/05/5/主題1集合、常用邏輯用語、算法1．集合解決集合問題應注意的3點(1)化簡集合時易忽視元素的特定范圍，如T1，T2，T3，T5.(2)要注意空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，如T6.(3)借助數軸解決集合運算時，要注意端點值的取舍，如T4.1．(2019·全國卷Ⅰ)已知集合U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,3,4,5}，B＝{2,3,6,7}，則B∩?UA＝()A．{1,6} B．{1,7}C．{6,7} D．{1,6,7}C[∵U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,3,4,5}，∴?UA＝{1,6,7}．又B＝{2,3,6,7}，∴B∩?UA＝{6,7}．故選C.]2．已知集合M＝{x|y＝eq\r(x－1)}，N＝{y|y＝eq\r(x－1)}，則M與N的關系為()A．M＝N B．M?NC．N?M D．M∩N＝?B[由題意知M＝[1，＋∞)，N＝[0，＋∞)，則M?N.故選B.]3．(2019·長沙模擬)若集合M＝{x∈R|－3＜x＜1}，N＝{x∈Z|－1≤x≤2}，則M∩N＝()A．{0} B．{－1,0}C．{－1,0,1} D．{－2，－1,0,1,2}B[由題意，得N＝{x∈Z|－1≤x≤2}＝{－1,0,1,2}，M＝{x∈R|－3＜x＜1}，則M∩N＝{－1,0}，故選B.]4．已知集合P＝{x|x＜m}，Q＝{x|x2－4x－5＜0}，若Q?P，則實數m的取值范圍為()A．[5，＋∞) B．(5，＋∞)C．[1，＋∞) D．(1，＋∞)A[x2－4x－5＜0，即(x＋1)(x－5)＜0，得－1＜x＜5，所以Q＝(－1,5)．由Q?P可得m≥5.故選A.]5．(2018·全國卷Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，則A中元素的個數為()A．9B．8C．5D．4A[由x2＋y2≤3知，－eq\r(3)≤x≤eq\r(3)，－eq\r(3)≤y≤eq\r(3).又x∈Z，y∈Z，所以x∈{－1,0,1}，y∈{－1,0,1}，如圖所示，所以A中元素共9個，故選A.]6．已知集合P＝{4,5,6}，Q＝{1,2,3}，定義PQ＝{x|x＝p－q，p∈P，q∈Q}，則集合PQ的所有真子集的個數為()A．32 B．31C．30 D．以上都不對B[由所定義的運算可知PQ＝{1,2,3,4,5}，所以PQ的所有真子集的個數為25－1＝31.]2．常用邏輯用語解決常用邏輯用語問題應關注3點(1)“A的充分不必要條件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要條件”則是指A能推出B，且B不能推出A.(2)命題的否定只需否定結論，而其否命題既要否定條件又要否定結論．(3)對全稱命題和特稱命題的否定不僅要否定結論，還要注意量詞的改變．如T2.1．(2019·全國卷Ⅱ)設α，β為兩個平面，則α∥β的充要條件是()A．α內有無數條直線與β平行B．α內有兩條相交直線與β平行C．α，β平行于同一條直線D．α，β垂直于同一平面B[若α∥β，則α內有無數條直線與β平行，反之不成立；若α，β平行于同一條直線，則α與β可以平行也可以相交；若α，β垂直于同一平面，則α與β可以平行也可以相交，故A，C，D均不是充要條件．根據平面與平面平行的判定定理知，若一個平面內有兩條相交直線與另一個平面平行，則兩平面平行，反之成立．因此B中條件是α∥β的充要條件．故選B.]2．(2019·沈陽質量監測(一))設命題p：?x∈R，x2－x＋1＞0，則﹁p為()A．?x∈R，x2－x＋1＞0 B．?x∈R，x2－x＋1≤0C．?x∈R，x2－x＋1≤0 D．?x∈R，x2－x＋1＜0C[已知原命題p：?x∈R，x2－x＋1＞0，全稱命題的否定是將全稱量詞改為存在量詞，并否定命題的結論，故原命題的否定﹁p為：?x∈R，x2－x＋1≤0.]3．(2019·北京高考)設函數f(x)＝cosx＋bsinx(b為常數)，則“b＝0”是“f(x)為偶函數”的()A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件C[∵f(x)＝cosx＋bsinx為偶函數，∴對任意的x∈R，都有f(－x)＝f(x)，即cos(－x)＋bsin(－x)＝cosx＋bsinx，∴2bsinx＝0.由x的任意性，得b＝0.故f(x)為偶函數?b＝0.必要性成立．反過來，若b＝0，則f(x)＝cosx是偶函數．充分性成立．∴“b＝0”是“f(x)為偶函數”的充分必要條件．故選C.]4．