出的是色盲”.由題P(

1,P(A2

1,P2

A 0.05

P(

A 0.由全概率P(B

P(A)P(BA

P(A)P(BA

0.(

由逆概率P(BA)P(A)

[ P(BA)]P(P(AB

P(B 0. 20.

10.4878

P(B

生為要我們在隨機地選出一名學生時的,教室里還應有多少名二年級男生

解N個二年級男生 {任選一名學生為一年級}, {任選一名學生為男生 P(

,

N P(

P(A)P(B|

4 N欲A,B獨立,必有P(B| P(B), N 解之得 4,即還應有4名二年級男生解N個二年級男生 {任選一名學生為一年級}, {任選一名學生為男生 P(

,

N P(

P(A)P(B|

4 N欲A,B獨立,必有P(B| P(B), N

44名二年級男生轟炸機要完成它的使命

駕駛員必須要找到目標

同時投彈必須要投中目標.設駕駛員甲、乙找到目標的概率分別為0.90.8;投彈員丙、丁在找到目標的條件下投中的概率分別為0.70.6

現在要配備兩組轟炸人員

問甲、乙、丙丁怎樣配合才命)?求此概率是多少.

(只要有一架飛機投中目標即完成解A1為甲找到目標

B1為丙投中目標

A2為乙找到目標B2為丁投中目標,W為完成任務(1),甲丙搭配乙丁搭W)(

P甲丙機命

P()兩機均命中

|A2(()BPAP |A2())BPAP6.08..6注意

兩機均命中”指甲找到目標

丙投中目標而且乙找到標,丁投中目標(2),甲丁搭

乙丙搭W)(

P(甲丁機命

P()兩機均命中)7.08..09所以甲丙搭配

乙丁搭配好,此解

0.443

乙二門同時獨立地向一敵機

乙中率為0.5,試求敵機被射中的概率解令

{甲射中敵機},

{乙射中敵機},

{ 第二種方法B相互獨立

B)1((發現產生了20個細菌,求甲,乙二類細菌各占一半的概率.解 C

1

1

19

13

0.(

20

甲乙兩籃球運動員,投籃分別為0.8和0.7,每人投籃3次求兩人進球相等的概率解甲投籃命中概率 0.8,不中概率 0.2

乙投籃命中 0.7,不中概率 0.3,甲在 3次中m次概3 mpmqm 乙在 3次中m次概3則解設,,,CBA表示元 5,對圖中的串聯系統

PCP p211pp一袋中裝有

1個黑球及1個白球.球,并換入1個黑球,如此進行下去.k次摸球時,解(1)因為袋中只有1只白球,而每次摸球總是換入黑球,第k次摸球摸到白球,則前面 1)(次一定不能摸到白球,也是說,前

1)(次都摸到黑球

,入黑球,故在這 1)(次中,摸到黑球的概率皆 1 試驗是獨立的,1N1k1N1 N(2)它為(1)中的對立,1Nk11N N解(1)因為袋中只有1只白球,而每次摸球總是換入黑球,k次摸球摸到白球,則前

一定不能摸到白球,也是說,前

都摸到黑球

摸到黑球,皆入黑球,故在這

中,摸到黑球的概率皆試驗是獨立的,

1

k1.(2)它為(1)中的對立,k

1

電路由電A與2個并聯的電池B及C串聯而成解AB,C分別表3個電

B,C損壞

D表生間斷.則 (BC),于P

P[

(BC甲、乙、丙3部機床獨立地工作

由1個人照管.某不需要照管的概率依次 因無人照解A,,C

分別表示在這段時間內機床甲、乙、丙需要工照管,因無人照管而停工即有兩臺或兩臺以上機床需要照管,可表示P

BC)

P

P

P

P)))2()(

0.059

()(()())

2)))BPC某通信中,傳送的字符為AAAABBBB,,CCCC三者之一.

