PAGEPAGE7不同函數增長的差異(25分鐘50分)一、選擇題(每小題5分,共30分)1.冪函數,指數函數,對數函數是生活中三類常見基本的初等函數,可以刻畫客觀世界不同的變化規律.已知函數y=xa,y=bx,y=logcx的圖象如圖所示,則()A.a<b<c B.b<a<cC.a<c<b D.b<c<a【解析】選A.由圖象可得曲線①為對數函數y=logcx,在定義域內為增函數,則c>1,曲線②為指數函數y=bx,為減函數,則0<b<1,曲線③為冪函數y=xa,在(0,+∞)上為減函數,則a<0,所以a<0<b<1<c.2.某新品牌電視投放市場后第一個月銷售100臺,第二個月銷售200臺,第三個月銷售400臺,第四個月銷售790臺,則下列函數模型中能較好反映銷量y與投放市場的月數x之間的關系的是()A.y=100x B.y=50x2-50x+100C.y=50×2x D.y=100log2x+100【解析】選C.把x=1,2,3,4分別代入計算,x=1時,A為100,B為100,C為100,D為100;x=2時,A為200,B為200,C為200,D為200;x=3時,A為300,B為400,C為400,D約為258;x=4時,A為400,B為700,C為800,D為300,比較知只有C中x=4時偏差很小,所以C較好.3.今有一組實驗數據如下:t1.993.04.05.16.12v1.54.047.51218.01現準備用下列函數中的一個近似地表示這些數據滿足的規律,其中最接近的一個是()A.v=log2t B.v=lotC.v= D.v=2t-2【解析】選C.特值檢驗,如:當t=4時,v==7.5.4.(多選題)甲、乙、丙、丁四個物體同時從某一點出發向同一個方向運動,其路程fi(x)(i=1,2,3,4)關于時間x(x≥0)的函數解析式分別為f1(x)=2x-1,f2(x)=x2,f3(x)=x,f4(x)=log2(x+1),有以下結論:①當x>1時,甲走在最前面;②當x>1時,乙走在最前面;③當0<x<1時,丁走在最前面,當x>1時,丁走在最后面;④丙不可能走在最前面,也不可能走在最后面;()A.①正確 B.②正確 C.③正確 D.④正確【解析】選C、D.路程fi(x)(i=1,2,3,4)關于時間x(x≥0)的函數解析式是f1(x)=2x-1,f2(x)=x2,f3(x)=x,f4(x)=log2(x+1),它們相應的函數模型分別是指數型函數、二次函數、一次函數和對數函數.當x=2時,f1(2)=3,f2(2)=4,命題①不正確;x=5時,f1(5)=31,f2(5)=25,命題②不正確.對數型函數的變化是先快后慢,當x=1時,甲、乙、丙、丁四個物體重合,從而可知當0<x<1時,丁走在最前面,當x>1時,丁走在最后面,命題③正確;結合對數型和指數型函數的圖象變化情況,可知丙不可能走在最前面,也不可能走在最后面,命題④正確.故選CD.5.面對函數f(x)=lox,g(x)=與h(x)=在區間(0,+∞)上的衰減情況說法正確的是()A.f(x)衰減速度越來越慢,g(x)衰減速度越來越快,h(x)衰減速度越來越慢B.f(x)衰減速度越來越快,g(x)衰減速度越來越慢,h(x)衰減速度越來越快C.f(x)衰減速度越來越慢,g(x)衰減速度越來越慢,h(x)衰減速度越來越慢D.f(x)衰減速度越來越快,g(x)衰減速度越來越快,h(x)衰減速度越來越快【解析】選C.函數f(x)=lox,g(x)=與h(x)=在區間(0,+∞)上的圖象如圖所示.觀察圖象可知,函數f(x)的圖象在區間(0,1)上遞減較快,但遞減速度逐漸變慢,在區間(1,+∞)上,遞減較慢,且越來越慢;同樣,函數g(x)的圖象在區間(0,+∞)上,遞減較慢,且遞減速度越來越慢;函數h(x)的圖象在區間(0,1)上遞減較快,但遞減速度逐漸變慢;在區間(1,+∞)上,遞減較慢,且越來越慢,故選C.6.西部某地區實施退耕還林,森林面積在20年內增加了5%,若按此規律,設2019年的森林面積為m,從2019年起,經過x年后森林面積y與x的函數解析式為()A.y= B.y=mC.y=m(1+5% D.y=[1+(5%)x]m【解析】選C.設平均每年增加a%,則(1+a%)20=1+5%,所以1+a%=(1+5%,可知經過x年后森林面積y與x的函數解析式為y=m(1+5%.二、填空題(每小題5分,共10分)7.果蔬批發市場批發某種水果,不少于100千克時,批發價為每千克2.5元,小王攜帶現金3000元到市場采購這種水果,并以此批發價買進,如果購買的水果為x千克,小王付款后剩余現金為y元,則x與y之間的函數關系為;x的取值范圍是.

【解析】由題意可知函數關系式是y=3000-2.5x,由題意可知最少買100千克,最多買=1200千克,所以函數的定義域是[100,1200].答案:y=3000-2.5x[100,1200]8.某商場2016年一月份到十二月份銷售額呈現先下降后上升的趨勢,現有三種模型:①f(x)=p·qx(q>0,且q≠1);②f(x)=logpx+q(p>0,且p≠1);③f(x)=x2+px+q.能較準確反映商場月銷售額f(x)與月份x關系的函數模型為(填序號).若所選函數滿足f(1)=10,f(3)=2,則f(x)=.