下列命題中的假命題是()A．?x∈R，log2x＝0 B．?x∈R，cosx＝1C．?x∈R，x2＞0 D．?x∈R,2x＞0C[因為log21＝0，cos0＝1，所以選項A，B均為真命題，又02＝0，所以選項C為假命題，故選C.]5．[一題多解](2019·全國卷Ⅲ)記不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≥6，,2x－y≥0))表示的平面區域為D.命題p：?(x，y)∈D,2x＋y≥9；命題q：?(x，y)∈D,2x＋y≤12.下面給出了四個命題①p∨q②﹁p∨q③p∧﹁q④﹁p∧﹁q這四個命題中，所有真命題的編號是()A．①③ B．①②C．②③ D．③④A[法一：畫出可行域如圖中陰影部分所示．目標函數z＝2x＋y是一條平行移動的直線，且z的幾何意義是直線z＝2x＋y的縱截距．顯然，直線過點A(2,4)時，zmin＝2×2＋4＝8，即z＝2x＋y≥8.∴2x＋y∈[8，＋∞)．由此得命題p：?(x，y)∈D,2x＋y≥9正確；命題q：?(x，y)∈D,2x＋y≤12不正確．∴①③真，②④假．故選A.法二：取x＝4，y＝5，滿足不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≥6，,2x－y≥0，))且滿足2x＋y≥9，不滿足2x＋y≤12，故p真，q假．∴①③真，②④假．故選A.]3．算法掌握2種解決算法問題的常用方法技巧(1)根據程序框圖求解運行結果的方法技巧：先要找出控制循環的變量及其初值、終值，然后看循環體，若循環次數較少，可依次列出即可得到答案；若循環次數較多，可先循環幾次，找出規律．要特別注意最后輸出的是什么，不要出現多一次或少一次循環的錯誤，尤其對于以累和為限定條件的問題，需要逐次求出每次迭代的結果，并逐次判斷是否滿足終止條件．如T1，T3.(2)完善程序框圖的方法技巧：先假設某選項正確，然后運行循環結構，一直到運行結果與題目要求輸出的結果相同為止．如T4.1．(2019·全國卷Ⅲ)執行如圖所示的程序框圖，如果輸入的ε為0.01，則輸出s的值等于()A．2－eq\f(1,24)B．2－eq\f(1,25)C．2－eq\f(1,26)D．2－eq\f(1,27)C[ε＝0.01，x＝1，s＝0，s＝0＋1＝1，x＝eq\f(1,2)，x＜ε不成立；s＝1＋eq\f(1,2)，x＝eq\f(1,4)，x＜ε不成立；s＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)，x＝eq\f(1,8)，x＜ε不成立；s＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,8)，x＝eq\f(1,16)，x＜ε不成立：s＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,8)＋eq\f(1,16)，x＝eq\f(1,32)，x＜ε不成立；s＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,8)＋eq\f(1,16)＋eq\f(1,32)，x＝eq\f(1,64)，x＜ε不成立；s＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,8)＋eq\f(1,16)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,64)，x＝eq\f(1,128)，x＜ε成立，此時輸出s＝2－eq\f(1,26).故選C.]2．已知程序框圖如圖所示，則該程序框圖的功能是()A．求數列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)))的前10項和B．求數列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n)))的前10項和C．求數列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)))的前11項和D．求數列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n)))的前11項和B[該程序框圖是先計算S，再計算k，當k＝10時，S的值為eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,6)＋…＋eq\f(1,20)，當k＝11＞10時，輸出S.故選B.]3．如圖是某算法的程序框圖，當輸出的結果T＞70時，正整數n的最小值是()A．3B．4C．5D．6B[由程序框圖知，每次循環中K，T的值依次為1,1；2,4；3,16；4,72.又T＝72＞70，故正整數n的最小值為4.]4．(2019·全國卷Ⅰ)如圖是求eq\f(1,2＋\f(1,2＋\f(1,2)))的程序框圖，圖中空白框中應填入()A．A＝eq\f(1,