關于數學歸納法的變式及應用第1頁，共22頁，2023年，2月20日，星期四1.引言

數學歸納法是一種完全歸納法。它是一種常用于證明與正整數集有關命題的重要論證方法，在幾何證明和代數證明中都有著廣泛的應用。第2頁，共22頁，2023年，2月20日，星期四2.數學歸納法第一類數學歸納法（數學歸納法）第一類數學歸納法的基本形式為：設是一個關于自然數n的命題，如果(1)成立；(2)假設成立，則也成立；那么，對任意自然數n都成立。第3頁，共22頁，2023年，2月20日，星期四第二類數學歸納法

第二類數學歸納法又稱串值歸納法，它的基本形式為：設是一個關于自然數n的命題，如果(1)成立；(2)假設對于所有適合n<k的正整數n成立，則也成立；那么，對任意自然數n都成立。第4頁，共22頁，2023年，2月20日，星期四例2.3.2證明可以僅用4分和5分郵票來組成等于和超過12分的每種郵資。(1)當n=12,13,14,15時，命題為真。票加上1個4分郵票就可以了。為了組成n+1分郵資，用組成n-3分郵資的郵即可以用4分和5分郵票來組成k（）分郵資。(2)對于任意自然數n15,假定命題為真第5頁，共22頁，2023年，2月20日，星期四兩類數學歸納法是等價的

第一數學歸納法和第二數學歸納法是等價的，即用第一數學歸納法證明的可以用第二數學歸納法證明，反之亦然。第6頁，共22頁，2023年，2月20日，星期四3.數學歸納法的變式

1跳躍歸納法跳躍歸納法的基本形式為：那么，對任意自然數都成立。數k+l正確；(2)假設對于自然數k正確，就能推出命題對自然(1)成立；設是一個關于自然數n的命題，如果第7頁，共22頁，2023年，2月20日，星期四反歸納法的基本形式為：

設是一個關于自然數n的命題，如果(1)對無窮多個自然數成立；(2)假設對于自然數k正確，就能推出命題對自然數k-1正確；那么，對任意自然數n都成立。

2反歸納法（倒推歸納法）第8頁，共22頁，2023年，2月20日，星期四例求證n個正實數的算術平均值大于或等于這n個數的幾何平均值，即證明：(1)當n=2時，因此命題對n=2正確。當n=4時，

因此命題對n=4正確。同理可推出命題對都正確（s為任意自然數）。第9頁，共22頁，2023年，2月20日，星期四(2)設命題對n=k正確，令則由歸納假設命題對n=k正確，所以所以 即 第10頁，共22頁，2023年，2月20日，星期四

命題對n=k-1也正確，由反歸納法原理知，命題對一切自然數成立。

第一類數學歸納法的關鍵是：由成立往后推出也成立；而反歸納法的關鍵恰是：由成立往前推出成立。第11頁，共22頁，2023年，2月20日，星期四雙歸納法的基本形式為：設命題P與兩個獨立的自然數對m與n有關，若(1)命題P對m=1與n=1是正確的；(2)從命題對自然數對（m,n）正確就能推出該命題對自然數對（m+1,n）正確，和對自然數對（m,n+1）也正確；則命題P對一切自然數對（m,n）都正確。3雙歸納法（二元歸納法）第12頁，共22頁，2023年，2月20日，星期四蹺蹺板歸納法的基本形式為：有兩個命題,如果(1)正確；(2)假設正確，那么也是正確的；(3)假設正確，那么也是正確的；那么，對于任意自然數n,命題都是正確的。4蹺蹺板歸納法與螺旋式上升歸納法第13頁，共22頁，2023年，2月20日，星期四例已知數列1，3，7，12，19，27，37，48，61……設為其第n項，為其前n項的和，其中求證：證明：令為；為為(1)，即是正確的。第14頁，共22頁，2023年，2月20日，星期四(2)假設那么即，假設是正確的，那么也正確。即，假設是正確的，則也正確。(3)假設，那么因此，對任何自然數都是正確的。第15頁，共22頁，2023年，2月20日，星期四說明：作為“蹺蹺板歸納法”的推廣，還可能要使用若干結論螺旋式上升的證明方法，這種方法的基本形式為：有五個命題，如果(1)是正確的；(2)那么，這五個命題都是正確的。第16頁，共22頁，2023年，2月20日，星期四數學歸納法和反證法的關系

凡是用數學歸納法證明的命題都可以用反證法來證明，因而數學歸納法在使用上可以用反證法來代替，反之不然。第17頁，共22頁，2023年，2月20日，星期四

每一種形式的數學歸納法都有兩個步驟，第一步是驗證步驟，第二步是歸納步驟。這兩步相輔相成，缺一不可。下面這個例子就是很好的說明。5.關于數學歸納法的若干說明第18頁，共22頁，2023年，2月20日，星期四例

二項式曾引起數學家們的極大興趣，最使數學家們感性趣的是把它分解為具有整系數因子的乘積。

對許許多多特殊n的值，考查的分解式。數學家們發現：在分解式中，x的各次冪的所有系數的絕對值都不超過1。實際上，第19頁，共22頁，2023年，2月20日，星期四第20頁，共22