PAGEPAGE1課時分層訓練(五十四)模擬方法——概率的應用A組根底達標(建議用時：30分鐘)一、選擇題1．在區間[－2,3]上隨機選取一個數X，那么X≤1的概率為()A.eq\f(4,5) B．eq\f(3,5)C.eq\f(2,5) D．eq\f(1,5)B[在區間[－2,3]上隨機選取一個數X，那么X≤1，即－2≤X≤1的概率為P＝eq\f(3,5).]2．如圖10-3-4所示，半徑為3的圓中有一封閉曲線圍成的陰影區域，在圓中隨機扔一粒豆子，它落在陰影區域內的概率是eq\f(1,3)，那么陰影局部的面積是()圖10-3-4【導學號：66482467】A.eq\f(π,3) B．πC．2π D．3πD[設陰影局部的面積為S，且圓的面積S′＝π·32＝9π.由幾何概型的概率得eq\f(S,S′)＝eq\f(1,3)，那么S＝3π.]3．假設將一個質點隨機投入如圖10-3-5所示的長方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，那么質點落在以AB為直徑的半圓內的概率是()圖10-3-5A.eq\f(π,2) B．eq\f(π,4)C.eq\f(π,6) D．eq\f(π,8)B[設質點落在以AB為直徑的半圓內為事件A，那么P(A)＝eq\f(陰影面積,長方形面積)＝eq\f(\f(1,2)π·12,1×2)＝eq\f(π,4).]4．(2022·山東高考)在區間[0,2]上隨機地取一個數x，那么事件“－1≤logeq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))≤1”發生的概率為()A.eq\f(3,4) B．eq\f(2,3)C.eq\f(1,3) D．eq\f(1,4)A[不等式－1≤logeq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))≤1可化為logeq\f(1,2)2≤logeq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))≤logeq\f(1,2)eq\f(1,2)，即eq\f(1,2)≤x＋eq\f(1,2)≤2，解得0≤x≤eq\f(3,2)，故由幾何概型的概率公式得P＝eq\f(\f(3,2)－0,2－0)＝eq\f(3,4).]5．正三棱錐S-ABC的底面邊長為4，高為3，在正三棱錐內任取一點P，使得VP-ABC＜eq\f(1,2)VS-ABC的概率是()A.eq\f(7,8) B．eq\f(3,4)C.eq\f(1,2) D．eq\f(1,4)A[當點P到底面ABC的距離小于eq\f(3,2)時，VP-ABC＜eq\f(1,2)VS-ABC.由幾何概型知，所求概率為P＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3＝eq\f(7,8).]6．(2022·西安模擬)設復數z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，假設|z|≤1，那么y≥x的概率為()【導學號：66482468】A.eq\f(3,4)＋eq\f(1,2)π B．eq\f(1,2)＋eq\f(1,π)C.eq\f(1,2)－eq\f(1,π) D．eq\f(1,4)－eq\f(1,2π)D[|z|＝eq\r(x－12＋y2)≤1，即(x－1)2＋y2≤1，表示的是圓及其內部，如下圖．當|z|≤1時，y≥x表示的是圖中陰影局部．∵S圓＝π×12＝π，S陰影＝eq\f(π,4)－eq\f(1,2)×12＝eq\f(π－2,4).故所求事件的概率P＝eq\f(S陰影,S圓)＝eq\f(\f(π－2,4),π)＝eq\f(1,4)－eq\f(1,2π).]二、填空題7．(2022·鄭州模擬)在區間[－2,4]上隨機地取一個數x，假設x滿足|x|≤m的概率為eq\f(5,6)，那么m＝________.3[由|x|≤m，得－m≤x≤m.當m≤2時，由題意得eq\f(2m,6)＝eq\f(5,6)，解得m＝2.5，矛盾，舍去．當2＜m＜4時，由題意得eq\f(m－－2,6)＝eq\f(5,6)，解得m＝3.]8．(2022·重慶高考)在區間[0,5]上隨機地選擇一個數p，那么方程x2＋2px＋3p－2＝0有兩個負根的概率為________．