圖圖22022年春蘇科版九年級數學中考復習《幾何變換綜合解答題》專題提升訓練(附答案)閱讀下列材料，解答問題：定義：線段BM把等腰△ABC分成AABM與ABCM(如圖1),如果AABM與ABCM均為等腰三角形，那么線段BM叫做△ABC的完美分割線.如圖1,已知AABC中，AB=AC,ZBAC=36°,BM為MBC的完美分割線，且CMVAM，則ZC=°，ZAMB=°；如圖2,已知△ABC中，AB=AC，ZBAC=108°，AC=CN，求證：AN為AABC的完美分割線；如圖3,已知△ABC是一等腰三角形紙片，AB=AC，AN是它的一條完美分割線，且BN>NC,將AACN沿直線AN折疊后，點C落在點C1處，AC1交BN于點M.求證:BM=C1N.如圖，△ADC和ABDE均為等腰三角形，/CAD=/DBE,AC=AD,BD=BE,連接CE,點F為CE的中點.如圖1,A,D,B在同一直線上,ZCAD=ZDBE=90°,AC=AD=1,BD=BE=2,求DF的長度；如圖2,A、D、F在同一直線上，G為AF延長線上一點(AFVFG),且GE=AC,連接AB,求證：ZAGE=2ZBAD；如圖3,在(1)問的條件下，將A4DC繞著點D逆時針旋轉，連接BF,將△BDF沿著BD翻折得ABDH,連接EH,當CF最大時，直接寫出此時點B到直線EH的距離.圖1

圖1(1)如圖1,在RtAABC中，AB=AC,D是直線BC上的一點，將線段AD繞點A逆時針旋轉90°至AE,連接CE,求證：△ABD^^ACE；如圖2,A是ABDC內一點，ZABC=ZADB=45°,ZBAC=90°,BD=6，線段AD繞點A逆時針旋轉90°至AE,點D、E、B恰好共線，求△BDC的面積；如圖3,在圖1的條件下，延長DE,AC交于點G,BF丄AB交DE于點F,求證:FG=一2AE.圖1閤2圖1閤2問題：如圖1,在等邊三角形ABC內，點P到頂點A、B、C的距離分別是3,4,5,求ZAPB的度數？探究：由于PA、PB、PC不在同一個三角形中，為了解決本題，我們可以將AABP繞點A逆時針旋轉60°到△ACP'處，連結PP',這樣就將三條線段轉化到一個三角形中，從而利用全等的知識，求出ZAPB的度數.請你寫出解答過程：應用：請你利用上面的方法解答：如圖2,AABC中，ZCAB=90°,AB=AC,E、F為BC上的點，且ZEAF=45°，求證：BE2+FC2=EF2.

已知：如圖，在等邊△ABC中，點O是BC的中點,ZDOE=120°,ZDOE繞著點O旋轉，角的兩邊與AB相交于點D,與AC相交于點E.若OD，OE都在BC的上方，如圖1,求證：OD=OE.在圖1中，BD，CE與BC的數量關系是.若點D在AB的延長線上，點E在線段AC上，如圖2,直接寫出BD，CE與BC的數量關系是.在△ABC中，ZACB=90°,AC=4,BC=3.如圖1,D為線段BC上一點，點C關于AD的對稱點C恰好落在AB邊上，求CD的長；如圖2,E為線段AB上一點，沿CE翻折ACBE得到△CEB',若EB‘〃AC,求證：AE=AC；如圖3,D為線段BC上一點，點C關于AD的對稱為點C,是否存在異于圖1的情況的C、B、D為頂點的三角形為直角三角形，若存在，請直接寫出BC長；若不存在，請說明理由.圍12圍12圖圖1@2@2圖3在△ABC中，AB=AC,D,E分別是邊BC上的兩點，AD=AE,點E關于直線AC的對稱點是點M,連接AM,DM.如圖1,當ZBAC=60。時；依題意補全圖形；若ZBAD=a,則ZAEB=；(用含a的式子表示)求證：DA=DM.如圖2,當ZBAC=90。時，寫出AD,BD與CD的關系，并證明.在銳角△ABC中，ZB=45°,ZC=60°,AD丄BC于點D.如圖1,過點B作BG丄AC于點G,求證：AC=BF；動點P從點D出發，沿射線DB運動，連接AP,過點A作AQ丄AP,且滿足AP=AQ.如圖2,當點P在線段BD上時，連接PQ分別交AD、AC于點M、N請問是否存在某一時刻使得AAPM和△AQN成軸對稱，若有，求此刻ZAPD的大小；若沒有，請說明理由.如圖3,連接BQ,交直線AD于點F,當點P在線段BD上時，試猜想BP和DF的數PR量關系并證明；當點P在DB的延長線上時，若2AD=7FD，請直接寫出字的值.

