學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精2020-2021學年新教材人教A版數學必修第二冊教師用書：第10章10.110.1.2事件的關系和運算含解析10。學習目標核心素養1。了解隨機事件的并、交與互斥的含義．（重點）2．能結合實例進行隨機事件的并、交運算．(重點、難點)1.通過對隨機事件的并、交與互斥的含義的學習，培養數學抽象素養．2．通過隨機事件的并、交運算,培養數學運算素養。在擲骰子試驗中，定義如下事件：C1＝{出現1點}；C2＝{出現2點}；C3＝｛出現3點｝；C4＝{出現4點}；C5＝{出現5點}；C6＝{出現6點}；D1＝｛出現的點數不大于1}；D2＝｛出現的點數不大于3｝；D3＝{出現的點數不大于5｝;E＝｛出現的點數小于5｝,F＝｛出現的點數大于4｝,G＝｛出現的點數為偶數），H＝｛出現的點數為奇數}．問題：在上述事件中，（1）事件C1與事件C2的并事件是什么?(2）事件D2與事件G及事件C2間有什么關系？（3)事件C1與事件C2間有什么關系？(4)事件E與事件F間有什么關系？1．包含關系定義一般地,若事件A發生，則事件B一定發生，我們就稱事件B包含事件A（或事件A包含于事件B）含義A發生導致B發生符號表示B?A(或A?B)圖形表示特殊情形如果事件B包含事件A,事件A也包含事件B，即B?A且A?B,則稱事件A與事件B相等，記作A＝B2。并事件(和事件）定義一般地，事件A與事件B至少有一個發生，這樣的一個事件中的樣本點或者在事件A中，或者在事件B中,我們稱這個事件為事件A與事件B的并事件（或和事件)含義A與B至少一個發生符號表示A∪B（或A＋B）圖形表示3。交事件(積事件)定義一般地，事件A與事件B同時發生，這樣的一個事件中的樣本點既在事件A中，也在事件B中，我們稱這樣的一個事件為事件A與事件B的交事件(或積事件）含義A與B同時發生符號表示A∩B（或AB)圖形表示4.互斥(互不相容)定義一般地，如果事件A與事件B不能同時發生，也就是說A∩B是一個不可能事件，即A∩B＝?，則稱事件A與事件B互斥(或互不相容)含義A與B不能同時發生符號表示A∩B＝?圖形表示5.互為對立定義一般地，如果事件A與事件B在任何一次試驗中有且僅有一個發生,即A∪B＝Ω，且A∩B＝?，那么稱事件A與事件B互為對立．事件A的對立事件記為eq\o(A，\s\up7(－)）含義A與B有且僅有一個發生符號表示A∩B＝?，A∪B＝Ω圖形表示思考1：一粒骰子擲一次,記事件A＝｛出現的點數為2}，事件C＝｛出現的點數為偶數｝,事件D＝｛出現的點數小于3｝，則事件A，C，D有什么關系？［提示］A＝C∩D．思考2:命題“事件A與B為互斥事件”與命題“事件A與B為對立事件”什么關系?（指充分性與必要性)[提示]根據互斥事件和對立事件的概念可知，“事件A與B為互斥事件”是“事件A與B為對立事件”的必要不充分條件．1．思考辨析（正確的畫“√”,錯誤的畫“×"）（1）若兩個事件是互斥事件,則這兩個事件是對立事件． (）（2）若事件A和B是互斥事件，則A∩B是不可能事件． (）(3)事件A∪B是必然事件,則事件A和B是對立事件． （)［提示](1）錯誤．對立事件是互斥事件，但互斥事件不一定是對立事件．（2)正確．因為事件A和B是互斥事件,所以A∩B為空集，所以A∩B是不可能事件．(3）錯誤．反例:拋擲一枚骰子，事件A為：向上的點數小于5，事件B為：向上的點數大于2,則事件A∪B是必然事件，但事件A和B不是對立事件．［答案］(1）×(2)√(3)×2．許洋說:“本周我至少做完3套練習題．”設許洋所說的事件為A,則A的對立事件為（）A．