eq\f(2,3)[∵方程x2＋2px＋3p－2＝0有兩個負根，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝4p2－43p－2≥0，,x1＋x2＝－2p<0，,x1x2＝3p－2>0，))解得eq\f(2,3)<p≤1或p≥2.故所求概率P＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＋5－2,5)＝eq\f(2,3).]9．小波通過做游戲的方式來確定周末活動，他隨機地往單位圓內投擲一點，假設此點到圓心的距離大于eq\f(1,2)，那么周末去看電影；假設此點到圓心的距離小于eq\f(1,4)，那么去打籃球；否那么，在家看書．那么小波周末不在家看書的概率為________．eq\f(13,16)[∵去看電影的概率P1＝eq\f(π·12－π·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2,π·12)＝eq\f(3,4)，去打籃球的概率P2＝eq\f(π·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))2,π·12)＝eq\f(1,16)，∴不在家看書的概率為P＝eq\f(3,4)＋eq\f(1,16)＝eq\f(13,16).]10．一個長方體空屋子，長，寬，高分別為5米，4米，3米，地面三個角上各裝有一個捕蠅器(大小忽略不計)，可捕捉距其一米空間內的蒼蠅，假設一只蒼蠅從位于另外一角處的門口飛入，并在房間內盤旋，那么蒼蠅被捕捉的概率是________．eq\f(π,120)[屋子的體積為5×4×3＝60米3，捕蠅器能捕捉到的空間體積為eq\f(1,8)×eq\f(4,3)π×13×3＝eq\f(π,2)米3，故蒼蠅被捕捉的概率是eq\f(\f(π,2),60)＝eq\f(π,120).]B組能力提升(建議用時：15分鐘)1．(2022·湖北高考)在區間[0,1]上隨機取兩個數x，y，記p1為事件“x＋y≤eq\f(1,2)〞的概率，p2為事件“xy≤eq\f(1,2)〞的概率，那么()A．p1<p2<eq\f(1,2) B．p2<eq\f(1,2)<p1C.eq\f(1,2)<p2<p1 D．p1<eq\f(1,2)<p2D[如圖，滿足條件的x，y構成的點(x，y)在正方形OBCA內，其面積為1.事件“x＋y≤eq\f(1,2)〞對應的圖形為陰影△ODE(如圖①)，其面積為eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,8)，故p1＝eq\f(1,8)<eq\f(1,2)，事件“xy≤eq\f(1,2)〞對應的圖形為斜線表示局部(如圖②)，其面積顯然大于eq\f(1,2)，故p2>eq\f(1,2)，那么p1<eq\f(1,2)<p2，應選D.]2．(2022·陜西質檢(二))在長方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，O為AB的中點，在長方形ABCD內隨機取一點，那么取到的點到O點的距離大于1的概率為()A.eq\f(π,4) B．1－eq\f(π,8)C．eq\f(π,8) D．1－eq\f(π,4)D[由題意得長方形ABCD的面積為1×2＝2，其中滿足到點O的距離小于等于1的點在以AB為直徑的半圓內，其面積為eq\f(1,2)×π×12＝eq\f(π,2)，那么所求概率為1－eq\f(\f(π,2),2)＝1－eq\f(π,4)，應選D.]3．隨機地向半圓0＜y＜eq\r(2ax－x2)(a為正數)內擲一點，點落在圓內任何區域的概率與區域的面積成正比，那么原點與該點的連線與x軸的夾角小于eq\f(π,4)的概率為________．eq\f(1,2)＋eq\f(1,π)[由0＜y＜eq\r(2ax－x2)(a＞0)，得(x－a)2＋y2＜a2，因此半圓區域如下圖．設A表示事件“原點與該點的連線與x軸的夾角小于eq\f(π,4)，由幾何概型的概率計算公式得P(A)＝eq\f(A的面積,半圓的面積)＝eq\f(\f(1,4)πa2＋\f(1,2)a2,\f(1,2)πa2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,π).]4．關于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.假設a是從區間[0,3]任取的一個數，b是從區間[0,2]任取的一個數，那么方程有實根的概率為