已知AADE和△ABC都是等腰直角三角形，ZADE=ZBAC=90°,P為AE的中點,連接DP.如圖1,點A,B,D在同一條直線上，直接寫出DP與AE的位置關系；將圖1中的AADE繞點A逆時針旋轉，當AD落在圖2所示的位置時，點C，D,P恰好在同一條直線上.在圖2中，按要求補全圖形，并證明ZBAE=ZACP；連接BD,交AE于點F.判斷線段BF與DF的數量關系，并證明.如圖1,已知AABC是等腰直角三角形，ZBAC=90°,AB=AC,點D是BC的中點.作等腰直角AEDF,使DE=DF,ZEDF=90°,點A、C分別在邊DF和DE上,連接AE,BF.試猜想線段AE和BF的數量關系，位置關系是;將ADEF繞點D逆時針方向旋轉a(0°VaW360°),判斷(1)中的結論是否仍然成立？請利用圖2證明你的結論；若BC=DE=4,當AE取最大值時，連接AF,直接寫出tanZFAC的值.已知，△ABC是等邊三角形.圖①圖②圖③［性質探究］如圖①，點P在AABC內，將△APC繞著點A順時針旋轉，使點C旋轉到點B處，得到AADB,連接DP.求證：△ADP是等邊三角形.［理解運用］如圖②，點p在△ABC內，若ZAPC=150°，PA=1，PC=2,求PB的長度.［類比拓展］如圖③，點P在△ABC夕卜，若P4=1，PB=：M，PC=l2,求ZAPC的度數.直角三角形有一個非常重要的性質：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，比如:如圖1所示，RtAABC中，ZC=90°,D為斜邊AB中點，則CD=AD=BD=*AB.請你利用該定理和以前學過的知識解決下列問題：如圖2所示，在△ABC中，點P為BC邊中點，直線a繞頂點A旋轉，若B、P在直線a的異側，BM丄直線a于點M，CN丄直線a于點N,連接PM、PN；求證：PM=PN；若直線a繞點A旋轉到圖3所示的位置時，點B、P在直線a的同側，其它條件不變，此時PM=PN還成立嗎？若成立，請給予證明：若不成立，請說明理由；如圖4所示，ZBAC=90°,a旋轉到與BC垂直的位置，E為BC上一點且AE=AC,EN丄a于N,連接EC,取EC中點P,連接PM,PN,求證：PM丄PN.

在RtAABC中，ZBAC=90°,AB=AC，動點D在直線BC上（不與點B,C重合），連接AD,把AD繞點A逆時針旋轉90°得到AE,連接DE,F,G分別是DE,CD的中點，連接FG.【特例感知】（1）如圖1,當點D是BC的中點時，FG與BD的數量關系是,FG與直線BC的位置關系是；【猜想論證】（2）當點D在線段BC上且不是BC的中點時，（1）中的結論是否仍然成立？請在圖2中補全圖形；若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由.【拓展應用】（3）若AB=AC=,2,其他條件不變，連接BF、CF.當AACF是等邊三角形時，請直接寫出ABOF的面積.團102備用圖如圖，已知Rt^ABC中，ZABC=90°,BC=4,BA=8,點D、E分別為BC、BA的中點，現將ADBE繞點B逆時針旋轉一周.在旋轉的過程中，作直線AE、CD,設它們的交點為點P.（1）猜想：在旋轉的過程中，線段AE、CD有怎樣的數量和位置關系？答：（2）利用圖2,證明你在（1）中的猜想.（3）當點D恰好落在直線AE上時，求線段PC的長.（4）在旋轉過程中，直接寫出△PBC面積的最大值.圖2冷用圖I備用圖2圖2冷用圖I備用圖2如圖1.△ABC為等邊三角形，D為AC右側一點，且AC=AD,連接BD交AC于點E,延長DA、CB交于點F.若ZBAF=30°,AF=2lg,求AD；證明：CF=AF+AE；如圖2.若AB=4,G為BC中點，連接AG,M為AG上一動點，連接CM,將CM繞著M點逆時針旋轉90°得到MN,連接AN、CN,當AN最小時，直接寫出ACMN的面積.圖1圖1類比、轉化、從特殊到一般等思想方法，在數學學習和研究中經常用到.小明在數學學習中遇到了這樣一個問題：“如圖1,RtAABC中，ZACB=90°,ZCAB=a,點P在AB邊上，過點P作PQLAC于點Q,△APQ繞點A逆時針方向旋轉，如圖2,連接CQ.O為BC邊的中點，連接PO并延長到點M,使OM=OP，連接CM.探究在△APQ的旋轉過程中，線段CM,CQ之間的數量關系和位置關系”小明計劃采用從特殊到一般的方法探究這個問題.特例探究:填空：如圖3,當a=30。時，晏=，直線CQ與CM所夾銳角的度數為.如圖4,當a=45°時，卑=，直線CQ與CM所夾銳角的度數為L-JIL一般結論:將AAPQ繞點A逆時針方向旋轉的過程中，線段CQ,CM之間的數量關系如何(用含a的式子表示)？直線CQ與CM所夾銳角的度數是多少？請僅就圖2所示情況說明理由；問題解決如圖4,在Rt^ABC中，若AB=4,a=45°,AP=3，將△APQ由初始位置繞點A逆時針方向旋轉B角(0°<B<180°),當點Q到直線AC的距離為2時，請直接寫