擾,每個字母被正確接收的概率

.1.0定前后字母是否被歪曲互不影響

字母為ABBC,求被傳送的字符為BBBB的概率解 ,

別表示傳送的字符為

. A表示接收到的字符為ABBC的, B2

B23

.0)(4

.0)|(8.

ii B2

|(4

在伯努利實驗中

A出現的概率為

,np次獨立實驗中A出現偶數次的概率.nn解A出現偶數次的概率為a,A出現奇數次的概率為nn00n

qn

2nC1n

3n

mn

mn122 2n ( 1n

2p)解

p)n(1甲、乙2人投 分別為0.7和0.8,每人投籃3次,

兩人進球數相等的概率

甲比乙進球數多的概 (2)P

P(所求

P(A P(A解法二{2臺都停車}A,B相互獨立,P(AB P(從而,至少1臺不p

A,B,C 一個均勻正四面體

其第一面染成白色

第二面染成藍第三面染成紅色

第四面分成3塊

分別染成紅、白、一次四面體,ABC分別表示出現紅、白、藍有兩個面有紅色,故

P(P(B

1/2P(C

1/2因為只有一個面含有兩種顏色,所P(AB P(因 P(AB ABC兩故設E、F、G是三個隨機

試利 的運算性質化簡下

EF()(F);FEE

()(G).FE(1)原原

EEEFEEFEFE

FF EFE

FE原 E E F

F

EG已知A1

A2同時發生

A發生

P(

P(

P( 1證由題意A1 A,于

P(

PA1A2P(A1A2

P(

P(A2

P(

A2

P(A1

P(A2 所以P

P(

P(A2 向靶子射

A.2AA A3A恰好連續兩次靶已知3

A31

3,, A3APA.)()()()(證

“第k次取得紅球” 10)由題設條件kk

1AkkAA1AkAPAAAk1kk199 k2

2AAk11 1 設 P(C 1,試證對任意的隨機A,恒有P(A|

PA

(

A21 證

證由PAB

P(A

PB)P(A)P(B [

P(A)][

P(B P(A P(A

P(BP(B

P(A)P(BP(AB1AB也獨

P( B

P( B

P(AB獨立

B,C三個相互獨立

證明

A

AB肯定與C相證(1)P[(AB)C P(ACBCP(AC

P(BC

P(ABCP(

P(B)P(C

P(A)P(B)P(CP(C)[P(

P(B

P(ABP(C)P(ABABC相互獨立

P[(AB)C

P(ABC

P(A)P(B)P(CABC相互獨立

[P(A)P(B)]

P(AB設P(A

P(B

研究A,B相互獨立與A,B互斥能同時成立解A,B相互獨立,則P P(A)P(B).若A,B互斥, 由于假

P(A

P(B

故兩者不能同時成立

練習題設A,B為兩個不同,下列等式中有哪個是正確的 B;) B;BA

BABAAB. 3發

Ai“

i發,

0,123

(D)3發 設P(A

a,P(A

b,P(B

c,P(AB(A) c)c答A,B相互獨立,P(A)(A)

0.75,P(B

0.8,P答 ABP

A為必然

A;

p

(();

P

((.

BAP(

(();AP(()AP

P((B);答(C)P

BPBP(A);

設AB是2個互不相容的

,P(A) 0,P(B 0,則 )一

P(

P(B

P(AB 0

P(

P(AB 0 設

0.8,P(B

0.7,P(AB

0.8,則下列結論正(A)A與B獨立 (C) A答設

,B是兩個對

式子不正確的是

()AP

答設A和B是任意兩個不相容的列結論中肯定正確的是(

P

P

A與B不相

A與B相容P

PAP((;

P

((答若

A和B同時出現的概率P

A和B不相容相斥AB未必是不可

;答對

A,B

AB互不相容,AB也互不相容AB互不相容,AB相互獨立AB相容,AB不獨立A,B互為對立,A,B也互為對立 下列結論中,錯誤的 若P(A 0,則A為不可能P(A P(B B)PP P(B) P(AP P(B) P(BA答設