至多做完3套練習題B．至多做完2套練習題C．至多做完4套練習題D．至少做完3套練習題B[至少做完3套練習題包含做完3,4，5,6…套練習題，故它的對立事件為做完0,1,2套練習題，即至多做完2套練習題．］3．從裝有兩個紅球和兩個黑球的口袋內任取兩個球,那么互斥而不對立的兩個事件是（）A．“至少有一個黑球"與“都是黑球”B．“至少有一個黑球”與“至少有一個紅球”C．“恰有一個黑球”與“恰有兩個黑球"D．“至少有一個黑球”與“都是紅球”C[A中的兩個事件能同時發生，故不互斥；同樣,B中兩個事件也可同時發生，故不互斥；D中兩個事件是對立的，故選C．］4．拋擲一枚骰子,“向上的點數是1或2”為事件A，“向上的點數是2或3”為事件B，則（)A．A?BB．A＝BC．A∪B表示向上的點數是1或2或3D．A∩B表示向上的點數是1或2或3C[設A＝｛1，2｝，B＝｛2，3}，A∩B＝{2},A∪B＝｛1,2,3}，∴A∪B表示向上的點數為1或2或3.］事件關系的判斷【例1】從一堆產品（其中正品與次品都多于2件）中任取2件，觀察正品件數與次品件數，判斷下列每對事件是不是互斥事件，如果是,再判斷它們是不是對立事件．①“恰好有1件次品”和“恰好有2件次品”；②“至少有1件次品”和“全是次品”;③“至少有1件正品”和“至少有1件次品”．[解]依據互斥事件的定義,即事件A與事件B在一次試驗中不會同時發生可知：①中恰好有1件次品和恰好有2件次品不可能同時發生，因此它們是互斥事件，又因為它們的和事件不是必然事件,所以它們不是對立事件；同理可以判斷:②中的2個事件不是互斥事件，從而也不是對立事件;③中的2個事件不是互斥事件，從而也不是對立事件．判斷事件間關系的方法1要考慮試驗的前提條件,無論是包含、相等,還是互斥、對立，其發生的條件都是一樣的。2考慮事件間的結果是否有交事件，可考慮利用Venn圖分析，對較難判斷關系的，也可列出全部結果，再進行分析。eq\o（［跟進訓練])從裝有2個紅球和2個白球（球除顏色外其他均相同)的口袋中任取2個球，用集合的形式分別寫出下列事件,并判斷每對事件的關系:(1)至少有1個白球，都是白球;(2）至少有1個白球，至少有1個紅球；（3）至少有1個白球,都是紅球．［解]給兩個紅球編號為1，2，給兩個白球編號為3，4，從口袋中任取兩個球,用(x,y）表示取出的兩個球，則試驗的樣本空間為Ω＝｛（1,2），(1,3),(1,4），（2,3),（2，4），（3，4)},設A＝“至少有1個白球”,則A＝{(1,3），（1,4)，(2,3),(2，4），(3，4)}．(1)設B＝“都是白球"，B＝{(3,4）}，所以B?A．即A和B不是互斥事件．（2）設C＝“至少有一個紅球”,則C＝{（1，2)，(1，3),（1,4)，(2，3)，（2,4）},因為A∩C＝｛(1，3），(1，4），（2，3）,（2,4）｝，所以A和C不互斥．（3）設D＝“都是紅球”，則D＝｛(1，2)｝，因為A∪D＝Ω，A∩D＝?,所以A和D為對立事件．事件的運算[探究問題]1．事件A與事件B的并事件（或和事件）的樣本點是如何構成的？［提示]事件A與事件B的并事件(或和事件）的樣本點是由在事件A中，或者在事件B中的樣本點構成的．2．事件A與事件B的交事件(或積事件)的樣本點是如何構成的？[提示]事件A與事件B的交事件(或積事件）的樣本點是由既在事件A中,也在事件B中的樣本點構成的．3．“事件B包含事件A”“事件A與事件B的并事件”“事件A與事件B的交事件”分別對應集合中的哪些關系或運算？[提示］“事件B包含事件A”對應于集合A是集合B的子集；“事件A與事件B的并事件”對應集合A和集合B的并集，“事件A與事件B的交事件”對應集合A與集合B的交集．