出線段CM的值.圖2出線段CM的值.圖2如圖，在△ABC中，AC=BC=12,ZACB=120°，點D是AB邊上一點，連接CD,以CD為邊作等邊ACDE.如圖1,若ZCDB=45°，求等邊ACDE的邊長；如圖2,點D在AB邊上移動過程中，連接BE,取BE的中點F,連接CF、DF,過點D作DG丄AC于點G.求證：CF丄DF；如圖3,將ACFD沿CF翻折得△CFD,連接BD,求出BD'的最小值.(一)發現探究在△ABC中AB=AC,點P在平面內，連接AP并將線段AP繞點A順時針方向旋轉與ZBAC相等的角度，得到線段AQ,連接BQ.【發現問題】如圖1,如果點P是BC邊上任意一點，則線段BQ和線段PC的數量關系是;【探究猜想】如圖2,如果點P為平面內任意一點.前面發現的結論是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由.請僅以圖2所示的位置關系加以證明(或說明)；

(二)拓展應用【拓展應用】如圖3,在△ABC中，AC=2,ZACB=90°,ZABC=30°,P是線段BC上的任意一點連接AP,將線段AP繞點A順時針方向旋轉60°,得到線段AQ,連接CQ,請直接寫出線段CQ長度的最小值.團2團2在△ABC中，ZABC=90°,AB=BC，以點A為旋轉中心，將邊AC逆時針旋轉一定角度，得到線段AD,使BD〃AC,AD交BC于點G,過點C作CE丄AD交AD于點F.若AB=3,求BD的長；求證：AG=CF+^3DF；點M是AC邊上一動點，在線段BM上存在一點N使NB+NA+NC的值最小時，NB的長為m,請直接用含m的式子表示NB+NA+NC的最小值.31團2如圖1,在AABC中，ZB=90°.將AABC繞點B逆時針旋轉90°后得到AA'BC,則線段AA'與CC的位置關系是.如圖2,線段AB繞點B旋轉，點A的對應點D恰好落在邊AC上,線段BC繞點B旋轉，點C的對應點E恰好落在邊AC的垂線上，求/DBE的度數.拓展：如圖3,在AABC中，AC=BC,ZC=90°，點P為線段AC延長線上一點，過點A作AD丄BP于點D,DA的延長線交直線BC于點Q.是否存在點P使得AQ=2BD?

若存在，求ZPBA的值；若不存在，說明理由.參考答案(1)解：?.?AB=AC,ZBAC=36°,???ZC=(180°-ZBAC)三2=144°三2=72°,TBM為“ABC的完美分割線，且CMVAM,ZABM=ZBAC=36°,ZAMB=180°-ZBAC-ZABM=180°-36°-36°=108故答案為：72,108；證明：?.?AB=AC,ZBAC=108°,???上滬/匚二+門別'-ZBAC)=364,VAC=CN,-ZC)=724,ZBAN=ZBAC-ZNAC=108°-72°=36°,ZBAN=ZB,NA=NB,:?△abn、hacn均為等腰三角形，?AN為△ABC的完美分割線；證明：TAN是AABC的一條完美分割線，?AN=CN,AB=BN,ZC=ZCAN,ZBAN=ZBNA,:./BNA=ZC+ZCAN=2ZCAN,ZBAN=2ZCAN,TZCAN=ZC1AN,ZBAN=2ZC1AN,TZBAN=ZC1AN+ZBAM,ZC1AN=ZBAM,TAC=AB,ZC=ZB,TZC=ZC1,AZC1=ZB,VAC=AC1,:.AC1=AB,?\^AC1N^^ABM(ASA),:?NC\=BM.(1)解：如圖1中，D呂圖】?:ZCAD=ZDBE=90°,AC=AD=1,BD=BE=2,：?ZADC=ZBDE=45°,CD-I2AC=T2,DEh2BD=2；2,???/CDE=180°-/ADC-/BDE=90°,???EC-HdJde'-,-(2)—(2遼嚴-T1°，?:CF-EF,???DF=丄EC-22連接連接BH,BG.：AC〃EH,?ZACF-ZFEH,:/AFC-/EFH,FC-FE,.?.△AFC^AHFE(ASA),?AC=EH,ZCAF=ZFHE,VEG=AC,:.EH=EG,；./EGH=/EHG,?.?