A互斥的是 答設

B是任意兩個隨A;(

,則以下等式正確的是(

A2AAB;

答A,BC

,若P 0,P(AB|

P(A|

P(B|則下列不等式成立的是

P(C(A

P(

P

P(A

P(A|

P(B|

P

P(A)P(C|

P(B)P(C|

P(AB|C

P(A|C

P(B|C答

P 1,

P(B)

P(A|B

P(A|B)1,則

A與B互不相容;A與B互不對立;

A與B互相對立;A與B相互獨立.答P

,P(B)

,P(BA

,PAB答PA

a,P(B

b,P(AB

c,P(A) b答已知

PB 1,P[(A

A2)|B

P(A1|B

P(A2|B則下列選項成立的是

P[(A

A2)|B

P(A1|B

P(A2|B

P(

A2B

P(A1B

P(A2B

P(

A2

P(A1|B

P(A2|B

P(B

P(A1)P(B|A1

P(A2)P(B|A2答 設袋中有4只白球,2只黑球.從袋中任取2(不放回抽樣 35

15

25

45 甲再能活20年的概率為0.7,乙再能活20年的概率為人均20年的概率是(答C每次試驗的成功率為p 1),進行重復獨立試驗,10次試驗才取得4次試驗成功的概率為(C

4p4C

p)6答設隨

q

p

p答

k次

抽簽時抽到1號贈券的概率是

1n

答則E的樣本空間 答0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,設A表

子出現2點,則A與B的關系是 B如果A,

A,則A與B滿足的關系是 B設Ai表示“擲一個恰好出現i點”

A表示

,

A, 個球,則取到的是紅球的的概率等于 一只袋中有4只白球和2只黑球,另一只袋中有3只白球和5黑球,如果從每只袋中各摸一只球,則的概率等于

:“兩只球都是黑球 5.一個盒中有8只紅球,3只白球,9只藍球,如果隨機地無放回地摸3只球,則摸到的沒有一只是白球 34設A,B為兩個隨 ,且P(B 0,則由乘 P(B

P(A1,PB2

1,則P 4 n

,,,AA

n則這n個恰好有一件不發生的概率是 答

n

p)pn 樣品,則查得其答

CC

(0.998)196,,則P 7 8已知P

0.4,P

0.3,P( 口袋中有4個白球,2個黑球,從中隨機地取出3個球,則取得2個白球,1個黑球的概率是 答

0.6設A,B是兩個相互獨立的隨機,P(則P(

1, 1 1 6從0, ,9中任取三個數字,則這三個數中不是 答

14P

P

A,B答

令

又若目標至少被兩次,則該目標被摧毀. 答

.A32AA

12331由題意可知隨機個發生.

,32AA12331

A,B互不相容,P則PAB)( 答P(AB

P(

P(A AB互不相容從1,2,…10共十個數字中任取一個然后放

先后取出5個字,則所得個數字全不相同的的概率等于 答

98

0.3024設由十個數

號碼,則所有可能組成的的總數 答

107個設在一次試驗

A發生的概率

5,次重復獨立試中,A至少發生一次的概率是 答

p)P

P(

0.3A與B互不相容,P(B 答

0.2P

1,P(B)1

P(

B1,2答

11

P( B 已知A,B兩個滿P(AB

P(AB

且P(A p則P(B 答 p

BPAPB,A)P 答

0.1 1 解5此題是古典概型,按古典概率定義求.擲2 ,情況數 6636即 36.出現點數總和是8的情況為{2,6},{3,5},{4,4},{5,3},{6,而總和是8的情況數 5,故所求概

5P PA則PB)( 答47

與B是相互獨立的隨機 BAPAP

((3.07.0設隨

得解方)(,

4.047.0

)B)( 答

p買了ABC三種不同種類的獎券各一張

P

答

0.0589設A,B,C為三個隨機 C P P 則P C)( 答在52張牌中,隨機抽

張,2則恰取到2張不同花且最大數為的概

列式)(p 42C42答

C1C1甲乙二人從1,2, ,15的十五個數字中各取一數(不重復),已知甲取到的數是5倍數,則甲取到的數大于乙取到的數的概率 答9.

