張斌1—126宿舍小組成員Pressthenametoseethephoto.Pressthenameagaintoreplace.張津銘張瑞瑞張若洋張英杰0610295張斌0610296張津銘0610297張瑞瑞0610298張若洋0610299張英杰最小作用量原理

最小作用量原理是物理學中描述客觀事物規律的一種重要方法。其內容是說：從某一個特定角度比較客體一切可能的運動（經歷），認為客體的實際運動（經歷）可以由作用量求極值得出，作用量最小的那個經歷即為客體的實際歷經。正如對稱性、守恒律、因果律一樣，最小作用量原理將自然規律含蓄地統一在一起。它的高度概括性與簡潔的美感將自然科學與自然哲學之美體現得淋漓盡致。本片將帶你進入最小作用量原理的奇幻世界，領略它的奇妙與深邃。

序最小作用量原理起初由幾何光學和牛頓力學共同啟蒙，最后卻發展成為適用于整個物理學和自然運動規律的基礎性理論。其價值不言而喻，下面就讓我們從歷史的角度對最小作用量原理作初步的認識。

在對自然定律的思索中，“最小”觀念在亞里士多德（Aristoteles，古希臘，384B.C.~322B.C.）那里就有了：“在用很少就可以完成的地方，卻用了很多，是無謂的”。這個觀念一直以不同的形式盤旋在歷代自然哲學家與科學家的頭腦中。其中有影響的，是奧卡姆(w．Occan，英國，1300~1349)，他從方法論上提出了“經濟原則”——“用較少即可做到的事，多做反而無益”。歷史回顧

在物理學中成功使用“最小”觀念的最早一個例子，是光學中的“費馬原理”。

費馬(P．Fermat，法國，1601~1665)在1662年提出一個假設：“不管在什么媒質中，光從一點到另一點傳播的真實路線，比起聯結這兩點的任何別的路線所花費的時間最小”。費馬原理作為幾何光學的基本原理，它成功地把三條經驗定律：均勻媒質中光的直線傳播定律，兩種媒質分界面上的反射定律和折射定律，轉變為費馬原理的數學推論。歷史回顧1669年萊布尼茨（LeibnizGottfriedWilhelm，德國，1646～1716）在意大利旅行時寫了一篇研究動力學基本問題的論文。在此論文中引入了“作用量”這一概念，即質量速度和路徑長度的乘積。而路徑長度等于速度和時間之積，因此作用量同樣確定為質量，速度平方和時間的乘積，即活力（動能）乘上時間。在一封信中（但其真實性曾遭到懷疑）萊布尼茨寫道，當物體運動時，作用量通常取極大或極小值。歷史回顧1696年，由約翰·伯努利（JohannBernoulli，瑞士，1667~1748）提出并解決的最速落徑問題對于變分計算的形成過程有著特別重要的意義。在解決最速落徑問題的時候，伯努利提出了一個原理。照這個原理來說，倘若曲線提供了極大值或極小值，那么曲線的每一個無限小的部分也同樣具有這一特性。這個原理沒有普遍義，在許多情況之下曲線并不具有上述質。可是由于注意到伯努利提出的原理在被證實為正確時的那些條件，這就使歐拉在闡述最小作用量原理上邁出了十分重要的一步。歷史回顧1744年．莫泊丟(Maupertuis，法國，1698~1759)完善了“作用量”概念，提出了“最小作用量原理”：“質點系實際發生的運動，是使某一作用量取最小值運動的”．他認為這一原理，能夠取代牛頓運動定律，成為力學的理論基礎．問題在于尋找作用量的數學描述．然而，莫泊丟篤信上帝，他不但賦予最小作用量原理以目的論的形式，而且還有目的論的色彩。他主張，如此合乎目的組建起來的整個自然界可以用證實了“造物主的存在和智慧”這一目的唯一原則來解釋。歷史回顧在十八世紀二十年代末到三十年代，歐拉（EulerLeonhard，瑞士，1707～1783）多次致力于變分計算領域內的工作。1744年發表了歐拉的名著《求具有極大值或極小值或是在更廣泛的意義上來說，解決等周問題的方法》。歐拉把一篇不長的論文安置在附錄工之中，這篇論《用極大值和極小值的方法確定在沒有阻力的介質中拋體運動的問題》，他在此論文中指出，當物體在向心力的作用下，從點A以速度v運動到點B時它將描繪出某個軌跡，該軌跡對應于積分的極大值或極小值。歐拉注意到由他所簡單闡述的原理只是在適用于活力定律的情況下才能應用。相反，莫培督認為作用量的最小數量原理比活力定律更廣泛。歐拉總的結論是在介質無阻力時最小作用原理具有普遍意義。這個原理不僅關系到單個物體，而且也關系到若干物體構成的體系。歷史回顧拉格朗日（LagrangeJosephLouis，法國，1736～1813）充分的發展了歐拉的思想。他不僅把歐拉的結論從一個質點推廣到了質點系，即作用量變為了。而且，拉格朗日將最小作用量原理提升到了力學根本原理的地位。拉格朗日的最小作用量原理不僅以要求某種積分不變的條件限制質點或質點系的運動，而且還以單值的形式指出了在已知初始條件時系統和質點實際上要如何運動。能量守恒原理所指出的正是什么樣的運動是可能的。而可能的條件正是：，其中為作用量，E為機械能，U為勢能。