/EHG+/FHE=180°,/FHE/CAD=/DBE,：?ZEGH+ZDBE=180°,:.ZBDH+ZBEG=180°,VZADB+ZBDH=180°,:ZADB=ZGEB,:DA=AC=EG,DB=EB,:.△ADB^^GEB(SAS),:BA=BG,:.ZBAG=ZBGA,:.△DAB^^HGB(SAS),：BD=BH=BE,?:BG=BG,GH=GE,:△GBHS^GBE(SSS),:/BGE=/BGH,:?ZAGE=2ZBAD；解：如圖3中，當點F落在DE上時，CF的值最大.過點B作BJ丄EH于點J,連接FH交DB于點O.:cd=：2,de=2：2,:.CE=3：2,?:CF=EF=1,2?:ZBDE=ZBDH=45°,:./EDH=90°,?????EH=.;dh2+de2?：DF=DH,ZFDH=90°,.??FH='-''2DH=1,:DO丄FH,:.OF=OH=±2?，S四邊形EDHB=S^BDE+S^BDH=S△EDH+S△BEH,???點B到直線EH的距離為區.(1)證明：如圖1,:ZBAC=ZDAE=90°,ZDAB=ZEAC,在AABD和AACE中，rAD=AE“ZDAB^ZEAC,:AB=ACAABD^AACE(SAS).(2)解：如圖2,過點A作AE丄AD交BD于E,連接CE.VZADB=45°,ZDAE=90°,???△ADE與AABC都是等腰直角三角形,同法可證△ABD9\ACE,:.CE=BD=6,VZAEC=ZADB=45°,?ZCED=ZCEB=90°,?:S&DF*?BD?CE=*X6X6=18.ZBDK=ZABK=90°,VAB=AC,ZBAC=90°,ZABC=ZACB=45°,ZDBK=ZK=45°,：.DK=DB,'：\ABD9\ACE,ZABD=ZACE=135°,DB=EC=DK,.??ZECG=45°,?:BF丄AB,CA丄AB,?AG//BF,:.ZG=ZDFK,在AECG和ADKr中，'ZECG=ZK“ZG^ZDFK,,CE=KD:.△ECG95DKF(AAS),:?DF=EG,?:DEF1AE,.??DF+EF=l'2AE,:.EG+EF=T2AE,即FG=V2AE.探究：解：將AABP繞頂點A旋轉到△ACP'處，:.△BAP^^CAP',:.AB=AC,AP=AP',/BAP=/CAP',.ZBAC=ZPAP'=60°,:.△APP'是等邊三角形，???ZAPP'=60°,因為BPP'不一定在一條直線上，.P'C=PB=4,PP'=PA=3,P'C=PC=5,:,ZPP'C=90°,.△PP'C是直角三角形，.ZAPB=ZAP'C=ZAPP'+ZP'PC=60°+90°=150°,:.ZBPA=150°；應用：證明：把AACF繞點A順時針旋轉90°，得到△ABG.連接EG.則△ACF^^ABG.：?AG=AF,BG=CF,ZABG=ZACF=45°.VZBAC=90°,ZGAF=90°.:.ZGAE=ZEAF=45°,在AAEG和△AFE中，rAG=AFJZGAE^ZFAE,:AE=AE:.△AEG^^AFE(SAS).:?EF=EG,又VZGBE=90°,：?BE2+BG2=EG2,即BE2+CF2=EF2.???△ABC是等邊三角形，：?AB=BC,ZABC=ZACB=60°,??點O與點F分別是BC與AB的中點，：BF=BO=OC,:△BOF是等邊三角形，：.OF=OB=OC,ZOFD=ZOCE=ZBOF=60°,:.ZCOF=120°=ZDOE,:.ZDOF=ZEOC,??在△DOF和AEOC中，rZ0FD=Z0CE:Zdof-=Zeoc.?.△DOF^AEOC(ASA),：?OD=OE；(2)解：結論：2(CE+BD)=BC.理由：?△DOF^AEOC,：?DF=EC,：?BD+EC=BD+DF=BF,?.?△bof是等邊三角形，：.OB=BF,?BC=20B,：?2(CE+BD)=BC.故答案為：2(CE+BD)=BC；(3)解：結論：2(CE-BD)=BC.同法可證ABOF是等邊三角形，△DOF^^EOC,:.DF=CE,:.EC-BD=DF-BD=BF=OB,VBC=2OB,：.2(CE-BD)=BC.解：(1)在Rt^ABC中，由勾股定理得AB=5,??點C關于AD的對稱點C恰好落在AB邊上，:.AC'=AC=4,：?BC'=1,在RtABC'D中，由勾股定理得，(3-CD)2=12+cd2,4解得：CD=于(2)證明：??