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文檔簡介
單位圓與三角函數線學習目標核心修養1.經過三角函數線觀點的學習,培育學生的數1.認識三角函數線的意義.(要點)學抽象和直觀想象核心修養..會用三角函數線表示一個角的正弦、2.借助三角函數線的應用,培育學生的邏輯推余弦和正切.(難點)理及直觀想象核心修養.1.單位圓一般地把半徑為1的圓叫做單位圓.角α的余弦和正弦分別等于角α終邊與單位圓交點的橫坐標和縱坐標.2.三角函數線思慮:三角函數線的方向是如何確立的?[提示]三角函數線的方向,即規定的有向線段的方向:凡三角函數線與x軸或y軸同向的相應三角函數值為正當,反向的為負值.1.如圖,在單位圓中角α的正弦線、正切線完整正確的選項是( )→→A.正弦線PM,正切線A′T′→→B.正弦線MP,正切線A′T′→→C.正弦線MP,正切線AT→→D.正弦線PM,正切線ATC[由三角函數線的定義知C正確.]π6π2.角5和角5有同樣的()A.正弦線B.余弦線C.正切線D.不可以確立π6π的終邊互為反向延伸線,故它們有同樣的正切線.]C[與555π3.角6的終邊與單位圓的交點的坐標是________.315π5π3-2,2[因為角6的終邊與單位圓的交點橫坐標是cos6=-2,縱坐標是sin5π16=2,5π31.]∴角6的終邊與單位圓的交點的坐標是-2,2三角函數線的觀點【例1】(1)設P點為角α的終邊與單位圓O的交點,且sinα=MP,cosα=OM,則以下命題建立的是( )A.總有MP+OM>1B.總有MP+OM=1C.存在角α,使MP+OM=1D.不存在角α,使MP+OM<04分別作出4π和-7π的正弦線、余弦線和正切線.(1)C[明顯,當角α的終邊不在第一象限時,+<1,+<0都有可能建立;MPOMMPOM當角α的終邊落在x軸或y軸正半軸時,MP+OM=1,應選C.]3(2)解:①在直角坐標系中作單位圓,如圖甲,以Ox軸為始邊作4π角,角的終邊與單位圓交于點,作⊥軸,垂足為,由單位PPMOxM圓與Ox軸正方向的交點A作Ox軸的垂線,與的反向延伸線交于TOP3333點,則sin4π=MP,cos4π=OM,tan4π=AT,即4π的正弦線為→→→MP,余弦線為OM,正切線為AT.4②同理可作出-7π的正弦線、余弦線和正切線,如圖乙.sin4117=MP,cos4117=OM,44→→→11,余弦線為11,正切線為1.tan-π=11,即-π的正弦線為17AT7MPOMAT1.作正弦線、余弦線時,第一找到角的終邊與單位圓的交點,而后過此交點作x軸的垂線,獲得垂足,從而獲得正弦線和余弦線.→2.作正切線時,應從A(1,0)點引單位圓的切線交角的終邊于一點T,即可獲得正切線AT,要特別注意,當角的終邊在第二或第三象限時,應將角的終邊反向延伸,再按上述作法來作正切線.1.以下四個命題中:α一準時,單位圓中的正弦線必定;②單位圓中,有同樣正弦線的角相等;③α和α+π有同樣的正切線;④擁有同樣正切線的兩個角終邊在同一條直線上.不正確命題的個數是( )A.0B.1C.2D.3C[由三角函數線的定義①④正確,②③不正確.②中有同樣正弦線的角可能不等,如5πππ6與6;③中當α=2時,α與α+π都沒有正切線.]利用單位圓解三角不等式【例2】在單位圓中畫出合適以下條件的角α終邊的范圍,并由此寫出角α的會合.(1)sin3α≥2;1(2)cosα≤-2.31[思路研究]作出知足sinα=2,cosα=-2的角的終邊,而后依據已知條件確立角α終邊的范圍.3[解]
(1)作直線
y=
2
,交單位圓于
A,B兩點,連結
OA,OB,則
OA與
