2021-2022學年湖南省郴州市普通高校對口單招高等數學一自考測試卷(含答案)學校:________班級:________姓名:________考號:________

一、單選題(20題)1.微分方程y＋y＝0的通解為（）．A.A.

B.

C.

D.

2.

A.1

B.2

C.x2+y2

D.TL

3.極限等于()．A.A.e1/2B.eC.e2D.1

4.（）。A.0

B.1

C.2

D.＋∞

5.

6.

7.

8.

9.A.A.x2+cosy

B.x2-cosy

C.x2+cosy+1

D.x2-cosy+1

10.

11.A.

B.

C.

D.

12.

13.設函數f(x)在(0，1)內可導，f'(x)＞0，則f(x)在(0，1)內A.A.單調減少B.單調增加C.為常量D.不為常量，也不單調14.設Y=x2-2x+a，貝0點x=1()。A.為y的極大值點B.為y的極小值點C.不為y的極值點D.是否為y的極值點與a有關

15.

16.

[]A.e-x+C

B.-e-x+C

C.ex+C

D.-ex+C

17.

18.設函數為()．A.A.0B.1C.2D.不存在

19.下列命題中正確的為

A.若x0為f(x)的極值點，則必有f'(x0)=0

B.若f'(x)=0，則點x0必為f(x)的極值點

C.若f'(x0)≠0，則點x0必定不為f(x)的極值點

D.若f(x)在點x0處可導，且點x0為f(x)的極值點，則必有f'(x0)=0

20.若函數f(x)=5x，則f'(x)=

A.5x-1

B.x5x-1

C.5xln5

D.5x

二、填空題(20題)21.

22.23.設函數y=y(x)由方程x2y+y2x+2y=1確定，則y'=______．24.25.設z=ln(x2+y)，則全微分dz=__________。

26.

27.設y=f(x)在點x0處可導，且在點x0處取得極小值，則曲線y=f(x)在點(x0，f(x0))處的切線方程為________。

28.

29.極限=________。

30.

31.

32.

33.

34.設區域D：x2+y2≤a2(a＞0)，y≥0，則x2dxdy化為極坐標系下的二重積分的表達式為________。35.

36.過點M1(1，2，-1)且與平面x-2y+4z=0垂直的直線方程為__________。

37.

38.

39.40.∫x(x2-5)4dx=________。三、計算題(20題)41.研究級數的收斂性(即何時絕對收斂，何時條件收斂，何時發散，其中常數a>0．

42.

43.求曲線在點(1，3)處的切線方程．

44.

45.

46.求函數一的單調區間、極值及其曲線的凹凸區間和拐點．47.當x一0時f(x)與sin2x是等價無窮小量，則48.

49.已知某商品市場需求規律為Q=100e-0.25p，當p=10時，若價格上漲1％，需求量增(減)百分之幾?

50.51.證明：52.53.將f(x)=e-2X展開為x的冪級數．54.求函數y=x-lnx的單調區間，并求該曲線在點(1，1)處的切線l的方程．55.求函數f(x)=x3-3x+1的單調區間和極值．56.57.設平面薄板所占Oxy平面上的區域D為1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求該薄板的質量m．58.設拋物線Y=1-x2與x軸的交點為A、B，在拋物線與x軸所圍成的平面區域內，以線段AB為下底作內接等腰梯形ABCD(如圖2—1所示)．設梯形上底CD長為2x，面積為

S(x)．

(1)寫出S(x)的表達式；

(2)求S(x)的最大值．

59.求微分方程的通解．

60.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

四、解答題(10題)61.

62.

63.

64.

65.66.67.計算∫tanxdx．

68.

69.設z=x2y+2y2，求dz。70.五、高等數學(0題)71.設求六、解答題(0題)72.

