2021-2022學年寧夏回族自治區固原市普通高校對口單招高等數學一自考真題(含答案)學校:________班級:________姓名:________考號:________

一、單選題(20題)1.A.0B.1C.2D.不存在

2.

3.

4.當x→0時，3x2+2x3是3x2的()。A.高階無窮小B.低階無窮小C.同階無窮小但不是等價無窮小D.等價無窮小

5.設y=cosx，則y''=（）A.sinxB.cosxC.-cosxD.-sinx

6.A.0B.2C.2f(-1)D.2f(1)

7.設z=x2y，則等于()。A.2yx2y-1

B.x2ylnx

C.2x2y-1lnx

D.2x2ylnx

8.A.2x

B.3+2x

C.3

D.x2

9.

A.f(x)

B.f(x)+C

C.f/(x)

D.f/(x)+C

10.

11.方程y'-3y'+2y=xe2x的待定特解y*應取()．A.A.Axe2x

B.(Ax+B)e2x

C.Ax2e2x

D.x(Ax+B)e2x

12.∫sin5xdx等于()．

A.A.

B.

C.

D.

13.

14.

15.A.A.0B.1/2C.1D.∞16.在空間直角坐標系中，方程x+z2=z的圖形是A.A.圓柱面B.圓C.拋物線D.旋轉拋物面

17.

18.級數(k為非零正常數)()．A.A.條件收斂B.絕對收斂C.收斂性與k有關D.發散19.下列關系式中正確的有()。A.

B.

C.

D.

20.

二、填空題(20題)21.

22.23.設y=sinx2，則dy=______．24.

25.

26.

27.28.29.∫(x2-1)dx=________。30.

31.

32.設f(x，y)=x+(y-1)arcsinx，則f'x(x，1)=__________。

33.34.為使函數y=arcsin(u＋2)與u=｜x｜-2構成復合函數，則x所屬區間應為__________．

35.

36.37.

38.曲線y=x/2x-1的水平漸近線方程為__________。

39.

40.

三、計算題(20題)41.設拋物線Y=1-x2與x軸的交點為A、B，在拋物線與x軸所圍成的平面區域內，以線段AB為下底作內接等腰梯形ABCD(如圖2—1所示)．設梯形上底CD長為2x，面積為

S(x)．

(1)寫出S(x)的表達式；

(2)求S(x)的最大值．

42.

43.已知某商品市場需求規律為Q=100e-0.25p，當p=10時，若價格上漲1％，需求量增(減)百分之幾?

44.求函數y=x-lnx的單調區間，并求該曲線在點(1，1)處的切線l的方程．45.46.求函數f(x)=x3-3x+1的單調區間和極值．

47.

48.研究級數的收斂性(即何時絕對收斂，何時條件收斂，何時發散，其中常數a>0．

49.

50.求曲線在點(1，3)處的切線方程．51.當x一0時f(x)與sin2x是等價無窮小量，則52.53.將f(x)=e-2X展開為x的冪級數．54.求微分方程的通解．55.56.證明：

57.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

58.

59.設平面薄板所占Oxy平面上的區域D為1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求該薄板的質量m．60.求函數一的單調區間、極值及其曲線的凹凸區間和拐點．四、解答題(10題)61.設y=xsinx，求y．

62.

63.求曲線y=sinx、y=cosx、直線x=0在第一象限所圍圖形的面積A及該圖形繞x軸旋轉一周所得旋轉體的體積Vx。

64.

65.

66.67.

68.

69.

70.設y=x2ex，求y'。

五、高等數學(0題)71.下列命題不正確的是()。

A.兩個無窮大量之和仍為無窮大量

B.上萬個無窮小量之和仍為無窮小量

C.兩個無窮大量之積仍為無窮大量

D.兩個有界變量之和仍為有界變量

六、解答題(0題)72.設z=f(xy，x2)，其中f(x，y)有連續偏導數，求

參考答案

1.D本題考查的知識點為極限與左極限、右極限的關系．

由于f(x)為分段函數，點x＝1為f(x)的分段點，且在x＝1的兩側，f(x)的表達式不相同，因此應考慮左極限與右極限．

2.C

3.C

4.D本題考查的知識點為無窮小階的比較。

由于，可知點x→0時3x2+2x3與3x2為等價無窮小，故應選D。

5.Cy=cosx，y'=-sinx，y''=-cosx.

