PAGEPAGE7第1課時平面的法向量及線面位置關系基礎達標練1.（多選）（2021江蘇南京第十四中學高二月考）已知A(-4,6,-1),B(4,3,2),則下列各向量中是平面AOB（O是坐標原點）的一個法向量的是()A.(-154C.(-15,4,36)D.(15,4,-36)答案：B;D2.若直線l的一個方向向量為a=(1,-2,3),平面α的一個法向量為nA.l?αB.l∥αC.l⊥αD.l與α相交答案：C3.已知平面α的一個法向量為n=(1,-1,1),直線AB與平面α相交但不垂直,則向量ABA.(-2,2,-2)B.(1,3,2)C.(2,1,-1)D.(1,2,3)答案：D4.（多選）在正方體ABCD-A1B1CA.A1E⊥AC1C.BF⊥DGD.A答案：B;C;D解析：設正方體的棱長為1,以D為原點,DA、DC、DD1所在的直線分別為x軸、y軸、則A1(1,0,1),E(1,1則A1A1E?AC顯然平面ADD1A所以BF∥平面ADDBF?DG=0A1E=-5.平面α的一個法向量為m=(k,2?k,100),直線l的一個方向向量為n=(k,-1,0),若答案：0或26.如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C（1）求向量HN的模;（2）點P是線段AA1上一點,且A1P=答案：（1）由題意知,CA,CB,CC1兩兩垂直,∴以C為原點,CA,則A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,0),A∵N,H分別為A1∴H(0,1則HN=(1,-（2）證明：由題意可知,P(1,0,3設平面C1MP的一個法向量為則n令x=1,∴y=-1,z=-2,∴n=(1,-1,2),又A1素養提升練7.在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=AA1=2,D是A.(0,1,2)B.(0,C.(0,14答案：A解析：根據題意建立如圖所示的空間直角坐標系,則B(2,0,0),C(0,2,0),(-2,0,2),A1C1=(0,2,0),由A1E=λA1C1=(0,2λ,0),得點令x=1,得y=z=1,所以n=(1,1,1),所以n?DE=-2+2λ+1=0,解得8.如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,E,F分別是BC,DD答案：1解析：以D1為原點,以D1A1,D1C1,D1D所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系（圖略),設CE=x,DF=y,則E(x,1,1),F(0,0,1-y),A(1,0,1),9.如圖所示,在直角梯形ABCP中,AP∥BC,AP⊥AB,AB=BC=12AP=2,D是AP的中點,E、F、G分別為PC、PD、CB的中點,將△PCD沿CD折起,使得PD⊥平面ABCD.請用向量法證明AP∥答案：證明如圖,以D為原點,DA,DC,DP的方向為則P(0,0,2),C(0,2,0),G(1,2,0),E(0,1,1),F(0,0,1),A(2,0,0).AP=(-2,0,2),設平面EFG的一個法向量為n=(x,y,z)∴令x=z=1,∴n∵n?AP=1×(-2)+0×0+1×2=0,∴n⊥創新拓展練10.如圖,在底面是正方形的四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AP=AB=2,E,F,G是BC,PC,CD的中點.（1）求證：BG⊥平面PAE;（2）在線段BG上是否存在點H,使得FH∥平面PAE？若存在,求出BHBG解析：命題分析本題以四棱錐為載體,應用空間向量解決線面垂直問題以及線面平行的探索性問題,體現了數與形的靈活轉化,體現了向量在解決立體幾何問題中的工具性.答題要領（1）以點A為坐標原點,AB,AD,AP所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系,證出BG?AP=0（2）假設存在,利用線面垂直的定義證出FH?答案：詳細解析（1）證明：因為四棱錐P-ABCD的底面是正方形,且PA⊥平面ABCD,所以AP,AB,AD兩兩互相垂直.以點A為坐標原點,AB,AD,AP所在直線分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標系.則A(0,0,0),B(2,0,0),P(0,0,2),C(2,2,0),D(0,2,0),因為E,F,G分別是BC,PC,CD的中點,所以E(2,1,0),F(1,1,1),G(1,2,0),所以BG=(-1,2,0),所以BG?AP=0,且BG?AE=0.所以所以BG⊥平面PAE.（2）存在.理由：如圖,假設在線段BG上存在點H,使得FH∥平面PAE.設BH=λBG(0≤λ≤1)因為FH∥平面PAE,BG⊥平面PAE,所以FH?BG=(-1)×(1-λ)+2×(2λ-1)+0×(-1)=5λ-3所以在線段BG上存在點