參考答案

1.D本題考查的知識點為－階微分方程的求解．

可以將方程認作可分離變量方程；也可以將方程認作－階線性微分方程；還可以仿二階線性常系數齊次微分方程，并作為特例求解．

解法1將方程認作可分離變量方程．

解法2將方程認作－階線性微分方程．由通解公式可得

解法3認作二階常系數線性齊次微分方程特例求解：

特征方程為r＋1＝0，

特征根為r＝－1，

2.A

3.C本題考查的知識點為重要極限公式．

由于，可知應選C．

4.B

5.D

6.D

7.C

8.C

9.A

10.A解析：

11.A

12.D

13.B由于f'(x)＞0，可知．f(x)在(0，1)內單調增加。因此選B。

14.B本題考查的知識點為一元函數的極值。求解的一般步驟為：先求出函數的一階導數，令偏導數等于零，確定函數的駐點．再依極值的充分條件來判定所求駐點是否為極值點。由于y=x2-2x+a，可由y'=2x-2=0，解得y有唯一駐點x=1．又由于y"=2，可得知y"|x=1=2＞0。由極值的充分條件可知x=1為y的極小值點，故應選B。如果利用配方法，可得y=(x-1)2+a-1≥a-1，且y|x=1=a-1，由極值的定義可知x=1為y的極小值點，因此選B。

15.B解析：

16.B

17.B

18.D本題考查的知識點為極限與左極限、右極限的關系．

由于f(x)為分段函數，點x=1為f(x)的分段點，且在x=1的兩側，f(x)的表達式不相同，因此應考慮左極限與右極限．

19.D解析：由極值的必要條件知D正確。

y=｜x｜在x=0處取得極值，但不可導，知A與C不正確。

y=x3在x=0處導數為0，但x0=0不為它的極值點，可知B不正確。因此選D。

20.C本題考查了導數的基本公式的知識點。f'(x)=(5x)'=5xln5.

21.y=-x+1

22.

23.

；本題考查的知識點為隱函數的求導．

將x2y+y2x+2y=1兩端關于x求導，(2xy+x2y')+(2yy'x+y2)+2y'=0，(x2+2xy+2)y'+(2xy+y2)=0，因此y'=24.0

25.

26.0

27.y=f(x0)y=f(x)在點x0處可導，且y=f(x)有極小值f(x0)，這意味著x0為f(x)的極小值點。由極值的必要條件可知，必有f"(x0)=0，因此曲線y=f(x)在點(x0，f(x0))處的切線方程為y-f(x0)=f(x0)(x-x0)=0，即y=f(x0)為所求切線方程。

28.29.因為所求極限中的x的變化趨勢是趨近于無窮，因此它不是重要極限的形式，由于=0，即當x→∞時，為無窮小量，而cosx-1為有界函數，利用無窮小量性質知

30.

31.e1/2e1/2

解析：

32.00解析：

33.(-33)(-3,3)解析：34.因為D：x2+y2≤a2(a＞0)，y≥0，所以令且0≤r≤a，0≤0≤π，則=∫0πdθ∫0acos2θ.rdr=∫0πdθ∫0ar3cos2θdr。

35.

36.

37.-4cos2x

38.33解析：39.2本題考查的知識點為二階導數的運算．

f'(x)=(x2)'=2x，

f"(x)=(2x)'=2．

40.

41.

42.

43.曲線方程為，點(1，3)在曲線上．

因此所求曲線方程為或寫為2x+y-5=0．

如果函數y=f(x)在點x0處的導數f′(x0)存在，則表明曲線y=f(x)在點

(x0，fx0))處存在切線，且切線的斜率為f′(x0)．切線方程為

44.45.由一階線性微分方程通解公式有

46.

列表：

說明

47.由等價無窮小量的定義可知

48.

則

49.需求規律為Q=100ep-2.25p

∴當P=10時價格上漲1％需求量減少2．5％需求規律為Q=100ep-2.25p,

∴當P=10時,價格上漲1％需求量減少2．5％

50.

51.

52.

53.

54.

55.函數的定義域為

注意

56.

57.由二重積分物理意義知

58.

59.

60.解：原方程對應的齊次方程為y"-4y'+4y=0，

61