沿CE翻折ACBE得到△CEB',：?ZB'=ZB,ZB'CE=ZBCE,TEB‘〃AC,.??ZB'=ZB'CA=ZB,.?.ZAEC=ZB+ZBCE,ZACE=ZB，CA+ZB，CE,:.ZAEC=ZACE,:.AE=AC；（3）存在，BC=4-<7,?.?ZADC>45°,：?/BDC不可能為90°,當BC丄BC時，過點A作AE丄AC,交BC'延長線于點E,?：ZC=ZCBD=90°=ZE,???四邊形ACBE為矩形，設BC'為x,則C'E=4-x,???△ACD翻折后得到△AC'D,.??AC'=AC=4,TAE=BC=3,在RtAAC'E中，由勾股定理得，?.（4-x）2+32=42,解得：x=4±I7,Vx<4,?.x=4-I7,即BC長為4-I訐.解：（1）①如圖1,②TAD=AE,?.ZAEB=ZADE,VZADE=ZB+ZBAD=60°+a,.*.ZAEB=60°+a.故答案為：60°+aTE,M關于AC對稱，:.ZCAE=ZCAM,VZAEB=ZC+ZCAE=60°+ZCAE,:.ZCAE=ZBAD,:.ZBAD=ZCAM,:.ZDAM=ZBAC=60°,TDA=AE=AM,:.△ADM是等邊三角形，:.DA=DM.(2)線段DC,EC,AM之間的數量關系：DC2+BD2=2AD2.理由：如圖2,連接CM,VAB=AC,ZBAC=90°,：?ZACB=45°,TE,M關于AC對稱,:.ZACM=ZACB=45°,:.ZDCM=90°,:.DC2+MC2=DM2,同法可證,ZBAD=ZCAE=ZCAM,:.ZBAC=ZDAM=90°,:△ADM是等腰直角三角形，:.AD=AM,:.DM2=AD2+AM2=2AD2,:.DC2+CM2=2AD2,同(1)的方法得，△ABDs^ACM(SAS),:.BD=CM,:.DC2+BD2=2AD2.■W￡丿圖/cbd區rc(1)證明：TAD丄BC,:.ZADB=ZADC=90°,VZB=45°,???△ABD是等腰直角三角形,；?AD=BD,TBG丄AC,.\ZBGC=90°,VZC=60°,.??ZDAC=90°-ZC=90°-60°=30°,ZFBD=90°-ZC=90°-60°=30°,:./DAC=/FBD,在ABDF和AADC中，rZFBD=ZDAC“ZBDF^ZABC,iBD=AD???△BDF今AADC(AAS),?AC=BF；(2)①存在某一時刻使得AAPM和△AQN成軸對稱，TAQ丄AP,?ZQAP=90°,由(1)的證明可知ZDAC=30°,根據對稱的性質，得：ZPAD=ZQAC=ZQAP-ZCAD_90c-30°2=2疲，TZADP=90°,.??ZAPD=90°-ZPAD=90°-30°=60°；②BP=2DF，理由如下：過點Q作QE丄AD,交AD于E,則ZAEQ=ZFEQ=90°,BPFtC:.ZAQE+ZQAE=90°,VZP4D+ZQAE=90°,:.ZAQE=ZFAD,在AAPD和AQAE中，rZAQE=ZPAD<ZAEQ^ZPDA,:AQ=AP:.△APD^^QAE(AAS),:.AE=PD,AD=QE,:.DE=BP,VAD=BD,:BD=QE,在\QEF和ABDF中，rZQEF=ZBDF“ZEFQ^ZDFB,iEQ=EB:.△QEF^^BDF(AAS),：?EF=DF,：?BP=2DF,當點P在DB的延長線上時,由上述證明過程可知PB=2DF,BD=AD,V2AD=7FD,2：?DF=±AD,24???PB=2X.徑-A??.BD7解：("?.?△ADE是等腰直角三角形，ZADE=90°,:.AD=ED,P為AE的中點，.?.DP丄AE；(2)①補全圖形如圖2所示；證明：?△ADE和△ABC都是等腰直角三角形，ZADE=ZBAC=90°,.??ZDAE=45°,AD=ED,P為AE的中點，?.ZADP=ZEDP=45°,?.ZBAE+ZCAD=ZBAC-ZDAE=45°，VZCAD+ZACP=ZADP=45°，?.ZBAE=ZACP；②BF=DF.證明：如圖3,延長CP至G,使PG=DP連接AG，BG，?/△ADE是等腰直角三角形，ZADE=90°,?.AD=DE,ZDAE=45°,P為AE的中點，?.ZAPD=ZAPG=90°,AP=DP=PG,ZADP=45°,???△APG9AAPD(SAS),?.AG=AD,ZP4G=ZDAE=ZAGP=45°,ZGAD=ZBAC=90°,.?.ZBAG+ZBAD=ZCAD+ZBAD=90°,ZBAG=ZCAD,?AG=AD,AB=AC,△BAG^^CAD(SAS),ZAGB=ZADC=180°-ZADP=135°,/.ZBGC=ZAGB-ZAGP=90°,

