第一章函數與極限第一節映射與函數第二節數列極限第三節函數極限第四節無窮小與無窮大第五節極限運算法則第六節極限存在準則兩個主要極限第1頁第1頁第七節無窮小比較第八節函數連續性與間斷點第九節連續函數運算與初等函數連續性第十節閉區間上連續函數性質第2頁第2頁第一節映射與函數一、集合二、映射三、函數返回第3頁第3頁

一、集合

集合與元素之間關系a∈M：若x是集合元素；

1.集合概念(1)集合：含有某種特定性質事物總體，集合元素通慣用A，B，S，T等表示.元素:構成這個集合事物集合元素通慣用a，b，x，y等表示.集合分為有限集和無限集.a

M:若x不是集合元素.(2)集合表示法列舉法:將集合元素一一列舉出來,描述法:如:第4頁第4頁N={全體自然數}，Z={全體整數}，Q={全體有理數}，R={全體實數}.(3)慣用集合記號假如，必有,則稱A是B子集，記為不含任何元素集合，則稱為空集記為Φ.Φ是任何集合子集.(4)集合關系集合:集合A內排除0集.集合:集合B內排除0與負數集.若，且,則稱A是B真子集,記為.若，且,則稱A與B相等,記為.第5頁第5頁2、集合運算是二個集合，定義設A、B(A與B并集)(A與B交集)(A與B差集)設I表示我們研究某個問題全體,則其它集合A都是I子集,稱I為全集或基本集.A余集或補集記為:比如:在實數集R中則有第6頁第6頁設A、B、C為任意三個集合，則有下列法則成立：（1）互換律（2）結合律（3）分派律（4）對偶律以上這些法則都能夠依據集合相等定義驗證.第7頁第7頁證實:兩個集合并集余集等于它們余集交集.證實:且且反之,且注:在以后證實中,“”表示“推出”(或“蘊含”),“”表示“等價”.且于是第8頁第8頁直積或笛卡兒乘積比如：為xOy面上全體點集合，記為第9頁第9頁3、區間和鄰域設a,b∈R,且a<b,開區間閉區間半開區間和稱a,b為區間端點，稱b－a為這些區間長度.以上這些區間都稱為有限區間.第10頁第10頁無限區間用數軸能夠表示區間,區間慣用I表示.引進記號：

+∞

－∞

∞（讀作正無窮大）(讀作負無窮大）（讀作無窮大）第11頁第11頁(2)點a去心鄰域：注若不強調δ大小，點a去心鄰域記為U(a)鄰域點a左δ鄰域:開區間(a-δ,a)點a右δ鄰域:開區間(a,a+δ)(1)設δ是任一正數，稱開區間(a-δ,a+δ)為點aδ鄰域，記為U(a,δ)，即

點a稱為該鄰域中心，稱δ為該鄰域半徑.a返回第12頁第12頁二、映射1、映射概念定義設X、Y是二個非空集合，假如存在一個法則

,使得對X中每個元素x,按法則

,在Y中有唯一擬定元素y與之相應,則稱

為從X到Y映射,記為

其中y稱為元素x(在映射下)像,記作,即,元素x稱為元素y(在映射下)一個原像;集合X稱為映射定義域,記作,即X中所有元素像所構成集合稱為映射值域,記作或,即第13頁第13頁注意:(1)

一個映射必須具備下列三個要素:集合X,即定義域集合Y,即值域范圍:相應法則使對每個有唯一擬定與之相應.(2)對每個,元素x像y是唯一;對每個,元素y原像不一定是唯一;映射值域是Y一個子集,即,不一定.第14頁第14頁例1設,對每個,.顯然,是一個映射,定義域,值域它是R一個真子集.對于中元素y,除y=0外,它原像不是唯一.如y=4原像就有x=2和x=-2兩個.例2設對每個,有唯一擬定與之相應.顯然,是一個映射,定義域,值域Oxy-11這個映射表示將平面上一個圓心在原點單位圓周上點投影到x軸區間[-1,1]上.第15頁第15頁例3設對每個,這是一個映射,其定義域,值域為X到Y上映射（或滿射）：為X到Y上單射：是從集合X到集合Y映射，若都是X中某元素像.即Y中任一元素y若對X中任意兩個不同元素它們像為一一映射（或雙射）：若映射既是單射，又是滿射.如:例1既非單射,又非滿射;例2不是單射,是滿射;例3既是單射,又是滿射,因此是一一映射.第16頁第16頁映射又稱為算子.依據集合X、Y不同情形,在不同數學分支中,映射又有不同慣用名稱.如:從非空集合X到數集Y映射又稱為X上泛函.從非空集合X到它本身映射又稱為X上變換.從實數集(或其子集)X到實數集Y映射稱為定義在X上函數.第17頁第17頁2.逆映射與復合映射是X到Y上單射,設即于是,能夠定義一個從到X新映射g,對每個要求這x滿足這個映射g稱為f逆映射,記作其定義域值域注意:只有單射才存在逆映射.例1,2,3中,只有例3有逆映射:第18頁第18頁設有兩個映射其中則能夠擬定一個從X到Z映射,稱為復合映射,記作即注意:映射g和f構成復合映射條件:二者也不同時故意義.第19頁第19頁例4設有映射對每個映射對每個返回第20頁第20頁三、函數1.函數概念因變量自變量定義設數集，則稱映射為定義D上函數，通常簡記為

D稱為定義域,記作,即.