OB圍成的區域(圖(1)中暗影部分)即為角α的終邊的范圍.故知足條件的角α的會合為π2πα2kπ+3≤α≤2kπ+3,k∈Z.1作直線x=-2,交單位圓于C,D兩點,連結OC與OD,則OC與OD圍成的地區(圖中的暗影部分)即為角α的終邊的范圍.故知足條件的角α的會合為2π4π.α2kπ+≤α≤2kπ+,k∈Z331.經過解答此題,我們能夠總結出用三角函數線來解基本的三角不等式的步驟:作出取等號的角的終邊;利用三角函數線的直觀性,在單位圓中確立知足不等式的角的范圍;將圖中的范圍用不等式表示出來.2.求與三角函數有關的定義域時,先轉變為三角不等式(組),而后借助三角函數線解此不等式(組)即可得函數的定義域.2.求y=lg(1-2cosx)的定義域.[解]如下圖,1-2cosx>0,2cosx<2,π7π∴2kπ+4<x<2kπ+4(k∈Z),∴函數定義域為2kπ+π,2kπ+7π(k∈Z).44三角函數線的綜合應用[研究問題]1.為何在三角函數線上,
點P的坐標為
(cos
α,sin
α),點
T的坐標為
(1,tan
α)呢?[提示]
由三角函數的定義可知
sin
yα=r,cos
xα=r,而在單位圓中,
r=1,因此單位圓上的點都是
(cos
α,sin
α);此外角的終邊與直線
x=1
的交點的橫坐標都是
1,因此依據
tan
yα=x,知縱坐標
y=tan
α,因此點
T的坐標為
(1,tan
α).2.如何利用三角函數線比較大小?[提示]
利用三角函數線比較三角函數值的大小時,一般分三步:
(1)角的地點要“對號入坐”;
(2)比較三角函數線的長度;
(3)確立有向線段的正負.π【例
3】
已知
α∈
0,2
,試比較
sin
α,α,tan
α的大小.[思路研究
]
此題能夠利用正弦線,所對的弧長及正切線來表示
sin
α,α,tan
α,并借助它們所在的扇形及三角形的面積大小來解決.[解]
如下圖,設角
α的終邊與單位圓交于點
P,單位圓交x軸正半軸于點A,作PM⊥x軸,PN⊥y軸,作AT⊥x軸,交α的終邊于點T,由三角函數線定義,得sinα=MP,tanα=AT,又α=AP的長,11S△AOP=2·OA·MP=2sinα,1S扇形AOP=·AP·OA21AP1,=·=22α1·1.△AOT=·=tanαS2OAAT2又∵S△AOP<S扇形AOP<S△AOT,sinα<α<tanα.1.此題的實質是數形聯合思想,即要求找到與所研究問題相應的幾何解說,再由圖形有關性質解決問題.2.三角函數線是單位圓中的有向線段,比較三角函數值大小時,一般把三角函數值轉化為單位圓中的某些線段,從而用幾何方法解決問題.3.利用三角函數線證明:|sinα|+|cosα|≥1.[證明]在△中,=1,=|cosα|,=|sinα|,因為三角形兩邊之和大OMPOPOMMP于第三邊,因此|sinα|+|cosα|>1.當點P在座標軸上時,|sinα|+|cosα|=1.綜上可知,|sinα|+|cosα|≥1.(教師用書獨具)1.應用三角函數線比較大小的策略①三角函數線是一個角的三角函數值的表現,從三角函數線的方向能夠看出三角函數值的正負,其長度是三角函數值的絕對值.②比較兩個三角函數值的大小,不單要看其長度,還要看其方向.2.利用三角函數線解三角不等式的方法①正弦、余弦型不等式的解法關于sinx≥b,cosx≥a(sinx≤b,cosx≤a),求解要點是合適地追求點,只要作直線y=b或x=a與單位圓訂交,連結原點與交點即得角的終邊所在的地點,此時再依據方向即可確立相應的范圍.②正切型不等式的解法關于tanx≥c,取點(1,c)連結該點和原點并反向延伸,即得角的終邊所在的地點,聯合圖象可確立相應的范圍.1.已知α(0<α<2π)的正弦線和余弦線長度相等,且符號同樣,那么α的值為( )3ππ5π7πA.4或4B.4或4π5ππ7πC.4或4D.4或4C[由題意α的終邊為一、三象限的均分線,且0<α<2π,故得α=π5π或.]4412.在[0,2π]上知足sinx≥的x的取值范圍是( )2ππ5πA.0,B.6,66C.π2πD.5π6,6,π31π5πB[畫出單位圓(圖略),聯合正弦線得出sinx≥2的取值范圍是6,.]63.用三角函數線比較sin1與cos1的大小,結果是_____
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