:.ZBGC=ZAPG,:.PF//BG,^BF^G=1:.BF=DF.^BF^G=1:.BF=DF.囹2理由：如圖1中，延長EA交BF于J.圖1圖1???△ABC是等腰直角三角形，ZBAC=90°:.ZADB=90°,BD=AD.在ASDF與AADE中，點D是BC的中點,rBD=ADJZBEF^ZABE,:DF=EE:.△BDF^^ADE(SAS),:?BF=AE,/BFD=/DEA,VZFAJ=ZDAE,:.ZFJA=ZADE=90°,:.AE丄BF,故答案為AE=BF,AE±BF(2)①(1)中的結論仍然成立.理由如下：如圖2,連接AD,延長EA交BF于J,交DF于0.圖2???RtABAC中，D為斜邊BC的中點,.?.AD=BD,AD丄BC,AZADF+ZBDF=90°,?△DEF是等腰直角三角形，:.DE=DF，且ZFDE=90°,?.ZADF+ZADE=90°,?.ZBDF=ZADE.在ASDF與△ADE中，rBD=AD〈zbef-=zabe,iDF=EE:.△BDF^^ADE(SAS),.BF=AE,ZBFD=ZDEA,VZFOJ=ZDOE,/.ZFJO=ZODE=90°,.AE丄BF.②如圖3中，連接AD.?/△ABC是等腰直角三角形，ZBAC=90°，點D是BC的中點,.??ZADB=90°,BD=AD=*BC=2.當旋轉角為270°時，AE取最大值，延長AC交EF于H.VZACD=ZFCH=45°,ZCFH=45°,.??ZAHF=90°,?.?AC=一2CD=2：2,CF=DF=DC=2,:?CH=FH=：2,：?AH=AC+CH=2匚2+；2=3一2,tanZF4C==AH3^2tanZF4C==AH3^23【性質探究】證明：?「△ABC是等邊三角形,.??ZBAC=60°,由旋轉可知：AD=AP,ZDAP=ZBAC=60°,:.△ADP是等邊三角形.【理解運用】如圖，將AAPC繞點A順時針旋轉，使點C與點B重合，得到AADB,連接PD,同上可得△ADP是等邊三角形，AAD=AP,ZDAB+ZBAP=ZCAP+ZDAP=60°,:.ZDAB=ZPAC,:.△APC^^ADB(SAS).?.?ZAPC=150°,:.ZADB=ZAPC=150°,VZADP=60°,PD=PA=1,DB=PC=2,:./BDP=/ADB-ZADP=90°,在RtABDP中，由勾股定理得：BP=辺謂十D珅=I1十怎【類比探究】如圖，將△APC繞點A順時針旋轉使點C與點B重合，得到AADB,連接PD,由上問可得AAPD為等邊三角形，.??AD=AP=PD=1,BD=PC=H?:PB=〔d，.??PB2=PD2+BD2,.??△BDP為直角三角形，ZBDP=90°,.??ZADB=ZBDP-ZADP=90°-60°=30°,AZAPC=ZADB=30°,故答案為：30°.解：（1）證明：如圖2中，延長NP交BM延長線于G,?:BM丄AM,CNIAM,:.BG//CN,:.ZPCN=ZPBC,在APNC和APGB中，rZPCN=ZPBG“ZCPN^ZGPB,:PC=PB:.△PNC^KPGB(AAS),:?PN=PG,?:/NMG=90°,:.PM=PN=PG；此時PM=PN成立，理由如下：如圖3中，延長NP交BM延長線于G,?:BM丄AM,CN丄AM,:.BG//CN,AZPCN=ZPBC,在APNC和APGB中，Vpcn=Zpbg〈ZCPN=ZGPB,,氏二F1艮:.APNC^APGB(AAS),:.PN=PG,?:ZNMG=90°,:.PM=PN=PG；如圖4中，延長NP交BM延長線于G,?:ZEAN+ZCAM=90°,ZCAM+ZACM=90°,.\ZEAN=ZACM,在AEAN和ACAM中，VENA=ZAMC=90°JZEAN=ZACM,:AB=AC:.AEAN^ACAM(AAS),:、EN=AM,AN=CM,?:EN//CG,；./ENP=/CGP,在AENP和ACGF中，rZBNP=ZCGP“ZEPN=ZCPG,iEP=PC:.△ENP^^CGP(AAS),:.EN=CG=AM,PN=PG,?：AN=CM,:.CG-CM=AM-AN,即MG=MN,:.PMLPN.解：(l)TZBAC=90°,AB=AC,點D是BC的中點,:.AD丄BC,AD=BD=CD,ZABC=ZACB=45°,?:F,G分別是DE,CD的中點，.FG^AD,FG/AD,2:,FG=—BD,FG丄BC,2故答案為：FG=^BD,FG丄BC；(2)①補全圖形如圖所示；圖2②結論仍然成立,理由如下：如圖2,連接CE,?