3,

,,

(, 令 AB{,5且甲取到的數大于乙取到的數故

9 或將A作為樣本空間

9 0,245

碼排成數字不重復的六位數

共有多個六位數,其中有多少個奇數?多少個偶數解六位數總數 奇數個數 偶

600

B,C

D為任意集合

化簡下(ABC)[(ACB)D]解因(ACB) (ABC) ABC,(ABC)[(ACB)D ABC隨機試E是a,b,c三只球

編號為123的三個盒子,三只球任意放入三只盒子中去的情況,寫出E的樣本空U 用序組(a,b,c)表示基

使每只盒子放一只球,觀察放:第一只盒子放a

第二只盒子放入b

第三只盒子放c則 {(a,b,c),(a,c,b),(b,a,c),(b,c,a),(c,a,b),(c,b,設隨機試驗為:擲三顆

若隨

A為“三顆中最的點數為3”;隨機B為;“點數之和為n”,如果A和B互不相容,n應滿足怎樣的條件?答如果A出現,即每一點數至少為3,故點數之和至少為因此,AB不同時出現

點數之和應小9

即" 從自然數1至10中任取一數,設A表示“取得的數是偶數”;B表示“取得的數是奇數”;C表示“取得的數小于5”, B;

(2)(()

C 答(1) 表示“必然AB表示“不可能C表示“取得的數大于或等于5CB表示“取得的數是6、8、10、”.如果,設123456表示開關,B

電路接通"",Ai表i個開關閉合",Ai表

BB1124536 (1)

A1

A2

A5(2)

A3

A3)A4

A6或

A2

A3]A4(

A6)設向靶子射擊3次,用Ai表示“第i次射擊靶子”(

),試用語言描

A1A2A3

示3次射擊至少一次沒靶子設隨機試E是從包含兩件次

a21和二件正品b1b2的四產品中依次取出一件(每次取后放回),連續取2次,寫出E的樣本空間和下列的集合表示:(1)“恰好取k件正品”記

k

(2)“兩次取出的是同一件產品”記為(3)“第一次取到的是第一件正品”記為C

A.

C為“點數之積不超20

試驗的樣本空 {( {(1,2),(1,4),(1,6),(2,1),

),

),(3,2),(3,4(3,6),(4,1),(4,3),(4,5),(5,2),(5,4),(5,6 {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),

),

(6,3

),

),

),

),(3,1(3,2),,

),

),(4,2),,(4,5

(5,1(5,2),(5,3),(5,4),(6,1),(6,2),從而

{(1,1

(2,2

),

),

),(6,6)}B.首先拋出正面者(1(2

若“甲BA (2) {1,0001, {01,用戶已經飽和953的概率.解A表示“件數為

9.將3個球隨機地AB

"指定的三任意三個"任意一 "任意一解設4個分別

B,,C3

A)()1(43C)()3(4;

B)()2( 4D)()4(一小組有8名學可能的,試求8解

{78 P( 某產品100件為一其中有6件nn個數中抽出個數Ck種抽法所以,所求概率n任意投擲四顆均對的概率解A表“投擲基本數

64A所包含 1C 從一付的13張解法一AA所包含 解 A)(8:45900各記A為兩人解如圖用正方形圖中陰影部分所P在區0,3解設所取兩數為x,y.則 3,

(x,y的一p可能值對應著xoy平面上的正方形OMNP pMGMGB對應著圖中陰影部分的區域G,則

B)(

12 9

解設所求為A，設三段線段長度分別是

圖形的面

1a22有利

A的集為面

SABC

由三角形兩邊和大于第三的性質0則其面

a2S

211

yxaa1a1a11 2解由題設知,所有90個兩位數中2整除的453整除的30個,而能被23整除的15個,取出的兩位數能2整除取出的兩位數能3整除 取出的兩位數能23整除23A {取出的兩位數能被2或23則 P(A P(A P(B P(AB打橋牌時

把一副牌(52張)發給4人

得到黑A和黑K的概率平均分3份,即所A的概率解假設APAB).