但拉格朗日認為最小作用量原理，純粹是從動力學方程得到的推論，而反對把它當成是宇宙間的普遍原理的觀念。歷史回顧1843年，哈密頓(w．R．Hamilton，英國，1805~1865)對作用量的數學形式作以下假設：

（為拉格朗日函數,為廣義坐標）并首先把拉格朗日函數表述為廣義坐標和廣義動量的函數，作用量定義為質點系拉格朗日函數對時間的積分。作用量是一個過程量，哈密頓最小作用量原理表述為：具有理想和完整的質點系在有勢力作用下，在所有具有相同起始位置的可能運動歷經中，真實運動為哈密頓作用量取得駐值（廣義極值）的那個歷經，即真實運動對哈密頓作用量的變分等于零：由于真實過程僅要求其作用量是一個極值即可，無需“最小”，故以后稱為“作用量原理”，把“最小”刪去了。歷史回顧1886年，赫姆霍茨(Helmholtz，德國，1821～1894)把這一原理系統地運用于力學，熱力學和電動力學等問題。他引入了促進概括這一原理的物理解釋的動勢的概念。所謂動勢，是這樣一個量，將它對時間求積分就可以得到作用量。由于動勢概念是獨立的，因之就可以把最小作用原理認為是物理可逆過程的普遍原理，上這樣一來，也用不著把它歸結為力學的規律了。換言之，也就是不必把最小作用量原理作為力學原理加以解釋。由于在電動力學中無需任何一種力學模型就可以闡述其內容和引用哈米頓原理，所以普朗克(MaxPlanck，德國，1858～1947)這樣寫道：最小作用量原理所經過的歷程和能量守恒原理相同；“能量守恒原理起初同樣認為是力學原理，只是由于作為機械論宇宙觀的證據而賦予它普遍的意義。目前機械論宇宙觀受到強烈的動搖，然而無論什么人都沒有開始懷疑能量守恒原理的普遍性。如果現在把最小作用原理看成是純力學原理，那么可能會不自覺地陷入片面性之中”。歷史回顧正是對光學和力學中最小作用量原理的類比，德布羅意（LouisdeBroglie，法國，1892~1987）對波爾的量子化條件做出了合理的解釋并提出了物質波的設想。在相對論中，最小作用量原理仍然成立，并被解釋為能夠從四維空間可能的世界線中挑選出實際的世界線的原理。并且在廣義相對論的建立過程中，愛因斯坦（AlbertEinstein，德國，1879~1955）也曾使用它。愛丁頓（ArthurEddington，英國，1882~1994）在廣義相對論中指出：對時空連續統而言，作用量扮演著類似于能量在空間關系上所扮演的角色。在四維世界里，作用量是曲率的量度，即決定質點運動的四維連續統的基本特性的量度。歷史回顧最小作用量原理指出：滿足一定約束條件的物理系統，在其所有的可能狀態中，對應于作用量函數取極值的狀態，而作用量函數一般和能量相關聯。最小作用量原理因其廣泛的適用性成為物理學中最為基礎而富有意義的基本原理之一。正如之前歷史回顧中所述，最小作用量原理不僅在分析力學、幾何光學、電動力學和熱力學等經典物理中廣泛應用，更是在近代物理學直至相對論量子場論中起到了重要作用。由于水平所限，我們不能全面而深刻的剖析最小作用量原理巨大意義，而只能從一個側面對他的一些簡單應用作一些介紹。下面我們將從力學、電學、熱學、光學四個方面介紹最小作用量原理的一些簡單應用。力學應用電學應用熱學應用光學應用高斯最小束縛原理1829年數學家高斯導出了最小束縛原理：在理想束縛條件下，系統在某瞬間時，真實運動與位置、速度、約束條件均相同，但加速度不同的可能運動相比較，其真實運動應使“束縛”Z取最小值，即：

高斯將系統的拘束定義為：式中為系統中質點的質量，分別為作用在質點上的主動力和質點的加速度。在高斯原理中的可能運動是通過改變加速度a得到的，所以這種條件下的變分稱為高斯變分。在約束的定義中，項是質點實際加速度與物體處于自由狀態（無約束狀態）時的加速度之差，可認為是約束作用大小的度量，取其平方便可表征其模的大小。由此“約束”的物理意義可理解為是系統運動偏離自由運動的量度，而高斯最小約束原理說的則是物體的實際運動應是使約束對物體自由運動的影響降到最底的那種狀態。