/把AD繞點A逆時針旋轉90°得到AE,:.ZBAC=ZDAE=90°,AD=AE,:.ZBAD=ZCAE,又?.?AB=AC,:.△ABD^^ACE(SAS),ACE=BD,ZACE=ZB=ZACB=45°,AZDCE=90°,???F,G分別是DE,CD的中點，.??FG=1cE=2BD,fg〃ce,22：?FG丄BC；當點D在點B的左側時，如圖3-1中，作AMLBC于M,連接FG,.??BC=2,BM=CM=AM=2bC=1,ZBAM=ZCAM=45°,2VAD=AE,ZDAE=90°，點F是DE中點，AZEAF=ZCAM=45°,AF=FD=EF,?△AFC是等邊三角形，.??AF=AC=FC=_2,ZF4C=ZAFC=ZACF=60°,AZCAE=15°=ZBAD,AZADM=ZABC-ZBAD=30°,DM=.超M=.3,.??BD=DM-BM=一g_l,由(2)的結論可得：FG丄BC,FG=^BD=兀；',:.△BDF的面積=寺X（V3-1）乂退丄斗當點D在點C的右側時,如圖3-2中，作AM±BC于M,連接FG,V￡GD圖3-2VZBAC=90°,AB=AC=AM丄BC,.??BC=2,BM=CM=AM=2bc=i,zbam=ZCAM=45°,VAD=AE,ZDAE=90°，點F是DE中點，?.ZEAF=ZCAM=45°,AF=FD=EF,ZDAF=45°,?/△AFC是等邊三角形，.??AF=AC=FC=-2ZF4C=ZAFC=ZACF=60°,?.ZCAD=ZCAF-ZDAF=15°,?.ZADM=ZACB-ZCAD=30°,DM=:^AM=.3,???BD=DM+BM-]3+1,由（2）的結論可得：FG丄BC,FG=*BD=W^2,解：（1）可以猜想：AE丄CD,AE=2CD,故答案為：AE丄CD,AE=2CD；（2）如題干圖1,

?.?BD=2be,bc=^ab,/dbc=/abe,22:.△DBCs&AB,:./DCB=/BAE,AE=2CD,^ZAOP=ZBOC,:.ZAPC=ZABC=90°,:.CDLAE；(3)如圖1,當點P在線段AE時,由（2）知，CP^AE,設PC=a，則AE=2a,?:EP=DE=2!5,:.PA=2a-2<5,在RtAPAC中，PA2+PC2=AC2,即（2a-2匚5）2+a2=（^5）2,解得a=+（不合題意的值已舍去）；TOC\o"1-5"\h\z55故PC=+生5□如圖2,當點P在AE的延長線上時，同理可得,PC一+:55綜上，PC-+或-+容5555(P)與圓(P)與圓B相切時，APBC面積最大,?.?CDLAP,DB丄CP,ZAEB=90°,???四邊形BDPE為矩形.:.PD=BE=4,在RtACDB中，BD=2,BC=4,:.ZBCD=30°,：?CD=4+2T3,:.△PBC面積=專?BC?PC?sin30°=4+2,/3.解：("?「△ABC是等邊三角形，：.ZABC=ZBAC=60°,VZBAF=30°,：.ZCAF=ZBAC+ZBAF=90°,在直角三角形ACF中，VZF=90°-60°=30°,AF=2l3,：?AC=，AF=2,3：.AD=AC=2；如圖1,在AD上取點H使AH=AE,??ZCAH=ZDAE,AC=AD,:.△ACH^^ADE(SAS),：.ZAHC=ZAED,ZACH=ZADE,「△ABC是等邊三角形，：.ZBAC=ZACB=60°,AB=AC,VAC=AD,：.AB=AD,：.ZABD=ZADB,VZAED=ZBAC+ZABD=60°+ZACH,：.ZAHC=60°+ZACH,VZFCH=ZACB+ZACH=60°+ZACH,：.ZAHC=ZFCH,?：FC=FH=AF+AH=AF+AE；如圖2,過點N作NQ丄GA交GA延長線于Q,.??ZQ=90°,.??ZMNQ+ZNMQ=90°,由旋轉知，CM=MN,ZCMN=90°,:.ZCMG+ZNMQ=90°,.ZMNQ=ZCMG,???△ABC為等邊三角形，點G是BC的中點，.AG丄BC,???CG=±BC=2,ZCGM=90°=ZQ,2△MQN9ZGM(AAS),NQ=MG,MQ=CG=2,在RtAACG中，ZACG=60°,.??AG=-gCG=2；3,設AM=x,則NQ=MG=AG-AM=2一3-x,AQ=MQ-AM=2-x,在Rt^AQN中，AN2=AQ2+NQ2=(2-x)2+(2■3-x)2=2(x-lg-1)2+8-4'.;3,?.