一、線(xiàn)性函數(shù)的和與數(shù)量乘積設(shè)V

是數(shù)域P

上一個(gè)

n

維線(xiàn)性空間，V

上全體線(xiàn)性函數(shù)組成的集合記作L(V,P).可以用自然的方法在L(V,P)上定義加法和數(shù)量乘法.1.線(xiàn)性函數(shù)的和定義2

設(shè)f,g

是V

的兩個(gè)線(xiàn)性函數(shù)，定義函數(shù)f+g如下：(f+g)()=f()+g(),

V.第一頁(yè)，共20頁(yè)。f+g稱(chēng)為f,g的和.性質(zhì)

f+g是線(xiàn)性函數(shù).證明(f+g)(+)=f(+)+g(+)=f()+f()+g()+g()=(f+g)()+(f+g)()，(f+g)(k)=k

f()+k

g()=k(f+g)().證畢第二頁(yè)，共20頁(yè)。2.數(shù)量乘積定義3

設(shè)f

是V上線(xiàn)性函數(shù)，對(duì)P

中任意數(shù)k，定義函數(shù)

kf

如下：(kf)()=k(f())，

V

，kf稱(chēng)為k與f的數(shù)量乘積.容易證明kf

也是線(xiàn)性函數(shù).容易檢驗(yàn)，在這樣定義的加法和數(shù)量乘積下，L(V,P)成為數(shù)域P上的線(xiàn)性空間.第三頁(yè)，共20頁(yè)。二、L(V,P)的維數(shù)取定V

的一組基1,2,…,n,作V上n

個(gè)線(xiàn)性函數(shù)f1,f2,…,fn,使得因?yàn)閒i

在基1,2,…,n上的值已確定，這樣的線(xiàn)性函數(shù)是存在且唯一的.對(duì)V

中向量第四頁(yè)，共20頁(yè)。有fi()=xi,(2)即fi()是的第i

個(gè)坐標(biāo)的值.第五頁(yè)，共20頁(yè)。引理

對(duì)V

中任意向量

，有而對(duì)

L(V,P)中任意向量f,有證明(3)是(2)的直接結(jié)論，而由(1)及(3)就得證畢第六頁(yè)，共20頁(yè)。定理2

L(V,P)的維數(shù)等于V

的維數(shù)，而且f1,f2,…,fn是L(V,P)的一組基.證明首先證明f1,f2,…,fn

是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的.設(shè)c1

f1+c2

f2+…+cn

fn

=0(c1,c2,…,cn

P).依次用1,2,…,n代入，即得c1=c2=…=cn

=0.因此f1,f2,…,fn

是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的.第七頁(yè)，共20頁(yè)。又由知L(V,P)中任一向量都可由f1,f2,…,fn線(xiàn)性表出，所以f1,f2,…,fn是L(V,P)的一組基，于是dimL(V,P)=n=dimV.證畢第八頁(yè)，共20頁(yè)。三、對(duì)偶空間1.定義定義4

L(V,P)稱(chēng)為V

的對(duì)偶空間.L(V,P)的一組基稱(chēng)為1,2,…,n的對(duì)偶基.以后我們簡(jiǎn)單地把V

的對(duì)偶空間記為V*.第九頁(yè)，共20頁(yè)。例考慮實(shí)數(shù)域R上的n

維線(xiàn)性空間V=P[x]n對(duì)任意取定的n

個(gè)不同實(shí)數(shù)a1,a2,…,an,根據(jù)拉格朗日插值公式，得到n

個(gè)多項(xiàng)式它們滿(mǎn)足第十頁(yè)，共20頁(yè)。p1(x),p2(x),…,pn(x)是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的，因?yàn)橛蒫1p1(x)+c2

p2(x)+…+cnpn(x)=0，用ai

代入，即得又因V

是n

維的，所以p1(x),p2(x),…,pn(x)是

V

的一組基.設(shè)Li

V*(i=1,2,…,n)是在ai

點(diǎn)的取值函數(shù)：第十一頁(yè)，共20頁(yè)。Li(p(x))=p(ai),p(x)V,i=1,2,…,n.則線(xiàn)性函數(shù)Li滿(mǎn)足因此，L1,L2,…,Ln

是p1(x),p2(x),…,pn(x)的對(duì)偶基.第十二頁(yè)，共20頁(yè)。2.兩組基的對(duì)偶基之間的關(guān)系設(shè)V

是數(shù)域P

上一個(gè)n

維線(xiàn)性空間.1,2,

…,n及1,2,

…,n是V

的兩組基.它們的對(duì)偶基分別是f1,f2,…,fn及g1,g2,…,gn.再設(shè)(1,2,

…,n)=(1,2,

…,n)A，(g1,g2,…,gn)=(f1,f2,…,fn)B，其中第十三頁(yè)，共20頁(yè)。由假設(shè)i=a1i1+a2i2+

…+anin,i=1,2,…,n.gj=b1jf1+b2jf2+

…+bnjfn,j=1,2,…,n.因此第十四頁(yè)，共20頁(yè)。=b1ja1i+b2ja2i+…+bnjani

=1,i=j;0,i

j,i,j=1,2,…,n.由矩陣乘法定義，即得BTA=E

，即BT=A-1.因此有下述定理：第十五頁(yè)，共20頁(yè)。定理3

設(shè)1,2,…,n及1,2,…,n是線(xiàn)性空間V

的兩組基，它們的對(duì)偶基分別為f1,

f2,…,fn及g1,g2,…,gn.如果由1,2,…,n到1,2,…,n的過(guò)渡矩陣為A，那么由f1,f2,…,fn到g1,g2,…,gn的過(guò)渡矩陣為(AT)-1.第十六頁(yè)，共20頁(yè)。設(shè)V

是P

上一個(gè)線(xiàn)性空間，V*

是其對(duì)偶空間,取定V

中一個(gè)向量x

，定義V*的一個(gè)函數(shù)x**

如下：x**(f)=f(x),f

V*.根據(jù)線(xiàn)性函數(shù)的定義，容易檢驗(yàn)x**

是V*上的一個(gè)線(xiàn)性函數(shù)，因此是V*的對(duì)偶空間(V*)*=V**中的一個(gè)元素.第十七頁(yè)，共20頁(yè)。定理4

V

是一個(gè)線(xiàn)性空間，V**

是V

的對(duì)偶空間的對(duì)偶空間.V到V**的映射xx**是一個(gè)同構(gòu)映射.證明對(duì)任意x1,x2

V,fV*

有(x1+x2)**(f

)=

f

(x1+x2)=f

(x1)+f

(x2)=x1**(f

)+x2**(f

)=(x1**+x2**)

(f

)，第十八頁(yè)，共20頁(yè)。(kx1)**(f

)=f

(kx1)=k

f

(x1)=k

x1**(f

)=(k

x1**)(f

).因此(x1+x2)**=x1**+x2**

，

(kx1)**=k

x1**.所以這個(gè)映射保持加法和數(shù)量乘法.如果x**為V*上零函數(shù)，即對(duì)任一fV*都有第十九頁(yè)，共20頁(yè)。