機器人學基礎(第2版)蔡自興主編中南大學2015機器人學基礎2第4章機器人動力學分析機器人操作的動態數學模型，主要采用下列兩種理論：動力學基本理論，包括牛頓—歐拉方程。拉格朗日力學，特別是二階拉格朗日方程。對于動力學，有兩個相反的問題：其一是已知機械手各關節的作用力或力矩，求各關節的位移、速度和加速度，求得運動軌跡。其二是已知機械手的運動軌跡，即各關節的位移、速度和加速度，求各關節所需要的驅動力或力矩。34.1剛體的動力學方程拉格朗日函數L被定義為系統的動能K和位能P之差，即:系統動力學方程式，即拉格朗日方程如下：式中，為表示動能和位能的坐標，為相應的速度，而為作用在第i個坐標上的力或是力矩。4.1.1剛體的動能與位能4圖4-1一般物體的動能與位能54.1.1剛體的動能與位能為廣義坐標其中，左式第一項為動能隨速度（或角速度）和時間的變化；第二項為動能隨位置（或角度）的變化；第三項為能耗隨速度變化；第四項為位能隨位置的變化。右式為實際外加力或力矩。表示為一般形式：64.1.1剛體的動能與位能均為廣義坐標，有下式：或用矩陣形式表示為：74.1.1剛體的動能與位能二連桿機械手的動能和位能

圖4-2二連桿機器手（1）4.1.1剛體的動能與位能二連桿機械手系統的總動能和總位能分別為：894.1.2動力學方程的兩種求法拉格朗日功能平衡法

二連桿機械手系統的拉格朗日函數L為：

求得力矩的動力學方程式：10拉格朗日功能平衡法比較可得本系統各系數如下：有效慣量耦合慣量向心加速度系數11拉格朗日功能平衡法哥氏加速度系數重力項12拉格朗日功能平衡法表4-1給出這些系數值及其與位置的關系。

表4-1負載地面空載09018027010-1064242101111164242323地面滿載09018027010-1018102108404444418102102626外空間負載09018027010-1040220222022001000100100100100100402202220221022102134.1.2動力學方程的兩種求法牛頓-歐拉動態平衡法二連桿系統的動力學方程的一般形式為：式中的W、K、D、P和qi等的含義與拉格朗日法一樣；i為連桿代號，n為連桿數目。 14牛頓-歐拉動態平衡法質量的位置矢量（見圖4-3）為：圖4-3二連桿機械15牛頓-歐拉動態平衡法可得:4.2機械手動力學方程分析由一組A變換描述的任何機械手，求出其動力學方程。推導過程分五步進行：計算任一連桿上任一點的速度；計算各連桿的動能和機械手的總動能；計算各連桿的位能和機械手的總位能；建立機械手系統的拉格朗日函數；對拉格朗日函數求導，以得到動力學方程式。16圖4-4四連桿機械手174.2.1 速度的計算連桿3上點P的速度為：對于連桿i上任一點的速度為：184.2.1 速度的計算P點的加速度為：194.2.1 速度的計算速度的平方式中，Trace表示矩陣的跡。對于n階方程來說，其跡即為它的主對角線上各元素之和。204.2.1 速度的計算任一機械手上一點的速度平方為：214.2.2動能和位能的計算動能的計算令連桿3上任一質點P的質量為dm，則其動能為：22動能的計算任一機械手連桿i上位置矢量的質點，其動能為：連桿3的動能為：23動能的計算任何機械手上任一連桿i動能為：式中，為偽慣量矩陣。具有n個連桿的機械手總的功能為：24動能的計算連桿的傳動裝置動能為：所有關節的傳動裝置總動能為：機械手系統（包括傳動裝置）的總動能為：254.2.2動能和位能的計算位能的計算 一個在高度h處質量m為的物體，其位能為： 連桿i上位置處的質點dm，其位能為： 式中，位能的計算連桿上位置處的質點dm，其位能為：機械手系統的總位能為：26274.2.3動力學方程的推導據式(4.1)求拉格朗日函數

284.2.3動力學方程的推導再據式(4.2)求動力學方程，先求導數294.2.3動力學方程的推導據式(4.18)知，為對稱矩陣，即，所以下式成立：4.2.3動力學方程的推導30314.2.3動力學方程的推導324.2.3動力學方程的推導具有n個連桿的機械手系統動力學方程如下：334.3本章小結研究剛體動力