【例2】在投擲骰子試驗中，根據向上的點數可以定義許多事件,如：A＝{出現1點}，B＝｛出現3點或4點}，C＝{出現的點數是奇數}，D＝{出現的點數是偶數}．(1）說明以上4個事件的關系；（2）求A∩B，A∪B，A∪D，B∩D，B∪C．[思路探究］(1)eq\x（分析事件所包含的樣本點）→eq\x(判斷事件間的關系)(2）eq\x（樣本點表示各事件）→eq\x（進行事件的運算)[解］在投擲骰子的試驗中，根據向上出現的點數有6種基本事件，記作Ai＝{出現的點數為i｝（其中i＝1，2,…，6)．則A＝A1，B＝A3∪A4，C＝A1∪A3∪A5，D＝A2∪A4∪A6。(1）事件A與事件B互斥，但不對立，事件A包含于事件C;事件A與D互斥，但不對立;事件B與C不是互斥事件，事件B與D也不是互斥事件；事件C與D是互斥事件，也是對立事件．（2）A∩B＝?,A∪B＝A1∪A3∪A4＝{出現點數1,3或4｝，A∪D＝A1∪A2∪A4∪A6＝｛出現點數1,2，4或6｝．B∩D＝A4＝｛出現點數4}．B∪C＝A1∪A3∪A4∪A5＝{出現點數1,3,4或5}．1．在例2的條件下，求A∩C，A∪C，B∩C．[解]A∩C＝A＝{出現1點},A∪C＝C＝{出現點數1,3或5｝，B∩C＝A3＝{出現點數3}．2．用事件Ai＝{出現的點數為i}（其中i＝1，2，…,6)表示下列事件：①B∪D;②C∪D．[解]B∪D＝{出現點數2，3，4或6｝＝A2∪A3∪A4∪A6.C∪D＝{出現點數1，2，3，4，5,6｝＝A1∪A2∪A3∪A4∪A5∪A6。事件間的運算方法（1）利用事件間運算的定義．列出同一條件下的試驗所有可能出現的結果,分析并利用這些結果進行事件間的運算．(2)利用Venn圖．借助集合間運算的思想,分析同一條件下的試驗所有可能出現的結果，把這些結果在圖中列出,進行運算．一、知識必備互斥事件和對立事件都是針對兩個事件而言的,它們之間既有區別，又有聯系．在一次試驗中，兩個互斥事件有可能都不發生，也可能只有一個發生，但不可能兩個都發生;而對立事件必有一個發生,但是不可能兩個事件同時發生,也不可能都不發生．所以兩個事件互斥,它們未必對立；但兩個事件對立,它們一定互斥．二、方法必備進行事件間關系的判斷或運算，可借助于圖形．1．從1,2，…，9中任取兩數，其中：①恰有一個偶數和恰有一個奇數；②至少有一個奇數和兩個數都是奇數;③至少有一個奇數和兩個數都是偶數;④至少有一個奇數和至少有一個偶數．在上述各對事件中，是對立事件的是（)A．① B．②④C．③ D．①③C［從1，2，…，9中任取兩數，包括一奇一偶、兩奇、兩偶，共三種互斥事件，所以只有③中的兩個事件才是對立事件．］2．把紅、藍、黑、白4張紙牌隨機地分給甲、乙、丙、丁4個人，每人分得1張,事件“甲分得紅牌”與事件“乙分得紅牌”是()A．對立事件 B．互斥但不對立事件C．不可能事件 D．以上說法都不對B[因為只有1張紅牌，所以這兩個事件不可能同時發生，所以它們是互斥事件;但這兩個事件加起來并不是總體事件，所以它們不是對立事件．]3．袋中裝有9個白球，2個紅球，從中任取3個球，則：①恰有1個紅球和全是白球;②至少有1個紅球和全是白球；③至少有1個紅球和至少有2個白球；④至少有1個白球和至少有1個紅球．在上述事件中,是對立事件的為________．②[①是互斥不對立的事件，②是對立事件，③④不是互斥事件．］4．盒子里有6個紅球，4個白球，現從中任取3個球，設事件A＝{3個球中有1個紅球，2個白球}，事件B＝{3個球中有2個紅球，1個白球｝，事件C＝{3個球中至少有1