甲AB互P(AB AB相P(AB 取出3個數之解A1表示“取出的3個數中有偶數”;A2數中有5

P(A1A2

P(A1A2 [ab是半徑R的圓的一直徑ab上隨機地選一點M,aMoM作垂直ab的直線,此直線與圓相交得一弦AMo示“所得弦之長超過圓內接等邊三角形的邊長”bP R M是弦的中點,從幾何知識知當且僅當M落入M垂直ab的弦長才大于圓內接3R,由幾何概率3甲乙兩人輪流向同一目標射擊，第一次甲射，第二次乙

p1

目標的概率

p2,解設

{

{

}，

p1

p2)p1

p1)

p2)p1[1p1

p1

p2

p1)2

p2 1

p2

p2

p2

p1)p2

p2)

p2

p2

p2)2

p2

分房問題n個人等可能地分配到求下列的概率.

N)({某指定的n 各有一人恰有n間房,其中各有一人{某指定的恰 n)解把n個人等可能地分配到N間去

由于并沒有限定—的人數Nn種

故是一個可重復的排列問題

這樣的分法對于A,已固定某n間房,第一人可分配到n間房的任一間n種分法

第二個人可分配到余下的

房中的任一間, 1種分法

依此類推

A共含有n!種分法,所A)(

n!N對于B,因為n間房沒有指定,所以可先在N間任選Nn(CN

種選法

然后

對于選出的某n間房

按如上析分配

所以對于B共

nnC種分法從NnNB)(

.N對于C,某指定恰有m個人,首先從n個人中任意選m個人

Cm種選法

其余的

m個人可任意地分配到n余的 間房去,1共有n

1()mn種分配法

所以C共m有 NC1()mn種分法,從mmmCNC)(CN

)( m1m1nmN m1m1nm某工廠生產的產品中36為一等品10為三等解A:“取出的一件是一等品”,C:“取出的一件是三等品P(A

P(

所求概率為條件概率P(A|CP(A|C

P(AC P(A) 0.36 P(C P(C) 這C表示被檢驗被此檢驗法判斷并就此計算結果 由貝葉 P(11解

P() P() P() 1 一批零件共1003次,取出后不放解

"P(A1A2A3二箱內30后從該箱中隨機先取的零件在先取出的一等品的概率兩個箱子第一個箱3個黑球,3個白球出一個球,若已知?解設 {取出則P(B| PA

1,P4 P(所 P(B)于 P(AB 袋中放有四只白求所取的三解Ai

1,2,3)“

P

CC5 CC56(2)P

PA2 3 P3P得

C CC3C6P2個白球和1個

2,B:“甲盒中的球仍23

A2|((PAPPAP

P AP

AA

A|(

解1

“取到的是甲盒”;A

“取到的是乙盒”;A“取到的是丙盒”;

“取到的是黑色球”

A1A2A3構一個完 組,由題P(

1,P(A

1 P(A P(由全概

知

14

P(

5,P(

P(B

P(A1)P(

P(A2)P(

P(A3)P(

0.(

由逆概率

P(A1B

P(

A1)P(AP(B

0.

0.682PP(A|

1/2, P(6張字母卡片合后重新排列求正6張字母卡片合后重新排列求正解

135要求PA1A2A3A4P(A1) P(A4|A1A2 P( 取出后不再放設甲袋中有2個白3有兩盒火柴后,發現一盒火柴時另一盒中還知這時必已取過2 r次中必是 必是取C C2同理

最后乙盒2 122故所求概率 設有100,1,2,…92個數字,求其和大于10的概率2個數字之和大于10求取出的第1個數最可能是幾?P(B2|9.