對每個,按相應法則f,總有唯一擬定值y與之相應,這個值稱為函數f在x處函數值,記作f(x),即y=f(x).函數值f(x)全體所構成集合稱為函數f值域,記作或f(D),即第21頁第21頁函數是從實數集到實數集映射,其值域總在R內.函數兩要素:定義域與相應法則f.假如兩個函數定義域相同,對應法則也相同,那么這兩個函數就是相同,不然就是不同.商定:定義域是自變量所能取使算式有(實際)意義一切實數值.假如自變量在定義域內任取一個數值時，相應函數值總是只有一個，這種函數叫做單值函數，不然叫與多值函數．比如:第22頁第22頁對于多值函數,往往只要附加一些條件,就能夠將它化為單值函數,這樣得到單值函數稱為多值函數單值分支.比如,在由方程給出相應法則中,附加“”條件,就可得到一個單值分支表示函數主要辦法有三種:表格法、圖形法、解析法（公式法）.定義:點集稱為函數圖形.第23頁第23頁常見幾種函數例5函數y=2它定義域值域它圖形是一條平行于x軸直線.Oxyy=2例6函數定義域D=(－∞,+∞),值域=[0,+∞).這個函數稱為絕對值函數.Oxy第24頁第24頁1-1xyo例7函數稱為符號函數,定義域D=(－∞,+∞),值域={1,0,－1}.第25頁第25頁12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyo階梯曲線[x]表示不超出最大整數例8取整函數

y=[x]如[-3.4]=-4,[－1]=－1,定義域D=(－∞,+∞),值域=Z.第26頁第26頁例9函數是一個分段函數.它定義域D=[0,+∞).如:yxO1第27頁第27頁2.函數幾種特性(1)函數有界性:oyxM-My=f(x)X有界M-MyxoX無界則稱函數若有成立，f(x)在X上有界.不然稱為無界.(2)有界是否是和X相關.(1)當一個函數有界時，它界是不唯一.注意:使(3)證實無界辦法:對于任意正數M,總存在第28頁第28頁(2)函數單調性:xyo及設函數f(x)定義域為D,區間假如對于區間I上任意兩點當時,恒有則稱函數f(x)在區間I上是單調增長;第29頁第29頁xyo及設函數f(x)定義域為D,區間則稱函數f(x)在區間I上是單調減少;假如對于區間I上任意兩點當時,恒有第30頁第30頁(3)函數奇偶性:偶函數yxox-x設函數f(x)定義域為D關于原點對稱,對于有f(-x)=f(x)恒成立,則稱f(x)為偶函數;偶函數圖形關于y軸對稱.函數y=cosx是偶函數.第31頁第31頁奇函數yxox-x設函數f(x)定義域為D關于原點對稱,對于有f(-x)=-f(x)恒成立,則稱f(x)為奇函數.奇函數圖形關于原點對稱.函數y=sinx是偶函數.函數y=sinx+cosx既非奇函數,又非偶函數.第32頁第32頁(4)函數周期性:函數sinx,cosx周期是函數tanx周期是（通常說周期函數周期是指其最小正周期）.則稱f(x)為周期函數,l稱為f(x)周期.一有且恒成立,設函數f(x)定義域為D,假如存在一個正數l,使得對于任第33頁第33頁有理數點無理數點?1xyo例10狄利克雷函數它是一個周期函數,任何有理數都是它周期,但它沒有最小正周期.第34頁第34頁3.反函數與復合函數反函數定義:設函數是單射,則它存在逆函數稱此映射為函數f反函數.如:函數是單射,其反函數為若函數f(x)在D上是單調函數,則也是f(D)上單調函數.DD)(xfy=函數第35頁第35頁

直接函數與反函數圖形關于直線對稱.相對于反函數本來函數y=f(x)稱為直接函數.第36頁第36頁復合函數定義:設函數定義域為函數u=g(x)在D上有定義,且則由下式擬定函數稱為由函數u=g(x)和函數構成復合函數,它定義域為D,變量u稱為中間變量.函數g與函數f構成復合函數通常記為函數g與函數f構成復合函數條件是:函數g在D上值域g(D)必須含在f定義域內,即第37頁第37頁注意:1.不是任何兩個函數都能夠復合成一個復合函數;2.復合函數能夠由兩個以上函數通過復合構成.如:如:第38頁第38頁4.函數運算設函數f(x),g(x)定義域依次為則能夠定義這兩個函數下列運算：和(差)積商第39頁第39頁例11設函數f(x)定義域為(-l,l),證