當x=I2+1時，AN最小，此時AM=l2+1,.：MG=2l3-(IM+l)=lCM2=MG2+CG2=^-1)2+22=8-2匚3,即當AN最小時，ACMN的面積為*(8-2匚g)=4-Tg.團2團2圖1解：(1)如圖3中，連接PB,延長BP交CQ的延長線于J延長QC到R設AC交BJ于點KBJ于點K.VZP4Q=ZBAC,:.ZCAQ=ZBAP,AQAP.?.△QACsAeab,:.ZCAQ=ZBAP,AQAP.?.△QACsAeab,.坐=坐=唾.pB^B—-T，ZABP=ZACQ,VZAKB—ZCKJ,?.ZCJK=ZBAK=30°,?.?OP=OM,ZPOB=ZMOC,OB—OC,:.△POB^^MOC(SAS),?.PB=CM,ZBPO=ZM,,BJ,BJ〃CM,?.ZRCM=ZJ=30°.如圖4中，同法可證卑—単，直線CQ與CM所夾銳角的度數為45°?Ljilz故答案為：#■，30°，害，45°.(2)如圖2中，連接PB,延長BP交CQ于J,延長QC到R設AC交BJ于點K.￡02￡02VZP4Q—ZBAC,AZCAQ—ZBAP,..AQ?APACAB=cosa.:.△QAC^KPAB,?QC??PB?QC??PBACAB=cosa.ZABP=ZACQ,?:/AKB=/CKJ,:.ZCJK=ZBAK=a,.OP=OM,ZPOB=ZMOC,OB=OC,:.△POB^^MOC(SAS),：?PB=CM,/BPO=/M,...^^■=cosa,BJHCM,CM?：/RCM=/J=a.(3)如圖3-1中，過點Q作QD丄AC于D,連接PB.P03-1P03-1.△AQP,^ABC都是等腰直角三角形，AP=3,AB=4,:AQ=QP^^^:AQ=QP^^^,AC=BC=2叮2,?:QD=2,?:CQ=.：Q哄垃D'=：.吵+(乎嚴=晉..里=匹?BP=2,?：pb=：1qc=■17,:.CM=BP='\17如圖3-2中，過點Q作QD丄AC于D,連接PB.

1L_1同法可得AD=1L_1CD」2、22VS6-CQ=CD」2、22VS6-CQ=.'CD2-H3D綜上所述，滿足條件的CM的值為T亍或I至.解：（1）如圖1,過點C作CH丄AB于點H,?.?AC=BC,ZACB=120°,CH丄AB,.*.ZA=ZB=30°,.??CH=2bC=6,2VZCDH=45°,CH丄AB,?.ZCDH=ZDCH=45°,：?DH=CH=6,cd=!2ch=6；2,即等邊ACDE的邊長為6丁2.(2)①如圖2,延長BC到N使CN=BC,P--2P--2VAC=BC,ZACB=120°,?.ZA=ZABC=30°,ZNCA=60°,?.?△ECD是等邊三角形，AEC=CD,ZECD=60°,:.ZNCA=ZECD,:.ZNCE=ZDCA,又?：CE=CD,AC=BC=CN,:?△CEN^HCDA(SAS),:.EN=AD,ZN=ZA=30°,?:BC=CN,BF=EF,:CF//EN,CF=^EN,2:.ZBCF=ZN=30°,：.ZACF=ZACB-/BCF=90°,又VDG丄AC,：?CF//DG,VZA=30°,DG丄AC,:.DG^^AD,2：.DG=CF,?：四邊形CFDG是平行四邊形，又VZACF=90°,：?四邊形CFDG是矩形，：?ZCFD=90°,：.CFIDF.②???將ACFD沿CF翻折得ACFD:.CD=CD',DF=D'F,ZCFD=ZCFD'=90°,由(1)知，CF丄DF,：.ZCFD=90°,由折疊知，ZCFD'=ZCFD=90°,.:點D,F,D'在同一條直線上，:.ZEFD=ZBFD',又?:EF=BF,:.△EFD^ZBFD'(SAS),：?BD'=DE,:.BD=CD,??.當CD取最小值時，BD'有最小值，???當CD丄AB時，CD有最小值，CD的最小值=^-AC=6■LuBD'最小值=6.解：【發現問題】由旋轉知，AQ=AP,VZP4Q=ZBAC，ZP4Q-ZBAP=ZBAC-/BAP,ZBAQ=ZCAP，VAB=AC，△BAQ^^CAP(SAS)，：?BQ=CP，故答案為：BQ=PC；【探究猜想】結論：BQ=PC仍然成立,理由：由旋轉知，AQ=AP，VZP4Q=ZBAC，ZP4Q-ZBAP=ZBAC-/BAP，ZBAQ=ZCAP，VAB=AC，:.△BAQ^^CAP(SAS)，BQ=CP；在AB上取一點E,使AE=AC=2，連接P