A)有對同一目標進行三次獨立射擊,第一、二、三次射 中概分別為0.40.50.7,試求至少有一次目標的概率解PP

=解設Ai為第i臺機器不發生故障的.四臺都不發生故障概

至少有一臺發生故障概率

甲,乙兩同時獨立地向一敵艦擊,

已知甲敵艦的概率,0.4敵艦的概率為0.5,求敵艦被的概率解A為:甲敵艦;B為:乙敵艦;C為:敵P

P(A

P(A)

P

P

P(A

P(B)

P(A)P(B解

P(

C

P(ABC

P(A)P(B)P(C 78BB

球,現在把一個白球放入盒中,然后從中隨機地取出一個球,果是白球,試求原來盒子中是黑球的概率解令

{任取一個球是白球},

B)((|)

1B)|)(P

1 14/3在abc三個元件串聯的電路中每個元件發生斷電的為0.3,0.2和0.2,各元件是否斷率解令

{第i個元件發生斷電},

{電路斷電P(B)

P(A1A2

P(

0000.1....2.器皿中產生甲類細菌與乙類細菌的機會是相同的,若某發現產生了10個細菌,問至少有一個是甲類細菌的概率是多少解

12121212

1023甲、乙兩人射擊,甲的概率為0.8,乙的概率為0.7,人同時射擊,并假定中靶與否是獨立的.求兩人都中靶的概率甲不中乙中的概率

甲中乙不中的概率解記A為“甲目標”,B為“乙目標”,則人都中靶可以表示為AB

甲中乙不中可表示為AB

甲不中乙可表示為AB,從P(ABP(ABP(AB

P(A)P(BP(A)P(BP(A)P(B

0.8 從廠外 給這個工廠某一車間要由工廠的總機轉進,若

獨立的,求從廠外向該車間 能打通的概率解記A為“總機打通

B為“”分機打通

,向該車間 能打通的概率

PAB

B)()P )3.01...0AAB,C,D四種元件,組成如圖的系統,它們能正常工作APP(C

p3

P(A)P(D

p2DpD D])([ADpp4p C))2p4p

p

C)A

D)(44

(11[

p2

p3)]一批零件中有10%的次品,進行重復抽樣檢查,共取8件樣品中恰好5件次品率.(只要家生產 進一步儀器的生產過程全部能出廠的(3)其中至少有兩18所示123456表示繼電器接點.假設每一繼電接點閉合p,且各繼電器接點閉合與否相互獨R是通路的概率1L.解子系統123先由元件1,2并聯,再與元件3串聯而成,其

p2

子系4為通路的概

子系56由元5,6串聯而成其為通路概率 p2整個系統由子系123子系4與子系統56并聯而成故系統為通路的

3

4

3

關于系統的可靠性問題,按同樣的思想方法處理因為取1個檢查后再放回去,因此每次檢查次M不變N試驗是獨立進行

i次取得合格品

A1,

,An相互獨立

P(

N

M.又N n次都取得合格品},P(B)

P(A1,P(A1)P(

,AnMNnMNP( {n次中至少有1次取得次品 B,MNnMNP(B P(B) 這是貝努利概型,

M.所求概率NC1C1

nMNMNMNMNB為“點數之和n”;問n滿足什么條件時,才有 A答A出現表示點數(1,4)(2,5)或(3,6),此時點數之和5或7或9,因此僅當 5時,才有A出現導致B出現,即 時,有 A B)(設,B是兩個

p2pB.1 p證 ABP p1 P(B

P(P(

P(

P(BP(

P( B因為P( B 1,所P( B

p

p p1 B

B)|(),(0

A)(B)(1證A與B互斥

,P

0又P(

P(AB

P(

P(AB且

1PB

P(B

0，P(A|B

P(ABP(B

P(A P(B試證

且

,PCAP|)CAPC,證由全概率及已知條即P

P(

P(C)P(A|P(C)P(B|

P(C)P(A|CP(C)P(B|C

設,B為兩個隨機

B)(ABP1)|(,0)(,若0PA)1P(B|A)P(B|A)AB證PAB)PA)P(B|A)