6.C本題考查了定積分的性質的知識點。

7.A本題考查的知識點為偏導數的計算。對于z=x2y，求的時候，要將z認定為x的冪函數，從而可知應選A。

8.A由導數的基本公式及四則運算法則，有故選A．

9.A由不定積分的性質“先積分后求導，作用抵消”可知應選A．

10.B

11.D本題考查的知識點為二階常系數線性非齊次微分方程特解y*的取法：

若自由項f(x)=Pn(x)eαx，當α不為特征根時，可設特解為

y*=Qn(x)eαx，

Qn(x)為x的待定n次多項式．

當α為單特征根時，可設特解為

y*=xQn(x)eαx，

當α為二重特征根時，可設特解為

y*=x2Qn(x)eαx．

所給方程對應齊次方程的特征方程為

r2-3r+2=0．

特征根為r1=1，r2=2．

自由項f(x)=xe2x，相當于α=2為單特征根．又因為Pn(x)為一次式，因此應選D．

12.A本題考查的知識點為不定積分的換元積分法．

，可知應選D．

13.A解析：

14.C

15.A

16.A

17.D解析：

18.A

19.B本題考查的知識點為定積分的性質．

由于x，x2都為連續函數，因此與都存在。又由于0＜x＜1時，x＞x2，因此

可知應選B。

20.C解析：

21.5

22.

23.2xcosx2dx本題考查的知識點為一元函數的微分．

由于y=sinx2，y'=cosx2·(x2)'=2xcosx2，故dy=y'dx=2xcosx2dx．

24.

25.y''=x(asinx+bcosx)

26.1/3

27.x=-128.2．

本題考查的知識點為二次積分的計算．

由相應的二重積分的幾何意義可知，所給二次積分的值等于長為1，寬為2的矩形的面積值，故為2．或由二次積分計算可知

29.30.(－1，1)。

本題考查的知識點為求冪級數的收斂區間。

所給級數為不缺項情形。

(－1，1)。注《綱》中指出，收斂區間為(－R，R)，不包括端點。本題一些考生填1，這是誤將收斂區間看作收斂半徑，多數是由于考試時過于緊張而導致的錯誤。

31.

32.1

33.

本題考查的知識點為：參數方程形式的函數求導．

34.[-1，1

35.

解析：

36.

37.

38.y=1/2

39.(12)

40.-ln｜x-1｜+C

41.

42.

則

43.需求規律為Q=100ep-2.25p

∴當P=10時價格上漲1％需求量減少2．5％需求規律為Q=100ep-2.25p,

∴當P=10時,價格上漲1％需求量減少2．5％

44.

45.

46.函數的定義域為

注意

47.

48.

49.50.曲線方程為，點(1，3)在曲線上．

因此所求曲線方程為或寫為2x+y-5=0．

如果函數y=f(x)在點x0處的導數f′(x0)存在，則表明曲線y=f(x)在點

(x0，fx0))處存在切線，且切線的斜率為f′(x0)．切線方程為

51.由等價無窮小量的定義可知

52.

53.

54.

55.

56.

57.解：原方程對應的齊次方程為y"-4y'+4y=0，

58.由一階線性微分方程通解公式有

59.由二重積分物理意義知

60.

列表：

說明

61.解

62.解

63.

64.

65.

66.67.本題考查的知識點為計算二重積分；選擇積分次序或利用極坐標計算．

積分區域D如圖2—1所示．

解法1利用極坐標系．

D可以表示為

解法2利用直角坐標系．

如果利用直角坐標計算，區域D的邊界曲線關于x，y地位等同，因此選擇哪種積分次序應考慮被積函數的特點．注意

可以看出，兩種積分次序下的二次積分都可以進行計算，但是若先對x積分，后對y積分，將簡便些．

本題中考生出現的較普遍的錯誤為，利用極坐標將二重積分化為二次積分：

右端被積函數中丟掉了r，這是考生應該注意的問題．通常若區域可以表示為

68.

69.

70.y'=(x2)'ex+x2(ex)'=2xex+x2ex=ex(x2+2x)。y'=(x2)'ex+x2(ex)'=2xex+x2ex=ex(x2+2x)。

71.A∵f(x)→∞；g(x)→∞∴f(x)+g(x)是不定型，不一定是無窮大