應變狀態理論

董興建(donxij@)機械學院A樓832室振動、沖擊與噪聲研究所參考文獻吳家龍.彈性力學.北京：高等教育出版社2009第3章

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位移分量和應變分量相對位移張量轉軸時應變分量的變換主應變應變張量不變量應變協調方程應變狀態理論參考文獻吳家龍.彈性力學.北京：高等教育出版社2009第3章錢偉長.彈性力學.北京：科學出版社1980第2章位移和應變－－引言變形的拉格朗日描述變形的歐拉描述簡單說來：拉格朗日描述采用變形前的坐標作為自變量；歐拉描述采用變形后的坐標作為自變量。固體力學中，多用拉格朗日描述；流體力學中，多用歐拉描述。觀察者位于空間的一個固定點，觀察流過你所在的體積單元。位移和應變－－引言Chapter4.1

單軸應變xdxxABA’B’u(x)u(x+dx)FChapter4.1

單軸應變微元的長度變化：Taylor級數展開：位移和應變－－引言Chapter4.1

單軸應變略去高階項：單軸應變（工程應變）定義為：位移和應變－－引言1位移分量和應變分量由于荷載的作用或者溫度的變化，物體內各點在空間的位置將發生變化，就會產生位移。一、位移第一種位移是位置的改變，但是物體內部各個點仍然保持初始狀態的相對位置不變，這種位移是物體在空間做剛體運動引起的，因此稱為剛體位移。

第二種位移是彈性體形狀的變化，位移發生時不僅改變物體的絕對位置，而且改變了物體內部各個點的相對位置，這是物體形狀變化引起的位移，稱為變形位移。兩種位移：1位移分量和應變分量M（x，y，z）移動至M'（x'，y'，z'）u=x'-x=u（x，y，z）

v=y'-y=v（x，y，z）

w=z’-z=w（x，y，z）為后面運算需要，假設位移函數具有三階連續導數xzy點的位移為MM'在數學上，x'，y'，z'

必為x，y，z的單值連續函數

1位移分量和應變分量二、應變如果各點(或部分點）間的相對距離發生變化，則物體發生了變形。這種變形一方面表現在微線段長度的變化，稱為正應變；一方面表現在微線段間夾角的變化，稱為切應變。對于微分單元體的變形，將分為兩個部分討論。伸長為正，縮短為負定義為直角的改變，直角變小為正，直角變大為負。1位移分量和應變分量m

a

b

變形前坐標變形后：m'點的坐標為

a'點的坐標為

b'點的坐標為

變形量1位移分量和應變分量同理上式為正應變的幾何方程1位移分量和應變分量同理：1位移分量和應變分量同理可得：這六式為幾何方程（柯西方程）這樣，平面上一點的變形我們用該點x方向上的正應變、y方向上的正應變和xy方向構成的直角的變化來描述，稱為應變分量，也就是所說的幾何方程。從幾何方程可見，當物體的位移分量完全確定時，形變分量即完全確定。思考題：當形變分量完全確定時，位移分量是否能完全確定。1位移分量和應變分量空間一點的變形我們用該點x、y、z方向上的正應變和xy、yz、zx方向構成的直角的變化－切應變來描述。張量形式為1位移分量和應變分量空間的應變分量共九個分量，是一個對稱張量，和應力張量一樣，它們遵從坐標變換規則，同樣存在著三個互相垂直的主方向，對應的主應變值是該張量的特征值。這些互相垂直的主方向構成的直角在該應變張量的變形時，角度不變，由主平面組成的單元體，由正方體變為直角長方體。在主方向構成的坐標系中，張量分量構成對角陣，切應變分量為零。1位移分量和應變分量2相對位移張量轉動分量形變協調方程形變協調方程協調方程數學意義

εij=εji，6個獨立分量

ωij=-ωji，3個獨立分量反之,9個形變不能唯一確定3個位移,需6個限制條件力學意義——變形連續

變形后不開裂、不重疊彈性體任意一點的變形必須受到其相鄰單元體變形的約束3個位移9個獨立分量,或ui,j

例1設ex=3x,ey=2y,gxy=xy,ez=gxz=gyz=0,求位移。解：顯然該應變分量沒有對應的位移。要使這一方程組不矛盾，則六個應變分量必須滿足一定的條件。以下我們將著手建立這一條件。要使幾何方程求解位移時方程組不矛盾，則六個應變分量必須滿足一定的條件基本方法:對形變求二階偏導,利用位移三階導數之間的聯系,使線形變與角形變之間、角形變與轉動分量之間產生約束，利用可積分條件(形變求位移的單值條件)推得協調方程從幾何方程中消去位移分量，第一式和第二式分別對y和

x求二階偏導數，然后相加可得對x求一階偏導數，則將幾何方程的四，五，六式分別對z，x，y求一階偏導數前后兩式相加并減去中間一式，則:應變協調方程圣維南SaintVenant方程

分別輪換x,y,z，則可得如下六個關系式：變形協調方程的數學意義使3個位移為未知函數的六個幾何方程不相矛盾。變形協調方程的物理意義物體變形后每一單元體都發生形狀改變，如變形不滿足一定的關系，變形后的單元體將不能重新組合成連續體，其間將產生縫隙或嵌入現象。為使變形后的物體保持連續體，應變分量必須滿足一定的關系。證明——協調方程是變形連續的必要和充分條件。變形連續的物理意義，反映在數學上要求位移分量單值連續。目標——如果應變分量滿足應變協調方程，則對于單連通域，就可以通過幾何方程積分求得單值連續的位移分量。利用位移和轉動分量的全微分，則：輪換x,y,z，可得dw，dv和dwy，dwz

如通過積分，計算出是單值連續