P(A)P(B|

P(A)P(P(

P(A)P(B)P(1P(PAB)[1PAPA)[P(BP PAB)PAB假設與

假設飛機在飛行中引擎出故障的概率為

p,且各引擎是否出障是相互獨立的,如果有50的引擎能正常運行就可保障飛機成功地飛行,試分別求四引擎飛機及雙引擎飛機成功飛行的概

并為P取何值時可使

P 4P3

P 6P2

P)P2(P

4P

6P2

P2(3P

P3P

2P8P

P6P P

P(3P

3P

5P

P

當 3

1時,

設M,m為兩個正整數,且M m,試設想一個求的概率問題, mM mMm1 1((MM )(2證建立數學模型:設袋中共有M個球,其中m個是白球袋中隨機地將球一個個不放回地取出,考慮在第i次取球時才取得白球的概率

1,21,)

“第i次時才取得白 A得 即

P23P( m 兩10個考簽中有4個難,3人參加抽簽考

不重復地抽取,人一,甲先

丙最后

3人抽到難簽的概率相等證記、A別表示甲、乙、丙抽到難簽,而

由于AB

B) 所 PBPB又因

5ABCC 、、CBABA斥,所ABCPCP 434326434636598989898顯 PAP3人抽到難簽的概率相等自測題（一隨機試驗E計某路段一個月中的重大交通事故的次數A表B表C表D表

無重大交通事故重大交通事故的次數大于1”;重大交通事故的次數小于則相容 是 )(A)A與C答

C與D (C)A與B; B與D若A,B,C為隨機試驗中三個,則A,B,C中三者都未出現表示 (A)(B(B)AC;A(D)ABC.答設A,B互斥,P(A p,P(B q,則PAB)(等于 )(A) (B) q (C)p (D) q答若AB相互獨立(A)答

0.3,

0.6,則 正確的是

(B;(C)P答

A))(

袋中共有5個球

3個新球

2個舊球

每次取1個,無放地取2次,則第二次取到新球的概率是 35

34

24

3 答.n張獎券中含有m張有獎的，k個人一個人的概率為( .

，每人一張，其中至少m Ck

Ck

CCC

CkCkCC

CnC

mr 答5個籃球隊員,分工打右前鋒,左前鋒,中鋒位置共有 )種分工方法60答

左后衛設射擊中率為0.4,共進行了n次獨立射擊,恰能使至少命中一次的概率大于0.9,則n值為( (A) (B) (C) (D)答在參加某課程學習的學生中,甲班有30名,乙班有35名,丙班有36名該課程考試后甲乙,丙3個班各有10,9,11名學生獲優等若在甲、乙、丙3個班的所有學1名,知該生成績為優等,則該生來自乙班的概率是().10

9

11

9答

4,.那 0 不大于二次

設Ai表示“擲一個恰好出現i點”

,A擲三個子的點數和不大

A, A1 A1A1 A1A2 A1A1A3一個盒中有8只紅球,3只白球,9只藍球,如果隨機地無放回摸3只球,則取的3只都是紅球的 14 ,,

隨機試驗E的三個相互獨立 ,已 APAP)(,)(,)(

少有一個發生的概率是

2,

然后放回

先后取出5數字則所得5,個數字全不相同的的概率等

9

某處有供水龍

一個龍頭被打開的可能/1,則至少有一個水龍頭被打開的概率為 99 0.

隨機試驗E的三個相互獨立的,且 則在A1已發生的條件下

APAPA,)(,)(,)(,都不發生的概率是

)設兩兩相互獨立的

和C滿且已

C)(AP

P(, 15

箱次品率分別為10%,4%,

只燈泡 3答

{取自

只箱

,

;32,1由全概3i

Ai

1

53i由頁貝

3 1

3

B)|P

|)P3 20

如

ii

s們所在的位置開關閉合,表示電路接

的試

C. (1)

(

As

Bs

Bs)PA)0.5P(B)0.6P(B|A)0.4PAB答PA)0.6P(B)0.5ABPABP(B|AB答若A,B互不相容且P(A)0.6，P(AB)0.9試求P(A|B)，P(AB)答5．設AB