在高斯最小束縛原理中，“約束”就可以理解為這個物理孤傲程中的“作用量”。最小作用量原理的應用——力學高斯最小束縛原理為了加深大家對此原理的感性認識，下面我們舉例說明。例應用高斯原理推倒蛋白的運動為分方程。

解：設擺長為L，質點的質量為m，質點的約束為：最小作用量原理的應用——力學最小作用量原理的應用——力學高斯最小束縛原理對Z取變分并令其為零：即為單擺的運動微分方程。哈密頓原理

在“歷史回顧”中已經介紹了哈密頓最小作用量原理，這里對它作進一步剖析。

哈密頓原理指出：具有理想和完整的質點系在有勢力作用下，在所有具有相同起始位置的可能運動歷經中，真實運動為哈密頓作用量取得駐值（廣義極值）的那個歷經，即真實運動對哈密頓作用量的變分等于零：

其中為拉格朗日函數,定義為：（T為系統動能，U為勢能）

若考慮一n各質點的系統，受到d個理想完整的約束，取k(=3n-d)維廣義坐標q1,q2,…,qk，則拉格朗日函數L可表示為的函數：哈密原理給出了從所有可能運動中找出真實運動的一個準則，在力學中普遍適用，故成為了力學的一個基本原理。為加深認識，下面舉例說明其用法。最小作用量原理的應用——力學最小作用量原理的應用——力學哈密頓原理

例

用哈密頓原理解出行星繞恒星運動微分方程。解設恒星質量為M，行星質量為m。行星動能：勢能：由于行星自己構成一個完整系統最小作用量原理的應用——力學哈密頓原理

而同理，，彼此獨立即為行星的運動微分方程。容易看出這樣算出來的結果就是行星在三個方向上的加速度。靜電場電荷分布靜電能取極小值

在此雖然我們不能作嚴格證明，但可以定性理解這個問題。假設我們已知某一電學系統靜電平衡時的電荷分布（分布在一定范圍內連續），則在這個平衡態附近的非平衡態必將自發的向這個平衡態進行靠攏，最終達到這個平衡態。在這一過程中，從宏觀上看電荷在電場作用下產生趨向運動從而產生電流，而平衡后電荷宏觀不再有趨向運動電流消失。無論從趨向運動角度還是電流的角度分析，系統均有能量的耗散。即從趨向運動的角度看，趨向運動的停止意味著因趨向運動而產生的平均動能消失；從電流角度看，系統在調整電荷分布的過程中必定會產生電流，而電流以產熱的形式耗散能量。可見系統平衡態的電場能小于在它附近非平衡態的電場能，即靜電平衡時靜電能取得極小值。

電荷離散分布的系統，與普通力學系統無異，可從勢能角度證明。由唯一性定理可知這個極值點是唯一的，所以并不用強調在平衡態附近。可見同是變分計算的重要定理的最小作用量原理和唯一性定理的密切聯系。

最小作用量原理的應用——電磁學最小作用量原理的應用——電磁學靜電場電荷分布靜電能取極小值例

設有n只電容器C1，C2，…，Cn組成串聯電路，利用靜電場電荷分布靜電能取極小值原理，證明電容分壓公式。

解設電路兩端電壓為U,對應于一種電壓分布有如下約束條件：電路儲存的能量：由于電容器充電完畢后電路中電場為靜電場，所以可以使用靜電場靜電能分布取極小值原理。取Lagrange函數：則有：可見這正是我們熟悉的電容串聯電路的基本特征。磁作用量

之前我們講的作用量原理都或多或少用到了勢能的概念，即都與機械能守恒有所聯系。而在磁場中帶電粒子不再有勢能之說，那么最小作用量原理還有用武之地嗎？答案是肯定的，麥克斯韋找到了這樣的作用量，并利用最小作用量原理得到了完整的電磁學定律。下面作一個初步的介紹。定義通過某已知開曲線L和線外任意一點o所構成曲面的磁通量為開曲線ABCD的通量ΦL。則磁場中帶電運動粒子的磁作用量可定義為：

作用量

其中ΦL為粒子運動經過某一開曲線通量顯然由于線外O點選擇的任意性使得ΦL也為一個不確定的值。但可以證明若粒子軌跡的端點一定，則無論O點如何選取，在所有可能的路徑中作用量最小的路徑是唯一的。即若多某個O點路徑L的變分為零，則選取其他的O點L的變分也必為零。而變分計算的結果正對應著粒子受到的洛侖茲力。磁場中作用量選取的成功說明了最小作用量原理比能量守恒具有更普遍的意義。最小作用量原理的應用——電磁學最小熵產生原理

最小熵產生原理是比利時科學家伊利亞.普里高津在1945年提出的，它成為熱學系統何時達到定常態的判據。定義在單位體積中、單位時間內的熵產生為熵的產生率σ。則最小熵產生原理告訴我們：在接近平和未能柜臺的情況下且σ〉0。而演化的終極