【解析】因為f(x)=p·qx,f(x)=logpx+q都是單調函數,函數f(x)=x2+px+q的圖象先下降后上升.所以選擇函數f(x)=x2+px+q.又f(1)=10,f(3)=2,所以所以p=-8,q=17,所以f(x)=x2-8x+17.答案:③x2-8x+17三、解答題9.(10分)某校甲、乙兩食堂2019年1月份的營業額相等,甲食堂的營業額逐月增加,并且每月增加值相同;乙食堂的營業額也逐月增加,且每月增加的百分率相同.已知2019年9月份兩食堂的營業額又相等,求2019年5月份營業額較高的是哪個食堂?【解析】設甲以后每個月比前一個月增加相同的營業額a,乙每個月比前一個月增加營業額的百分比為x,1月份的營業額設為1,由題意得1+8a=1×(1+x)8,5月份甲的營業額為1+4a,5月份乙的營業額為1×(1+x)4,即.因為(1+4a)2-(1+8a)=16a2>0,所以1+4a>,所以2019年5月份營業額較高的是甲.(25分鐘50分)一、選擇題(每小題5分,共10分)1.某地區植被被破壞,土地沙漠化越來越嚴重,最近三年測得沙漠增加值分別為0.2萬公頃、0.4萬公頃和0.76萬公頃,則沙漠增加數y公頃關于年數x的函數關系較為接近的是()A.y=0.2x B.y=(x2+2x)C.y= D.y=0.2+log16x【解析】選C.用排除法,當x=1時,排除B項;當x=2時,排除D項;當x=3時,排除A項.2.如圖所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面積y(m2)與時間t(月)的關系:y=at,有以下敘述:①這個指數函數的底數是2;②第5個月時,浮萍的面積就會超過30m2;③浮萍從4m2蔓延到12m2需要經過1.5個月;④浮萍每個月增加的面積都相等.其中正確的是()A.①③ B.①② C.②③④ D.①②④【解析】選B.由題意知圖象單調遞增,底數大于1,又過點(2,4),故①對;令t=5,得y=25=32>30,故②對;若浮萍從4m2蔓延到12m2需要經過的時間是1.5個月,則有12=23.5,因為23.5=8≠12,故③錯;由指數函數模型的圖象上升特征,可知④錯.二、填空題(每小題5分,共20分)3.函數y=x2與函數y=xlnx在區間(1,+∞)上增長較快的一個是.

【解析】當x變大時,x比lnx增長要快,所以x2要比xlnx增長得要快.答案:y=x24.計算機的價格大約每3年下降,那么今年花8100元買的一臺計算機,9年后的價格大約是元.

【解析】設計算機價格平均每年下降p%,由題意可得=,所以p%=1-,所以9年后的價格約為y=8100×=8100×=300(元).答案:3005.某工廠生產某種產品的月產量y與月份x之間滿足關系y=a·1.5x+b.現已知該廠今年1月份、2月份生產該產品分別為3萬件、5萬件.則此工廠3月份該產品的產量為萬件.

【解析】由已知得解得所以y=×1.5x-1.當x=3時,y=8.答案:86.麋鹿是國家一級保護動物,位于江蘇省中部黃海之濱的江蘇大豐麋鹿國家級自然保護區,成立于1985年,最初一年年底只有麋鹿100頭,由于科學的人工培育,這種當初快要滅絕的動物的數量y(頭)與時間x(年)的關系可以近似地由關系式y=alog2(x+1)給出,則2000年年底它們的數量約為頭.

【解析】由題意,x=1時y=100,代入求得a=100.2000年年底時,x=15,代入得y=400.答案:400三、解答題(每小題10分,共20分)7.樹林中有一種樹木栽植五年后可成材.在栽植后的五年內,年增長率為20%,如果不砍伐,從第六年到第十年,年增長率為10%,現有兩種砍伐方案:甲方案:栽植五年后不砍伐,等到十年后砍伐.乙方案:栽植五年后砍伐重栽,再過五年再砍伐一次.請計算后回答:十年內哪一種方案可以得到較多的木材?(不考慮最初的樹苗成本,只按成材的樹木計算)【解析】設樹林中這種樹木的最初栽植量為a(a>0),甲方案在10年后樹木產量為y1=a(1+20%)5(1+10%)5=a(1.2×1.1)5≈4a.乙方案在10年后樹木產量為y2=2a(1+20%)5=2a×1.25≈4.98a.y1-y2=4a-4.98a<0,因此,乙方案能獲得更多的木材.8.某工廠今年1月、2月、3月生產某種產品分別為1萬件、1.2萬件、1.3萬件.為了估計以后每個月的產量,以這3個月的產品數量為依據,用一個函數來模擬該產品的月產量y與月份x的關系.模擬函數可以選用二次函數或函數y=a·bx+c(a,b,c為常數).已知4月份該產品的產量為1.37萬件,試問:用以上哪個函數作為模擬函數較好?請說明理由.【解析】設兩個函數:y1