P(A)P(B)P(C)4

，又PAB0PAC)P(BC)1ABC6答（1）（2）21的倍數的概率p2。 答 823次每次一個球，求各次抽取到答0.1，0.2，0.3，且各元件是否答（1）（2）。答答0件，1件，2件，3件，4件，試求：甲乙兩艘輪船駛向一個不能同時停泊兩艘輪船的碼頭,它們在一乙船是二小時,求它們中的任何一艘都不需要等待碼頭空出的概解以x,y依次表示甲乙兩船到達碼頭的時刻(x, D,D是 24,

24所確定的正方形域

要求它們中的任何船都不需要等待碼頭空出,那么必須甲比乙早到1時以上或乙甲早到2小時以上,即要

xy1

yx.2分別把 24

24

y- 確定的區域記

A2.,

0 利用幾何概 ,所求的概率1 1 1 2P

D

如果在一次 為12

2是等可能的.在同一條件3對靶進可能性大

次獨立射擊，結

6發，問是哪個值解設B,B21分別表 為1，2

6發，則()

21 212232312232312 1 C12

4 10 因

P()

P()

P()

P() ((|())|)BBPAB

P()

0.所以 為2的可能性較大3設三臺機器相互獨立地運轉著在一定時間內第一臺二臺,第三臺機器需要照顧的概率依次是0.1,0.2,0.3,求這三臺機器中解一Ai表示i臺機器需要照

1,2,

P(A2

0.2

P

0.3B表示至少有兩臺機器需要照P

P(A1A2A3

P(A1A2A3

P(A1A2A3解二P(B)

P(A1

A2

P

P(A2A3

P(A1

2P(A1A2A3

A次時

,出信號的概率解X5次重復獨立試

A發生的次數

5重伯努利試驗C5P{指示燈發出信號C5

APpXPC C5

5

(0.3().5C解因為在n次獨立重復的貝努利試驗中,A都不發生的概率CPA一次也不發生

00

)

)n所 n

PA至少發生一次 PA一次也不發生

)n于 limnn

lim[ n

)n 本題說明

的概

很小(稱為小概率),不能掉以輕心,一個看似可能性很小的驗下,它發生的概率就會很大

在大在大量重復設A,B互相獨立P(A 0

A,B,

件是P( B 1證充分性：設P( 1,由A,B相互獨立，P(AB

P(A)P(B

(1P[P[

( B( B

P(

P(A)P( BP(B)P( B

(2(3P[

( B

P( B

P(A)P(P(A)P由式(1)2)34可知A,B,

P(BB相互獨立

必要性：設A,B, B相互獨立，故P[ (

B

P(A)P( B又因P[

( B

P(A

又P(A 0可P( B 自測題（二設A和B是任意兩個概率不為零的互不相容,則下列結論中肯定正確的是( (A)A與B不相容 (B)A與B相容P

((AP

(().BAP設 0且P{(

A2)

B},則有 0

P(

P(

P(

P{(

A2)

P(

P(A2答

P

P

P(BA2)P(設P(AB 0,則

AB不相

A和B獨立

P

0或P(B 0

P( B

P(A答假 滿

ABP1

確的是 答設

A是必,B是兩個隨

若B

則A發生,,

B.么下列式子中確的是( 答

(()BAP(()ABP

P

((

((BP設A,B為任意

,且

P

下列選項必成立的是 PPPA|)();PA|));PPPA|));PA|)).答擲一枚錢幣,反復擲4次,則恰有3次出正面的概率是 1答

18

1

14P

1,P(B|4

1,P(A|3

1,則P(A 2答

3 (B)1

13

354只紅球,6只白球;6只紅球10只白球現從兩袋中各任取1球,則2個球顏色相同的概率是 (A)6

15

19

21答某電器元件的超過1000小時的概率為0.3,進行重復獨立驗,